Астронет: В. Б. Игнатьев/ГАИШ Гравитационно-волновое излучение от галактических компактных двойных звезд на эллиптических орбитах http://variable-stars.ru/db/msg/1174691/node4.html

Конкурс "Астронет-2001"

---

<< 2. Стационарная функция распределения | Оглавление | 4. Обсуждение >>

Разделы

• 3.1 ГВ-излучение от одной системы
• 3.2 Стохастический ГВ-сигнал от стационарного ансамбля двойных звезд
• 3.3 Широкополосный ГВ-сигнал

---

3. ГВ от компактных двойных нейтронных звезд на эллиптических орбитах

3.1 ГВ-излучение от одной системы

3.1.1 Случай некруговой орбиты

Рассмотрим ГВ-излучение от двойной системы, состоящей из двух компактных звезд с массами и на эллиптической орбите с полуосью , эксцентриситетом и на расстоянии от наблюдателя. Наклонение орбиты обозначим углом , - полярный угол, отсчитываемый от периастра, а - угол отсчитываемый в плоскости орбиты, от периастра орбиты до проекции направления на наблюдателя. Две поляризации плоской ГВ и можно записать в виде (Морено-Гарридо и др. 1995):

Усредняя по ориентации орбиты

В более простом случае , амплитуда ГВ от источника, находящегося на расстоянии , усредненная по ориентации орбиты и периоду записывается в виде

При излучении ГВ будут уносить из системы энергию и импульс. Энергия , переносимая ГВ в направлении ее распространения через площадку за время

Полная энергия, излучаемая отдельным источником в единицу времени находится интегрированием потока (3.5) по всем направлениям.

В спектральном представлении, количество энергии излучаемой в единицу времени на -гармонике (см. Зельдович и Новиков 1967) можно записать

Здесь - функция Бесселя порядка . Видно, что в случае некруговых орбит двойная система будет излучать не на одной частоте, как в случае круговых орбит, а на многих гармониках орбитальной частоты.

3.1.2 Длительность слияния двойной системы

Рассмотрим двойную систему на круговой орбите. Такая система теряет гравитационную энергию связи в виде излучения гравитационных волн (3.7). При этом полуось орбиты уменьшается (в квадрупольном приближении) в соответствии с уравнением.

что следует также из формулы (2.2) при . Полуось изменяется от некоторого начального значения и обращается в нуль в момент времени

Это время и есть длительность слияния двойной системы.

В случае некруговой орбиты необходимо рассматривать систему уравнений (2.2)-(2.3). В результате получим

Время слияния двойной системы с начальным эксцентриситетом отличным от нуля меньше, чем для системы на круговой орбите с той же начальной полуосью .

Это может быть понятно из следующих соображений. В случае эллиптичной орбиты потери энергии из-за излучения ГВ больше, чем в случае круговой орбиты на фактор , который очень быстро растет при . А гравитационная энергия связи двойной системы зависит только от большой полуоси системы и не зависит от эксцентриситета. Излучая гравитационные волны, система становится более тесной и круговой ( и - имеют отрицательный знак). При уменьшение эксцентриситета уменьшается и фактор , и к моменту слияния орбита становится почти круговой. Уменьшение фактора и зависимость определяет интеграл (3.13).

3.2 Стохастический ГВ-сигнал от стационарного ансамбля двойных звезд

Как уже говорилось выше, в Галактике значительная часть звезд входит в состав двойных систем. В случае большого числа независимых одинаковых источников на одном и том же расстоянии , которые излучают ГВ со случайными фазами, детектор будет регистрировать гравитационно-волновой шум, уровень которого . В случае двойных систем уровень фона ГВ , где - темп слияния этих систем.

Наиболее многочисленна популяция галактических двойных белых карликов (Бендер 1990, Бендер 1997, Постнов и Прохоров 1998), двигающихся по круговым орбитам. Уровень стохастического фона ГВ от этих систем достаточен, для того, чтобы его можно было зарегистрировать космическим интерферометром LISA. Образование и методы вычисления уровня фона рассмотрены в работах Постнов и Прохоров 1998, Грищук и др. 2001.

В случае некруговых орбит ГВ-светимость выше, нежели в круговом случае.

Кроме того, такие системы излучают не на одной частоте (удвоенной орбитальной), а в широком диапазоне частот.

где - см (3.9). Номер гармоники, на которой излучается максимум энергии . Поэтому максимум ГВ-излучения от двойных систем обладающих значительным эксцентриситетом приходится на частоты много большие орбитальной частоты.

3.2.1 Образование стохастического фона от двойных систем на эллиптических орбитах.

Рассмотрим некоторый интервал частот (в дальнейшем - бин) , такой, что . В этот бин попадает излучение от двойных систем, которые имеют орбитальную частоту и излучают на первой гармонике.

Число таких систем можно найти из стационарной функции распределения . Также в этот частотный интервал попадает излучение от систем с орбитальной частотой , которые излучают на второй гармонике. И так далее. Суммарная энергия, излучаемая в единицу времени на частоте в частотный интервал

- стационарная функция распределения двойных НЗ.

Стоит заметить, что при увеличении номера гармоники уменьшается интервал орбитальной частоты системы , излучение от которой может попасть в наблюдаемый частотный бин.

Осталось только пояснить, что такое . Амплитуда высоких гармоник быстро уменьшается (см. рисунок 3.1), и мы останавливаем суммирование по гармоникам при , которое определим следующим образом. , таким образом вклад от гармоники будет в раз меньше вклада от гармоники . При расчетах использовались значения . При уменьшении увеличивается число гармоник, попадающих в частотный бин, но практически не меняется число наиболее мощных гармоник в бине.

3.2.2 Стационарный стохастический фон от сливающихся НЗ.

Рассчитаем ГВ-фон для простой модели, в которой все двойные системы образуются в одной точке фазового пространства с темпом рождения (и слияния) год. Следовательно, начальная функция распределения имеет вид дельта-функции. Рассчитав стационарную функцию распределения можно построить спектр ГВ-фона, изображенного на рисунках 3.3-3.4 для и и соответственно.

Кроме того, на рисунках 3.3-3.4 изображены вклады первых трех гармоник в общий ГВ-фон. Видно, что увеличение начального эксцентриситета сильно влияет на вид спектра до некоторой частоты, при которой эксцентриситеты двойных, формирующих ГВ-фон, становятся незначительными. На частотах выше этой частоты только излучение на второй гармонике от почти круговых орбит определяет общий спектр. Немонотонная зависимость общего спектра и вкладов отдельных гармоник от частоты является следствием немонотонной зависимости энергии излучаемой на каждой гармонике от эксцентриситета.

Теперь рассмотрим стохастический фон ГВ от галактических двойных НЗ на эллиптических орбитах. Предполагаем, что все источники находятся на одном расстоянии, а именно кпк (см. часть 2.1).

На каждой частоте мы суммируем ГВ-поток от всех гармоник попадающих в частотный бин  Гц от двойных систем с посчитанной стационарной функцией распределения (см. (2.5)). Результирующий фон изображен на рисунке 3.5 в терминах безразмерной амплитуды вариации метрики , которую мы определяем соотношением.

Это часто используемая в литературе связь точна для строго периодического сигнала (см. формулу (3.5)) и является оценкой по порядку величины в общем случае.

Как и ожидалось, уровень стохастического фона, образованный сливающимися двойными нейтронными звездами, лежит ниже уровня стохастического фона сливающихся белых карликов главным образом из-за малого темпа слияния . Большие гармоники от некруговых систем дают основной вклад в общий фон на низких частотах, начиная с частоты  Гц вычисленный фон практически не отличается от фона, который бы формировали двойные НЗ на круговых орбитах с таким же темпом слияния год.

Уровень внегалактического фона от двойных нейтронных звезд даже с учетом сильной зависимости темпа звездообразования от красного смещения и космологических эффектов не может составлять более чем 10% от уровня галактического фона (Косенко и Постнов 1998, Шнайдер 2001) и поэтому его рассматривать не будем.

В предположении стационарности уровень фона на частотах выше также имеет физический смысл. Действительно, при большом количестве ( ) наблюдений длительностью один год каждое, усредненный спектр по всем этим наблюдениям и составит стационарный стохастический фон ГВ. На рисунке 3.5 изображен длинными штрихами.

3.2.3 Предельная частота

Кроме уровня фона есть еще одна важная величина, которая характеризует стохастический фон. Это предельная частота , т.е. такая частота, выше которой индивидуальные источники можно будет разрешить за время наблюдении  год. Таким образом, предельная частота определяет границу, при наблюдениях на частотах выше которой принципиально возможно разрешить индивидуальные источники, а также детектировать более слабые стохастические фоны (например, реликтовые гравитационные волны, несущие информацию о ранних стадиях развития Вселенной  сек, см. Грищук и др. 2001).

Оценку можно получить из следующих соображений. Рассмотрим узкий интервал частот . Частота излучения от двойных систем, вследствие уноса ГВ энергии и углового момента, увеличивается, и излучение от определенного источника через некоторое время перестанет попадать в первоначальный частотный бин.

Пусть с темпом - источники появляются в частотном окне, и находятся там время . Таким образом, число систем в этом интервале частот . Из условия можно определить .

Для галактической популяции сливающихся БК, которые находятся на почти круговых орбитах (см. Грищук и др. 2001)

где  год. Если галактические двойные нейтронные звезды также имели круговые орбиты, то предельная частота для них была бы  Гц. В случае некруговых орбит значение увеличивается. Для того чтобы оценить предельную частоту, мы посчитали число гармоник попадающих в частотный интервал . Формально это число много больше единицы для любой частоты, но на высоких частотах основной вклад дает только вторая гармоника, а вклад остальных гармоник с увеличением частоты  уменьшается.

Мы будем считать число таких гармоник, вклад которых в ГВ - поток на данной частоте составляет от общего потока. Число таких гармоник как функция частоты изображена на рисунке 3.6 для различных предполагаемых амплитуд скорости «отдачи» во время вспышки сверхновой. Предельная частота определяемая из уравнения при наших неопределенностях (, , и др.) принимает значение  Гц, что порядка аналогичной величине для сливающихся БК. Для сравнения на рисунке 3.6 показано для случая круговых орбит двойных нейтронных звезд.

Эффект зависимости от выбранного уровня ГВ-потока от наиболее мощных гармоник изображен на рисунке 3.7. Увеличение уровня с до увеличивает значение почти на порядок.

Теперь рассмотрим частотные бины на частоте больше предельной частоты . Можно ответить на вопрос, у каких из гармоник попадающих внутрь бина наибольшая вероятность находиться в бине, и у каких она наименьшая. Эта вероятность определяется номером гармоники и стационарной функцией распределения . Наименее вероятные, это гармоники от систем с максимальной орбитальной частотой , излучение от которых попадает в частотный бин на первой гармонике. Проведем такую операцию: отбросим вклад от систем, излучение от которых на первой гармонике попадает внутрь частотного интервала при . При этом теряется некоторая часть общего ГВ-потока и можно найти новую оценку предельной частоты . Для частот проведем подобную операцию. Здесь наименее вероятной гармоникой будет вторая. Находим соответствующую этому случаю предельную частоту . И так далее, отбрасываем вклады от 3-ей, 4-ой,...,-ой гармоник, пока уровень оставшегося фона не станет меньше уровня чувствительности детектора.

Как уже говорилось выше, наименьшая вероятность попадания гармоники в бин у гармоник с малым , но вместе с тем эти гармоники вносят существенный вклад в общий уровень фона. На больших частотах почти все излучение попадающее в частотный бин определяет вторая гармоника. Соответственно, уровень фона - именно фона, так как отброшенные гармоники редкие и при этом «мощные» - для того чтобы их можно было разрешить, будет резко уменьшаться с частотой. Уровень стохастического фона от двойных нейтронных звезд, после проведения такой операции изображен на рисунке 3.5 ломаной линией, а предельная частота оказывается порядка  мГц. Конечно, эта кривая не представляет собой реального стохастического фона ГВ от сливающихся галактических двойных НЗ и дает представление только о его поведении на частотах больше предельной частоты  мГц. На частотах ниже предельной уровень стохастического фона определяется стационарным стохастическим фоном рассчитанным выше.

3.3 Широкополосный ГВ-сигнал

ГВ-излучение от двойных звезд нашей Галактики образует стохастический фон на частотах  Гц и может быть обнаружено космическим интерферометром LISA. На частотах выше предельной частоты (см. часть 3.2.3)  Гц можно будет регистрировать гравитационные волны от отдельных систем за время наблюдения один год. Обнаружить ГВ от двойной системы на круговой орбите за год наблюдений, скорее всего не удастся, так как слишком мала вероятность такого события. Напомним, что темп слияния двойных нейтронных звезд в год, а белых карликов лет. В тоже время вероятность обнаружить излучение от двойных систем нашей Галактики в частотном диапазоне  Гц весьма велика. Это связано с двойными системами на сильно вытянутых орбитах, излучение от которых происходит на больших гармониках. Что же представляет из себя это излучение? Максимум излучения ГВ от двойных звезд на эллиптических орбитах приходится на моменты вблизи прохождения периастра . ГВ-излучение от такой систем будет носить характер широкополосных импульсов с периодом повторения (орбитальным периодом) от десятков минут до нескольких часов в диапазоне частот  Гц. Длительность такого импульса определяется временем пролета вблизи периастра, где происходит интенсивная генерация ГВ. Для больших эксцентриситетов длительность импульса приближенно равна ( - скорость движения в периастре), и максимум излучения приходится на гармонику в соответствии с третьим законом Кеплера.

3.3.1 ГВ-сигнал от двойных систем при прохождении периастра

Определим время излучения основной части энергии при движении НЗ вблизи периастра. Для этого воспользуемся выражением для излучения ГВ от двух точечных масс на эллиптических орбитах, усредненным по пространственной ориентации орбиты (Ландау и Лифшиц 1973)

где - полярный угол, отсчитываемый от периастра. Определим длительность импульса при прохождении периастра, как время, за которое излучается энергии, выделяемой за один орбитальный период и - полярный угол, соответствующий участку орбиты, на котором излучается эта доля энергии.

Перейдем от интегрирования по времени к интегрированию по полярному углу

Зависимость и от эксцентриситета изображена на рисунке 3.8. Видно, что начиная с эксцентриситета угол и слабо меняется при дальнейшем увеличении эксцентриситета. Это может быть понятно из следующих соображении: периастральное расстояние и фокальный параметр эллипса орбиты при больших эксцентриситетах меняются одинаково и, следовательно периастральные части орбит при различных подобны друг другу.

Также из рисунка 3.8 следует, что при эксцентриситете около энергии высвечивается за орбитального периода. В дальнейшем мы будем брать значение в качестве нижней границы эксцентриситетов двойных звезд, дающих широкополосные импульсы ГВ.

Таким образом, при прохождении периастра двойная НЗ на эллиптической орбите будет излучать сигнал в широком интервале частот . Такие импульсы характеризуются длительностью , периодом повторения и амплитудой, в качестве оценки которой возьмем максимальную безразмерную амплитуду гравитационной волны в периастре. Усредняя квадраты амплитуд ГВ-поля различных поляризации по пространственной ориентации системы, получаем

В пределе эта максимальная амплитуда превышает в раза амплитуду от двойной системы на круговой орбите с радиусом, равным параметру эллипса , и в раза амплитуду на круговой орбите с радиусом, равным расстоянию в периастре. Также на рисунке 3.8 показано, как меняется средняя амплитуда ГВ, при различных эксцентриситетах в момент времени , когда уже высветилось энергии, излучаемой за период. Видно, что к моменту средняя амплитуда уменьшается с ростом эксцентриситета не более чем в 2 раза, и не более чем в 4 раза для .

3.3.2 Особенности детектирования широкополосных ГВ-сигналов

Теперь, если мы хотим расcчитать ожидаемый темп детектирования ГВ-импульсов от двойных систем на эллиптических орбитах, следует точнее определить, что мы будем называть импульсом и записать для такого сигнала отношение сигнал к шуму.

Двойные НЗ на вытянутой орбите, излучение от которых в периастре попадает в частотный диапазон  Гц, могут иметь орбитальные периоды от десятков минут до нескольких часов (см. рисунок 3.9).

Предполагаем, что изменение энергии и момента импульса системы за один орбитальный период мало и параметры орбиты не меняются. Это допущение выполняется для рассматриваемых частот. Тогда за время наблюдения  год сигнал от одной системы будет представлять периодическую последовательность, состоящую из широкополосных импульсов со случайной фазой относительно начала наблюдении. Также неизвестна пространственная ориентация системы, направление и расстояние до нее. Следовательно, сигнал на детекторе будет представлять из себя сумму периодических последовательностей импульсов со случайными фазами, различными амплитудами и периодами повторений . Важно заметить, что в рассматриваемом диапазоне частот такой сигнал не образует стохастического фона (см. часть 3.2) при частотном разрешении детектора  Гц.

Сначала рассмотрим частный случай, когда в рассматриваемом интервале частот имеется только одна последовательность импульсов. Отношение сигнала к шуму при наблюдении импульса с длительностью детектором с чувствительностью (имеет размерность , см. точное определение и обсуждение в обзоре Грищук и др. 2001).

где - ширина ГВ-импульса в частотном представлении.

Для периодической последовательности состоящей из одинаковых импульсов отношение сигнала к шуму увеличится

где  Гц - максимальное частотное разрешение детектора. Такую последовательность ГВ-импульсов теперь будем называть сигналом, с отношением сигнала к шуму записанным в виде (3.20). Для импульсного сигнала, приходящего с неизвестного направления, обычно требуют (Торн 1987), где фактор 5 появляется для того, чтобы отсечь ложные события, а учитывает неизвестное направление.

В качестве реального примера рассмотрим Халс-Тейлоровский пульсар PSR B1913+16 и найдем для него отношение сигнала к шуму. Орбитальные параметры этой двойной системы состоящей из двух НЗ (Тейлор, Вайсберг 1989): большая полуось  см, орбитальный период  с, эксцентриситет . Массы обеих компонент с большой точностью совпадают , расстояние до системы  кпк. Усредняя по пространственной ориентации (будем считать ее неизвестной) находим . Для эксцентриситета 0.617 длительность импульса  c, ширина импульса в частотном представлении  мГц, частота максимальной (4-ой) гармоники  мГц. Отношение сигнала к шуму за год непрерывных наблюдений, оцененное по формуле (3.20) равно 0.5 (без учета шума от галактических белых карликов, ГВ-фон которых определяет астрофизический шум на детекторе в данном интервале частот). Видно, что PSR B1913+16 невозможно будет зарегистрировать, и такие источники нам не интересны.

Теперь рассмотрим галактическую популяцию двойных нейтронных звезд. Воспользовавшись результатами Главы 2, построим начальную и стационарную функции распределения по орбитальными параметрам. Кроме того, на стационарную функцию распределения наложим дополнительные условия, определяющие ее границы на фазовой плоскости.

1. нижняя граница эксцентриситетов двойных звезд, ГВ-излучение от которых представляется в виде импульсов.

2.  года. Это условие следует из требования постоянства параметров орбиты.

3. следует из условия стационарности.

Выделим на фазовой плоскости область, в которой находятся системы излучающие ГВ с амплитудой, дающей отношение сигнал к шуму (по прежнему считаем, что все источники находятся на одинаковом расстоянии  кпк). Интегрируя стационарную функцию распределения по этой области, получаем число таких систем . Понижение порога обнаружения увеличит число таких систем до 15, в случае .

Поскольку на частотах  Гц именно стохастический фон от неразрешенных двойных белых карликов определяет уровень шума на детекторе (уровень фона от других популяции компактных двойных звезд существенно ниже), мы также учитывали в качестве шума и этот фон. ^3.1

Распределение систем по длительности импульсов и орбитальным периодам приведено на рисунке 3.9. Видно, что наиболее вероятно обнаружить импульсы с длительностью около 100 секунд от систем с орбитальным периодом  cекунд. Средний эксцентриситет при этом .

Таким образом, для стационарного распределения двойных НЗ в Галактике, существуют несколько систем с большими эксцентриситетами и орбитальными периодами в диапазоне от нескольких десятков минут до нескольких часов с достаточно высокой амплитудой ГВ в максимуме.

Системы массивный БК+НЗ обладают в среднем значительно меньшим эксцентриситетом (средний начальный эксцентриситет таких систем ), поэтому добавленная нижняя граница по эксцентриситету оказывается весьма критичной для определения числа систем, излучение от которых в периастре в виде широкополосных импульсов возможно будет регистрировать с большим отношением сигнала к шуму. В случае стационарного распределения, полного темпа слияния  год и для отношения сигнала к шуму число систем , а при увеличивается до . Видно, что обнаружить такой сигнал за год наблюдении маловероятно. Наиболее вероятная длительность импульса порядка 300 секунд, а наиболее вероятный орбитальный период около 1000 секунд, как и для двойных нейтронных звезд. Стоит заметить, что широкополосные ГВ-импульсы от двойных НЗ и систем БК+НЗ почти ни чем не отличаются, за исключением их длительности.

---

<< 2. Стационарная функция распределения | Оглавление | 4. Обсуждение >>