Астронет: К. А. Постнов/ГАИШ Лекции по Общей Астрофизике для Физиков http://variable-stars.ru/db/msg/1170612/6lec/node3.html

---

<< 6.1 Ядерные реакции в | Оглавление | 6.3 Соотношения и для >>

Разделы

• 6.2.1 pp-цикл (Г. Бете, 1939)
• 6.2.2 CNO-цикл
• 6.2.3 Замечания о фотонной светимости Солнца

---

6.2 Особенности ядерных реакций в звездах.

Используя теорему вириала , центральная температура в звезде может быть оценена как

Здесь - универсальная газовая постоянная, - молекулярный вес вещества. Для полностью ионизованной плазмы солнечного химсостава (70% водорода, 27% гелия и остальное - другие химические элементы) . Т.е. средняя кинетическая энергия частиц в центре Солнца кэВ. С другой стороны, чтобы пошла реакция соединения двух протонов в ядро дейтерия, требуется преодолеть кулоновский барьер МэВ (здесь учли, что реакция пойдет при приближении протонов на расстояние действия ядерных сил см).

Газ в центре Солнца вполне идеален, и частицы (протоны) движутся со скоростями в соответствии с Максвелловским распределением . Отсюда доля протонов с энергией оказывается , что безнадежно мало даже для солнечной массы с числом частиц .

Как было впервые показано Г.А. Гамовым, ядерные реакции в центре Солнца все же возможны из-за эффекта квантовомеханического туннелирования волновой функции под кулоновский барьер. Импульс частицы в квантовой механике (Л. Де Бройль (De Brogile)) , где - волновое число. Движение частицы с зарядом с импульсом соответствует волновая функция . Кинетическая энергия частицы , где - потенциальная энергия в кулоновском поле c зарядом . Отсюда . В классической механике при происходит отражение частицы от барьера, т.е. частица не проникает в область . В квантовой механике при имеем и волновая функция . Это означает, что всегда есть отличная от нуля вероятность подбарьерного перехода

Здесь

постоянная, называемая Гамовской энергией. Интегрируя по максвелловскому распределению частиц с энергией , получаем скорость реакции

Выражение под экспонентой имеет резкий максимум, поэтому интеграл легко берется методом перевала. Не имея здесь места для более подробного изложения, отошлем интересующихся к глубокой монографии Д.А. Франк-Каменецкого "Физические процессы внутри звезд", М.: Физматгиз, 1959. Окончательный ответ:

где

и численно

где температура выражена в миллиардах градусов  K. Полученный закон роста скорости реакций с температурой отражает увеличение вероятности просачивания через барьер и уменьшение доли числа частиц с требуемой энергией.

Знание скорости реакции позволяет легко рассчитать изменение концентрации взаимодействующих элементов со временем:

или в терминах долей массы соответствующих элементов

Отметим линейную (а не квадратичную) зависимость от плотности , т.к. расчет ведется на единицу массы.

Рассмотрим теперь некоторые особенности основных термоядерных реакций, происходящих в звездах главной последовательности.

6.2.1 pp-цикл (Г. Бете, 1939)

Реализуется в звездах небольших масс .

1.

2.

3. С вероятностью 65%:

или (35%)

4. (35%)

или (0.1%)

5.

Замечания:

1. 1-я реакция самая медленная, т.к. идет по каналу слабого взаимодействия, в гамильтониан входит постоянная Ферми . Эта реакция определяет темп энерговыделения на грамм вещества и время жизни звезды на главной последовательности.

2. Дейтерий (2-я реакция) быстро вступает в реакцию с образованием гелия-3, равновесная концентрация определяется отношением времен реакций (1) и (2), т.е. . Это важное свойство дейтерия быстро "выгорать" в звездах позволяет считать дейтерий в межзвездной среде первичным, т.е. образованным при первичном нуклеосинтезе в ранней Вселенной. Измерение содержания первичного дейтерия - важнейший тест теории первичного нуклеосинтеза.

3. Эффективность энерговыделения на грамм вещества зависит от температуры в высокой степени:
   

   (6.8)

   
   
   ( - плотность; входит в первой степени т.к. расчет энерговыделения ведется на единицу массы). Отметим низкую среднюю "калорийность" ядерных реакций:  эрг/г/с - примерно энерговыделение в процессе гниения опавшей листвы в осеннем саду...

4. Нейтрино в среднем уносят энергию 0.6 МэВ. Количество нейтрино , излучаемое Солнцем за секунду, определяется только светимостью Солнца, т.к. в термоядерных реакциях в Солнце при выделении 26.7 МэВ рождается 2 нейтрино, откуда нейтрино/с. Поток р-р нейтрино на Земле частиц/см/c (cм. Рис. 6.1). Отметим, что солнечные нейтрино имеют довольно широкий спектр вплоть до энергий 14 МэВ.

Прямая проверка теории строения Солнца - наблюдение солнечных нейтрино наземными нейтринными детекторами (Рис. 6.1). Электронные нейтрино высоких энергий (борные) регистрируются в хлор-аргонных экспериментах (эксперименты Дэвиса), и устойчиво показывают недостаток нейтрино по сравнению с теоретическим значением для стандартной модели Солнца. Нейтрино низких энергий, возникающие непосредственно в -реакции, регистрируются в галлий-германиевых экспериментах (GALLEX в Гран Сассо (Италия-Германия) и SAGE на Баксане (Россия - США). Результаты этих экспериментов также постоянно показывают дефицит наблюдаемого потока нейтрино (по результатам 1990-1995 гг. измеренный поток нейтрино составляет SNU ("standard neutrino units"), в то время как в стандартной модели Солнца ожидается 122 SNU) и на начало 2002 г. собраны в Таблице:

Если нейтрино имеют отличную от нуля массу покоя (современное ограничение из эксперимента эВ), возможны осцилляции (превращения) различных сортов нейтрино друг в друга или в правополяризованные (стерильные) нейтрино, которые не взаимодействуют с веществом. Идея осцилляций нейтрино принадлежит выдающемуся физику Б. Понтекорво (1968), работавшему в СССР. Позднее было показано, что осцилляции могут быть усилены при распространении нейтрино в плазме (эффект Михеева - Смирнова (1986) - Вольфенштейна (1978)). Мюонные и тау-нейтрино имеют гораздо меньшие сечения взаимодействия с веществом, чем электронное нейтрино, поэтому наблюдаемый дефицит может быть объяснен, не меняя стандартной модели Солнца, построенной на основе всей совокупности астрономических данных.

Самые серьезные указания на реальность осцилляций нейтрино были получены в 2001 г. на нейтринной обсерватории Садбюри (SNO) в Канаде. Установка SNO представляет собой сосуд, собержащий 1000 тонн сверхчистой тяжелой воды , расположенной глубоко под землей. Объем простматривается 9456 ФЭУ, которые регистрируют черенковское излучение быстрых электронов, возникающих при взаимодействии энергичных нейтрино с атомами дейтерия по нескольким каналам:

1) реакция через заряженный ток (CC)

2) реакция через нейтральный ток (NC)

В этом случае нейтрон захватывается атомами , и возбужденное состояние распадается с испусканием фотона.

3) Реакция упругого рассеяния на электроне через CC и NC

(регистрируется также детектором Супер Камиоканда.)

Сравнивая темп регистрации событий по каналам СС (с участием только электронных нейтрино) и NC (с участием нейтрино всех сортов), можно определить, есть ли в потоке нейтрино от Солнца мюонные и тау-нейтрино. Детекторы SK и SNO регистрируют одни и те же энергичные нейтрино, возникающие при распаде радиоактивного бора (см. Рис. 6.1 и Таблицу). Если бы осцилляций электронных нейтрино не происходило, то, очевидно, поток СС-нейтрино и NC-нейтрино был бы одинаков. При наличии осцилляций поток NC-нейтрино должен возрастать. Как видно из Таблицы, NC-события в реакторе SK выше, чем СС-события в ракторе SNO. Результат имеет значимость и на сегодняшний день является самым сильным подтверждением осцилляций электронных нейтрино от Солнца в другие сорта (мюонные и тау). Анализ показывает, что эти данные лучше всего соответствуют решению т.н. полного смешивания нейтрино при распространении в веществе, осцилляции же электронных нейтрино в стерильные исключаются. Этот фундаментальный результат должен быть подтвержден на большей статистике событий и на независимой регистрации NC-событий (реакция 2) в установке SNO, которая планируется в 2002 г.

6.2.2 CNO-цикл

Реализуется в звездах массивнее Солнца. В этой цепочке реакций углерод выступает в роли катализатора, т.е. в конечном счете и в CNO-цикле .

Замечания

1. Энерговыделение на единицу массы сильно зависит от температуры:

2. Cуммарное энерговыделение в обоих циклах примерно одинаково:

   
   

   
   
   

   
   

   
   
   

   В CNO-цикле нейтрино уносят несколько больше энергии, чем в водородном (т.к. реакции идут при более высокой температуре).

6.2.3 Замечания о фотонной светимости Солнца

Фотоны рождаются в зоне ядерных реакций в недрах Солнца. Плотность вещества центре Солнца около 150 г/см, температура около 1 кэВ. Условия с высочайшей точностью соответствуют полному термодинамическому равновесию, поэтому энергия рождающихся фотонов распределена по закону Планка для АЧТ с температурой 1 кэВ (рентгеновский диапазон). Если нейтрино, имеющее ничтожное сечение взаимодействия с веществом ( см) свободно (за время c) покидают Солнце, то фотоны многократно поглощаются и рассеиваются^6.2, пока достигнут внешних более прозрачных слоев атмосферы Солнца. Видимая "поверхность" Солнца - поверхность оптической толщины (опт. толщина отсчитывается от наблюдателя вглубь Солнца) - т.н. фотосфера, ее эффективная температура, определяемая из соотношения , K и определяет физическое состояние внешних слоев Солнца. Температура быстро растет с глубиной.

При малых отклонениях от термодинамического равновесия (когда длина свободного пробега фотонов мала по сравнению с размерами рассматриваемой области) перенос лучистой энергии хорошо описывается диффузионным приближением. В этом приближении

[поток энергии] = -[коэффициент диффузии]  [плотность энергии]:

Здесь коэффициент диффузии , средняя длина свободного пробега фотонов определяется коэффициентом непрозрачности  [см/г]

Например, для не слишком горячей плазмы основную роль играет тормозное (свободно-свободное) поглощение

и усредненная непрозрачность (т.н. Крамерсовская непрозрачность)

В общем случае коэффициент непрозрачности может быть записан как степенная функция от плотности и температуры вещества , где показатели степени зависят от химического состава плазмы и ее температуры. Зависимость от температуры может быть как обратная, так и прямая, т.е. непрозрачность может как уменьшаться, так и увеличиваться с ростом температуры в зависимости от физического состояния плазмы. На этом основан механизм пульсации некоторых переменных звезд (цефеид).

В горячих звездах большой массы основную роль играет рассеяние на свободных электронах. Поскольку в нерелятивистском пределе Томсоновское рассеяние не зависит от частоты кванта, томсоновская непрозрачность постоянна,

Для плотности энергии равновесного излучения имеем

а поток энергии в сферически-симметричном случае связан со светимостью на данном радиусе соотношением

поэтому уравнение  (6.9) можно переписать в виде обыкновенного дифференциального уравнения для температуры

Пример: время диффузии фотонов из центра Солнца.

Пока температура среды высока (больше 2 млн. градусов) энергия переносится лучистой теплопроводностью (фотонами). Основной вклад в непрозрачность обусловлена рассеянием фотонов на электронах (томсоновское рассеяние, см, непрозрачность см/г. Эта зона простирается примерно до 2/3 радиуса Солнца ( см. Время диффузии фотонов из ядра до границы конвективной зоны , где - коэффициент диффузии, - длина свободного пробега фотона. Получаем:

При понижении температуры непрозрачность солнечного вещества сильно возрастает (см. закон Крамерса  (6.12)), поэтому диффузия фотонов длится около миллиона лет. Далее непрозрачность вещества (гл. образом из-за многочисленных линий железа и других тяжелых элементов) становится настолько большой ( см/г), что возникают крупномасштабные конвективные движения - 1/3 радиуса Солнца занимает конвективная зона. Время подъема конвективной ячейки сравнительно невелико, несколько десятков лет.

Этот пример показывает, что время выхода тепловой энергии из недр Солнца (лучистая теплопроводность + конвекция) порядка миллиона лет. Это время примерно в 30 раз меньше времени Кельвина-Гельмгольца, в соответствии с долей энергии фотонов в полной энергии Солнца (продумайте последнее утверждение!).

Существенную роль на Солнце играет магнитное поле. Из-за вмороженности поля в плазму в области выхода силовых трубок магнитного поля на поверхности конвекция подавлена, перенос излучения замедлен и мы наблюдаем области пониженной температуры - пятна, эффективная температура в которых около 2000 К. Крупномасштабное магнитное поле на Солнце генерируется динамо-механизмом при дифференциальном вращении Солнца

---

<< 6.1 Ядерные реакции в | Оглавление | 6.3 Соотношения и для >>