Astronet Астронет: Я. Б. Зельдович, С. И. Блинников, Н. И. Шакура Физические основы строения и эволюции звезд
http://variable-stars.ru/db/msg/1169513/node60.html
Физические основы строения и эволюции звезд
<< 9.3 Сферически-симметричное поле ... | Оглавление | 9.5 Устойчивость релятивистских ... >>

9.4 Общие свойства равновесия релятивистских звезд

Рассмотрим некоторые общие свойства этих решений для равновесных релятивистских звезд. Механическое равновесие соответствует минимуму энергии (т. е. массы) -- в общем случае экстремуму при данном количестве барионов и данном распределении энтропии по барионам. В частном случае холодного вещества энтропия везде равна нулю. Решение, устойчивое относительно радиальных перемещений, при этом всегда безразлично относительно конвекции.

1. Пусть дано некоторое распределение энтропии $ S$. В сферически-симметричном случае $ S$ является функцией текущего числа барионов:

$\displaystyle F=\int\limits^r_0 n\sqrt{-g_{11}}4\pi \,r^2dr,\quad F(R)=N. $

$ F$ -- лагранжева координата, поэтому при всех вариациях $ S(F)$, в отличие от $ S(r)$, всегда фиксирована. Состояние равновесия соответствует минимуму $ M$ при данном $ S(F)$ при вариациях $ n(F)$ (или $ r(F)$). (Вопрос о конвективной устойчивости здесь не ставится.)

2. Пусть звезда изэнтропична: $ S=$const. Можно и в этом случае действовать по-прежнему, т. е. находить минимум $ M$ при вариациях $ n(F)$ и фиксированном $ N$, но теперь проявляется еще одна степень свободы: мы можем переставлять частицы между любыми слоями. При перестановке энергия не должна меняться (в первом порядке). Отсюда сразу получается условие на химический потенциал вещества $ \mu$:

$\displaystyle \mu e^{\nu/2}=$const (9.7)

по звезде. Химпотенциал определяется как приращение энергии системы при добавлении единицы массы покоя:

$\displaystyle \mu=c^2\left({d\rho\over{d\rho_0}}\right)_S={\rho c^2+P\over{m_0 n}}. $

Такой вид выражения для $ \mu$ объясняется тем, что если внутрь звезды поместить элемент массы $ \Delta m_0$, то работа $ \Delta m\sim \Delta m_0\rho/\rho_0\;+\;$(работа по раздвиганию окружающего вещества) $ \;\sim\Delta m_0P/\rho_0\,$. Множитель $ e^{\nu/2}$ играет роль гравитационного потенциала (работа по перенесению барионов из бесконечности равна $ \Delta\,M_0 e^{\nu(R)/2}$). Константу в (9.7) легко найти из условий на поверхности. Там $ P=0,\,\rho=0,\,\mu=c^2,$

$\displaystyle e^{{\nu(R)\over2}}=\sqrt{1-{2GM\over{c^2R}}}. $

Итак,

$\displaystyle \mu e^{\nu/2}=c^2\left(1-{2GM\over{c^2R}}\right)^{1/2}. $

Рис. 58.

Предположим, что мы хотим подсчитать, как изменится масса звезды $ M$ при изменении числа барионов, т. е. при изменении $ M_0$. Для этого нам нужно сравнить два близких, но разных решения. Эти два решения различаются во всех точках. Но из принципа экстремума ясно, что можно сначала добавить барионы на поверхности (см. рис. 58). При этом, во-первых, изменится масса

$\displaystyle M_1=M_0+\Delta\,M_0 e^{{\nu(R)\over2}}. $

Во-вторых, это решение не равновесно. Поэтому звезда перестроится. Но изменение массы при перестройке около равновесия имеет высший порядок малости, поэтому в первом порядке масса и после перестройки та же (см. разделы 1.7, 1.8). В результате имеем

$\displaystyle {dM\over{dM_0}}=e^{{\nu(R)\over2}}=\left(1-{r_g\over R}\right)^{1/2}<1. $

Рис. 59.Рис. 60.

Следовательно,

$\displaystyle {dM\over{d\rho_c}}={dM_0\over{d\rho_c}}e^{\nu/2}, $

т. е. экстремумы кривых $ M(\rho_c)$ и $ M_0(\rho_c)$ совпадают (рис. 59). Интересно, что при некоторой $ \rho_c$ величина $ M$ становится больше $ M_0$. Как это может получится, если $ dM/dM_0$ всегда меньше единицы? Все объясняется просто: кривая $ M(M_0)$ не гладкая (рис. 60), поэтому она может пересечь биссектрису $ M=M_0$.


<< 9.3 Сферически-симметричное поле ... | Оглавление | 9.5 Устойчивость релятивистских ... >>

Rambler's Top100 Яндекс цитирования