Астронет: В. Ф. Сулейманов/КГУ Рентгеновская астрономия http://variable-stars.ru/db/msg/1174809/node6.html

Рентгеновская астрономия

---

<< 4. Краткие характеристики источников | Оглавление | 6. Влияние межзвездного поглощения ... >>

5. Формирование рентгеновских спектров в процессе комптоновского рассеяния.

Процесс обмена энергией между нерелятивистскими фотонами ( ) и нерелятивистскими тепловыми электронами ( ) описывается уравнением Компанейца (1956):

Здесь = 6.65 10 см - томпсоновское сечение электронного рассеяния, - безразмерное число заполнения в фазовом пространстве фотонов. - спектральная плотность энергии излучения, она связана со средней интенсивностью простым соотношением:

Вводя безразмерную частоту и безразмерное время:

запишем уравнение Компанейца в наиболее простом виде:

Здесь последний член в скобках справа описывает диффузию фотонов в сторону больших частот и охлаждение электронов при многократных рассеяниях из-за эффекта Доплера. Первый член в скобках описывает диффузию фотонов в сторону меньших частот и нагрев электронов вследствие эффекта отдачи, а второй член описывает индуцированные процессы (аналог вынужденного излучения) и также описывает нагрев электронов вследствие эффекта отдачи (Левич и Сюняев, 1971). Из уравнения Компанейца можно вывести некоторые свойства комптоновского рассеяния на тепловых электронах.

1).

Комптоновское рассеяние сохраняет число фотонов. Действительно,

(19)

Здесь - полное число фотонов.

2).

Решением стационарного уравнения Компанейца () является распределение Бозе-Эйнштейна (Б-Э):

(20)

Частный случай распределения Б-Э - это функция Планка (). Химический потенциал выражает недостаток фотонов по сравнению с распределением Планка, чем больше химический потенциал, тем больше недостаток фотонов. При распределение Б-Э вырождается в распределение Вина, , или Виновский спектр:

(21)

Физически это означает, что при очень большом количестве рассеяний комптоновское рассеяние формирует Б-Э спектр с температурой, равной температуре электронов.

Средняя энергия фотона в распределении Вина равна:

(22)

Задача 2. Прямым вычислением убедиться, что распределение Б-Э является решением стационарного уравнения Компанейца, а распределение Вина - решением стационарного уравнения Компанейца без учета индуцированных процесов, т.е. без члена .

3).

Уравнение энергетического баланса.

Умножим уравнение Компанейца на и проинтегрируем его по частоте. Интегрирование, произведенное по частям в пределах от нуля до бесконечности дает (Левич и Сюняев, 1971):

(23)

Здесь - интегральная плотность энергии излучения. Так как при комптоновском рассеянии изменение плотности энергии излучения равно изменению внутренней энергии электронов, то

(24)

Таким образом, очевидно, что первый член описывает охлаждение электронов благодаря эффекту Доплера, а два последних - нагрев благодаря эффекту отдачи. Если мы рассмотрим бесконечно узкую линию , где - дельта-функция Дирака, то получим, что при каждом рассеянии энергия фотона изменяется в среднем на . Отсюда видно, что фотоны не могут приобрести энергию больше, чем .

В стационарном случае , и можно найти температуру электронов в поле излучения с заданным спектром (Зельдович и Левич, 1970):

(25)

Такая температура называется комптоновской температурой.

Задача 3. Вывести уравнение энергетического баланса.

В том случае, когда фотоны низких энергий взаимодействуют с горячими электронами, можно пренебречь первыми двумя членами в уравнении Компанейца, и оно будет учитывать лишь доплеровское изменение частоты при рассеянии. Зельдович и Сюняев (1969) нашли решение получившегося диффузионного уравнения, которое в случае бесконечно узкой линии имеет вид:

Отметим, что формулировка уравнения Компанейца как изменение спектра фотонов от времени является очень удобной при рассмотрении космологических задач. Однако при рассмотрении формирования рентгеновских спектров в стационарных астрофизических объектах, таких как аккреционные диски, необходимо перейти от времени к пространственной переменной. Это достаточно просто сделать, так как введенное ранее безразмерное время является по смыслу также электронной оптической толщой , умноженной на . Таким образом, чем большую оптическую толщу проходят фотоны, тем большее время они подвергаются взаимодействию с электронами. В реальности картина несколько сложнее, и время взаимодействия между фотоном и электронами определяется числом рассеяний , испытанных фотоном . Исходя из свойств уравнения Компанейца, можно сказать, что при большом количестве рассеяний, когда из среды выходит излучение, имеющее спектральное распределение Бозе-Эйнштейна. Однако при не очень большой оптической толще горячих электронов имеются условия для формирования степенного спектра. Такая задача была решена Сюняевым и Титарчуком (1980).

Рассмотрим плоскопаралельный слой горячих электронов оптической толщины , через который проходит излучение низкой частоты со средней энергией . Среднее количество рассеяний, испытываемых фотонами при прохождении через слой, равно

При каждом рассеянии фотон приобретает дополнительную энергию, поэтому чем больше рассеяний испытал данный фотон, тем большую энергию он приобретет, но только до определенного предела, так как фотон в среднем не может приобрести энергию большую, чем средняя энергия электронов. Выше отмечалось, что при большом числе рассеяний и сильном недостатке фотонов формируется Виновский спектр, средняя энергия фотонов в котором равна . Таким образом, если среднее число рассеяний достаточно велико, практически все фотоны собираются вблизи энергии , формируя Б-Э спектр. Однако если среднего числа рассеяний недостаточно для приобретения этой энергии, важную роль начинают играть фотоны, испытавшие большее число рассеяний, чем среднее. Именно они формируют степенной спектр в диапазоне энергий от до . Математически это выражается следующим образом. Вероятность испытать большее число рассеяний, чем среднее, описывается простой формулой . Спектр выходящего излучения тогда представляется в виде свертки:

Здесь - задает распределение фотонов по числу испытанных рассеяний, а - спектр излучения, формирующийся за рассеяний. В интервале энергий определяющее влияние на спектр оказывает эффект Доплера, и описывается решением (26), где необходимо учесть, что . Подставив (26) в (28) и взяв , можно проинтегрировать и найти, что

где

Здесь постоянные и зависят лишь от распределения источников мягких фотонов по диску.

Таким образом, мы видим, что в спектральной области формируется степеной спектр. Вполне очевидно, что при больших частотах, когда начинает играть роль эффект отдачи, формируется Виновское распределение с экспоненциальным завалом на высоких частотах. Из формулы (30) видно, что наклон спектра (значение ) зависит от произведения , т.е. от оптической толщины плазмы и ее электронной температуры. Используя этот факт, можно по наклону спектра рентгеновского источника попытаться оценить это значение. Более того, если в спектре имеется экспоненциальный завал, то по энергии, где начинается этот завал (), можно оценить значение температуры, и используя ее, найти и оптическую толщину плазмы. Пример такой оценки дает кандидат в черные дыры Cyg X-1. Его спектр, полученный на высотном баллоне группой Трюмпера (Сюняев и Трюмпер, 1979) прекрасно описывается формулой (29) с параметрами плазмы = 26.5 кэВ и =2 (рис. 10).

Когда плазма является релятивистской, т.е. , уравнение Компанейца неприменимо, и неоходимы расчеты методом Монте-Карло (Поздняков, Соболь и Сюняев, 1982)

Такие расчеты показали, что рассеяние низкочастотных фотонов в облаке релятивистской плазмы с температурой формирует степенной спектр с показателем , линейно зависящим от , логарифма оптической толщины облака:

Остроумный способ аналитической оценки показателя степени в спектре для такой задачи был предложен Я.Б. Зельдовичем. Действительно, как отмечалось ранее, при каждом рассеянии фотона на ультрарелятивистском электроне с энергией частота фотона возрастает в раз. Предположим, что при максвелловском распределении электронов по скоростям энергия фотона возрастает в среднем в раз. После рассеяний энергия возрастает в раз, т.е. . С другой стороны, в плазме малой оптической толщины вероятность, что фотон испытает одно рассеяние, равна , а рассеяний - по порядку величины . Ясно, что интенсивность излучения на частоте пропорциональна рассеяниям:

где . При выводе формулы (32) было использовано тождество .

---

<< 4. Краткие характеристики источников | Оглавление | 6. Влияние межзвездного поглощения ... >>