Астронет > 2.1 Классический метод Белинфанте

Астронет: А. Н. Петров/ГАИШ Законы сохранения в ОТО и их приложения
http://variable-stars.ru/db/msg/1170672/node8.html

<< 2. Развитие и обобщение ... | Оглавление | 2.2 Приложение процедуры Белинфанте ... >>

Разделы

2.1 Классический метод Белинфанте

2.1.1 Проблемы определения углового момента в полевой теории

Вначале мы коротко изложим основные положения оригинальной работы Белинфанте [1], во многом даже следуя его стилю и обозначениям. Рассмотрим теорию некоторых динамических полей представленных обобщенным символом $\psi^A$ с лагранжианом

$\begin{displaymath} \hat L = \hat L \left(\psi^A, \partial_\alpha \psi^A, \eta_{\mu\nu} \right) \end{displaymath}$

(2.1)

в пространстве Минковского с метрикой Минковского $\eta_{\mu\nu}$ . Плотность канонического тензора энергии-импульса в такой теории определяется обычным образом:

$\begin{displaymath} \hat t_\nu^{\mu} = \sum_A {{\partial \hat L}\over {\partial(\partial_\mu \psi^A)}} \partial_\nu \psi^A -\delta^\mu_\nu \hat L \end{displaymath}$

(2.2)

и сохраняется

$\begin{displaymath} \partial_\mu \hat t_\nu^{\mu} = 0 \end{displaymath}$

(2.3)

на выполненных уравнениях движения. Следуя правилам обычной механики тензорную плотность углового (орбитального) момента следоволо бы определить как

$\begin{displaymath} \hat {m}_{kl}^{ \alpha} = x_{[k}\hat t_{l]}^{\alpha}. \end{displaymath}$

(2.4)

Здесь возникает проблема: определенный таким образом угловой момент не сохраняется

$\begin{displaymath} \partial_\alpha \hat { m}_{kl}^{ \alpha} = \hat t_{[kl]} \neq 0 \end{displaymath}$

(2.5)

даже с учетом закона сохранения (2.3). Дело в том, что тензор энергии-импульса определенный в (2.2) в общем случае не симметричен. Ситуацию в (2.5) мог бы спасти сохраняющийся симметричный тензор энергии-импульса, который можно было бы построить по другим правилам, или симметризовать уже имеющийся (2.2).

2.1.2 Симметризация Белинфанте

Вторую из этих возможностей использовал Белинфанте [1], который предложил следующее. Пусть при бесконечно малых вращениях определяемых антисимметричным параметром $\delta \omega^{\mu\nu}$ вариации координат и динамических переменных имеют вид: $\delta x^\nu = x_\mu \delta \omega^{\mu\nu}$ и $\delta \psi^A = \delta \omega^{\mu\nu} {\bf S}_{\mu\nu} \psi^A$ , где ${\bf S}_{\mu\nu}$ -- оператор. Определим величину

$\begin{displaymath} \hat B_{\lambda\mu\nu} = {\textstyle{\frac{1}{2}}}\left(\hat... ...da} + \hat f_{\mu\lambda\nu} - \hat f_{\nu\lambda\mu}\right), \end{displaymath}$

(2.6)

где

$\begin{displaymath} \hat f_{\mu\nu}^{ \alpha} \equiv \sum_A {{\partial \hat L}\... ... {\partial(\partial_\alpha \psi^A)}}{\bf S}_{[\mu\nu]} \psi^A. \end{displaymath}$

(2.7)

Далее величину (2.6) или ее обобщения мы будем называть поправкой Белинфанте. Теперь добавим производную от (2.6) к каноническому выражению (2.2):

$\begin{displaymath} \hat {t}^{(B)}_{\mu\nu} = \hat t_{\mu\nu} + \partial_\alpha \hat B_{ \mu\nu}^{\alpha}. \end{displaymath}$

(2.8)

Как и прежде, в (2.3): $\partial_\mu \hat {t}_\nu^{(B)\mu} = 0$ на уравнениях движения, но теперь еще: $\hat {t}^{(B)}_{\mu\nu} = \hat {t}^{(B)}_{\nu\mu}$ . Благодаря этим двум равенствам ,,исправленный'' орбитальный угловой момент:


		$\displaystyle \hat {m}_{kl}^{(B)\alpha} = x_{[k}\hat {t}_{l]}^{(B)\alpha}$

сохраняется $\partial_\alpha \hat {m}_{kl}^{(B)\alpha} = 0$ .

2.1.3 Теорема Нетер и метод Белинфанте

В оригинальном изложении метод Белинфанте представлен, фактичести, на уровне уравнений движения. Сейчас мы опишем его единым образом в рамках лагранжевой теории. Для этого запишем лагранжиан (2.1) в общековариантном виде:

$\begin{displaymath} \hat L = \hat L \left(\psi^A, \bar D_\alpha \psi^A, \overline g_{\mu\nu} \right), \end{displaymath}$

(2.9)

где метрика $\overline g_{\mu\nu}$ может описывать любое фиксированное пространство-время, не обязательно плоское. Для ковариантного лагранжиана (2.9) запишем тождество Нетер:

$\begin{displaymath} {\pounds_\xi} \hat L + \partial_\alpha\left(\xi^\alpha \hat L\right) \equiv 0 \end{displaymath}$

(2.10)

с определенной как в лекции 1 производной Ли:


		$\displaystyle \hbox{$\pounds$}_\xi \psi^A = -\xi^\alpha \overline D_\alpha \psi^A + \overline D_\beta \xi^\alpha \left.\psi ^A \right\vert _\alpha^\beta$

и произвольным вектором $\xi^\alpha$ . Тождество (2.10) анализируется аналогично тому как это представлено в лекции 1 (более детально познакомиться с методом анализа тождеств типа (2.10) можно в книге Мицкевича [2]). В результате (2.10) переходит в закон сохранения $\partial_\alpha \hat I^\alpha \equiv 0$ для тока

$\begin{displaymath} \hat I^\alpha \equiv \hat T^\alpha_\sigma \xi^\sigma - \ha... ... \right\vert^\alpha_\sigma \xi^\sigma +\hat Z_{(\psi)}^\alpha. \end{displaymath}$

(2.11)

Структура этого тока важна и мы ее обсудим подробно. Первый член -- это симметричный (так называемый метрический) тензор энергии-импульса полей $\psi^A$ :

$\begin{displaymath} \hat T_{\alpha\beta} \equiv {{\delta \hat L} \over {\delta \... ...equiv 2{{\delta \hat L} \over {\delta \bar g^{\alpha\beta}}}, \end{displaymath}$

(2.12)

второе слагаемое выражено уже известным каноническим тензором энергии-импульса (2.2), только теперь мы записываем его в явно ковариантном виде:

$\begin{displaymath} \hat t^\alpha_\sigma \equiv {{\partial \hat L} \over {\parti... ...A\right)}} \bar D_\sigma \psi^A - \hat L \delta^\alpha_\sigma. \end{displaymath}$

(2.13)

В третьем слагаемом в (2.11) главную роль играет спиновый тензор:

$\begin{displaymath} \hat \Sigma^{\alpha\beta}_{ \sigma} \equiv - {{\partial \ha... ..._\alpha \psi^A\right)}} \left.\psi^A \right\vert^\beta_\sigma. \end{displaymath}$

(2.14)

Мы предполагаем, что уравнения движения


		$\displaystyle {{\delta \hat L} \over {\delta \psi^A}} = 0$

выполняются и не будем больше учитывать предпоследний член в (2.11). Наконец, структуру Z-члена мы не выписываем, но отмечаем, что он исчезает на киллинговых векторах фона.

В силу тождества $\partial_\alpha \hat I^\alpha \equiv 0$ должен существовать суперпотенциал, то есть антисимметричная тензорная плотность. Действительно, такой суперпотенциал существует, и закон сохранения $\partial_\alpha \hat I^\alpha \equiv 0$ может быть заменен законом сохранения:

$\begin{displaymath} \hat I^\alpha \equiv \partial_\beta \hat I^{\alpha\beta} \eq... ..._\beta\left( \hat M^{\alpha\beta}_{ \sigma}\xi^\sigma\right), \end{displaymath}$

(2.15)

где величина

$\begin{displaymath} \hat M^{\alpha\beta}_{ \sigma} \equiv {{{\partial \hat L} \... ...mu\nu}\right)}} \left.\bar g_{\mu\nu}\right\vert^\beta_\sigma} \end{displaymath}$

(2.16)

антисимметрична по верхним индексам: $\hat M^{\alpha\beta}_{ \sigma} = - \hat M^{\beta\alpha}_{ \sigma}$ , хотя (2.16) не показывает этого явно.

Сравнивая определения (2.7) и (2.14) мы определяем поправку Белинфанте точно также как в (2.6):

$\begin{displaymath} \hat S^{\alpha\beta\gamma}_{(\psi)} = \hat \Sigma^{\gamma[\a... ...gma^{\alpha[\gamma\beta]} - \hat \Sigma^{\beta[\gamma\alpha]}, \end{displaymath}$

(2.17)

где $\hat S^{\alpha\beta\gamma}_{(\psi)} = - \hat S^{\beta\alpha\gamma}_{(\psi)}$ . Чтобы упростить изложение перепишем закон сохранения (2.15) для произвольных киллинговых векторов фона $\xi^\alpha = {\bar\xi}^\alpha$ :


		$\displaystyle \hat T^\alpha_\sigma {\bar\xi}^\sigma - \left(\hat t^\alpha_\sigm... ...) = \partial_\beta\left[\hat M^{\alpha\beta}_{ \sigma}{\bar\xi}^\sigma \right]$

и добавим к обеим частям $-\partial_\beta\left(\hat S^{\alpha\beta\gamma}_{(\psi)}\bar\xi_\gamma\right)$ :

$\begin{displaymath} \hat T^\alpha_\sigma {\bar\xi}^\sigma - \left(\hat t^\alpha_... ...gma -\hat S^{\alpha\beta\gamma}_{(\psi)}\bar\xi_\gamma\right]. \end{displaymath}$

(2.18)

В силу определения (2.17) спиновый член в левой части (2.18) компенсируется добавкой Белинфанте. Кроме того, оказывается, что выражения в формулах (2.16) и (2.17) совпадают в общем случае: $\hat M^{\alpha\beta\gamma} = \hat S^{\alpha\beta\gamma}_{(\psi)}$ ; в силу этого правая часть (2.18) обращается в нуль, то есть после коррекции суперпотенциал исчезает. В результате (2.18) упрощается до равенства


		$\displaystyle \hat T^\alpha_\sigma {\bar\xi}^{\sigma} - \left(\hat t^\alpha_\si... ...line D_\beta \hat S^{\alpha\beta}_{(\psi)\sigma}\right) {\bar\xi}^{\sigma} = 0.$

Теперь запишем симметризованный с помощью метода Белинфанте, как это было сделано в (2.8), канонический тензор энергии-импульса:

$\begin{displaymath} \hat t^{(B)\alpha}_\sigma = \left(\hat t^\alpha_\sigma + \overline D_\beta \hat S^{\alpha\beta}_{(\psi)\sigma}\right). \end{displaymath}$

(2.19)

Сравнивая последние два равенства находим, что симметризованный тензор энергии-импульса (2.19) равен метрическому тензору энергии-импульса (2.12):

$\hat t^{(B)\alpha}_\sigma = \hat T^\alpha_\sigma$ .

Электординамика, лагранжиан которой соответствует форме (2.9),


		$\displaystyle {\hat{\cal L}}^{\dag }=-{1\over 16\pi}\sqrt{-\bar g}\bar g^{\mu\r... ...\mu\nu}F_{\rho\sigma}, F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu.$

является хорошей иллюстрацией изложенного. Канонический тензор энергии- импульса (2.13) и тензор спина (2.14) преобретают вид:

$\displaystyle \hat t^{\dag\mu}_{ \nu}$	=	$\displaystyle -{\sqrt{-\bar g}\over 4\pi}\left(F^{\mu\rho}\overline D_\nu A_\rho - {1\over 4}F^{\rho\sigma}F_{\rho\sigma}\delta^\mu_\nu\right),$
$\displaystyle \hat \Sigma^{\dag\mu\rho\sigma}$	=	$\displaystyle -{\sqrt{-\bar g}\over 4\pi}F^{\mu[\rho}A^{\sigma]}.$

Тогда поправка Белинфанте (2.17) записывается как


		$\displaystyle \hat S^{\dag\mu\nu\rho}= \hat \Sigma^{\dag\rho[\mu\nu]}+ \hat \Si... ...- \hat \Sigma^{\dag\nu[\rho\mu]}= {\sqrt{-\bar g}\over 4\pi} F^{\mu\nu}A^{\rho}$

и приводит к Белинфанте модифицированному тензору энергии-импульса (2.19):


		$\displaystyle {\hat T}^{\dag\mu\nu} = {\sqrt{-\bar g}\over 4\pi}\left(F^{\mu\rho}F_{\rho}^{ \nu}+{1\over 4}\bar g^{\mu\nu} F^{\rho\sigma}F_{\rho\sigma}\right).$

С другой стороны, это есть известный симметричный, калибровочно инвариантный тензор энергии-импульса электоромагнитного поля, который получается варьированием ${\hat{\cal L}}^{\dag }$ по заданной метрике.

<< 2. Развитие и обобщение ... | Оглавление | 2.2 Приложение процедуры Белинфанте ... >>