Astronet Астронет: Я. Б. Зельдович, С. И. Блинников, Н. И. Шакура Физические основы строения и эволюции звезд
http://variable-stars.ru/db/msg/1169513/node10.html
Физические основы строения и эволюции звезд
<< 1.6 Основы термодинамики звезд | Оглавление | 1.8 Теорема вириала >>

1.7 Вариационный принцип

\begin{wrapfigure}{l}{0.5\textwidth} \epsfxsize =0.45\textwidth \hbox to0.5\textwidth{\hss\epsfbox{fig/f10.ai}\hss} \end{wrapfigure}
Рис. 10.

В химически однородной звезде необязательно переносить вещество: к тем же результатам относительно устойчивости можно прийти, просто изменяя распределение вещества $ \rho (r)$, не меняя при этом взаимного расположения слоев (рис. 10). Можно утверждать, что если равновесие звезды слегка нарушить, то энергия при этом не изменится. Точная формулировка этого утверждения: условие экстремума полной энергии звезды $ {\cal{E}}$ совпадает с условием равновесия.

Рассматриваем звезду с произвольным распределением энтропии $ S(r)$. Полная энергия звезды $ {\cal{E}}$ складывается из тепловой энергии $ Q=\int\limits_0^M E(v,S) dm$ и гравитационной энергии1.2 $ U=-\int\limits_0^M {Gm\over r}\,dm$:

$\displaystyle {\cal{E}}=\int\limits_0^M E(v,S) dm-G\int\limits_0^M {m\over r}\,dm\,. $

Найдем условие экстремума $ {\cal{E}}$, используя $ m$ в качестве лагранжевой координаты. Распределение плотности полностью определено, если задана функция $ \rho (m)$. Будем варьировать $ r(m)$, т.е. смещать отдельные слои, считая энтропию $ S(m)$ фиксированной, при этом у нас будут определены вариации и всех остальных величин. Имеем:

$\displaystyle \delta U=-G\int\limits_0^M mdm \,\delta \left({1\over r}\right)=G\int\limits_0^M {mdm\over r^2} \delta r; $

$\displaystyle dm=4\pi r^2 \,\rho \,dr=\rho \,d\left({4\pi \over 3}r^3\right),$   поэтому$\displaystyle \;v={d\over dm}\left({4\pi \over 3}r^3\right)\,. $

Тогда $ \delta Q=\int\limits_0^M \left({\partial E\over \partial v}\right)_S \delta v \,dm=-\int\limits_0^M P{d\over dm}\left(\delta {4\pi\over 3}r^3\right)dm$. Интегрируя по частям с учетом того, что $ r(0)=0, \;P(M)=0,$ получим

$\displaystyle \delta Q=\int\limits_0^M \delta {\left({4\pi \over 3}r^3\right)}{... ...=\int\limits_0^M {1\over \rho} \,{\partial P \over \partial r} \,\delta r\,dm. $

В результате

$\displaystyle \delta {\cal{E}}=\int\limits_0^M dm \,\left[{1\over \rho} \,{\partial P \over \partial r} +{Gm\over r^2}\right] \,\delta \,r. $

Если $ {\cal{E}}$ экстремально, то $ \delta {\cal{E}}=0$ при любых $ \delta \, r(m)$, следовательно, из экстремальности $ {\cal{E}}$ следует уравнение равновесия

$\displaystyle {1\over \rho} \,{\partial P \over \partial r}=-{Gm\over r^2}. $

Чем полезен вариационный принцип? Оказывается, что с помощью этого принципа исследовать устойчивость много проще, чем используя уравнение равновесия. В этом можно убедиться следующим образом. Запишем выражение для полной энергии звезды, не предполагая равенства нулю скоростей движения вещества звезды:

$\displaystyle {\cal{E}}=\int\limits_0^M \left[E(v,S)-{Gm\over r}+{u^2\over 2}\right] \,dm, $

где $ u$ -- скорость элемента массы. Очевидно, что равновесное расстояние (которое всегда соответствует экстремуму энергии) будет устойчивым, если экстремум является минимумом. Действительно, тогда из него не может возникнуть никакое другое состояние, ни с $ u=0$ (но другим $ r(m)$), ни тем более с $ u^2>0$. Следовательно, исследование устойчивости сводится к нахождению условий, при которых вторая вариация энергии $ \delta^2 {\cal{E}}>0$.

Помимо исследования устойчивости вариационный принцип позволяет находить приближенные решения для структуры звезды.


<< 1.6 Основы термодинамики звезд | Оглавление | 1.8 Теорема вириала >>

Rambler's Top100 Яндекс цитирования