Астронет: А. Г. Морозов, А. В. Хоперсков Физика Дисков http://variable-stars.ru/db/msg/1168623/node33.html

---

<< 5.2 Неосесимметричная дисковая аккреция | Оглавление | 6. Природа спирального узора >>

Разделы

• 5.3.1 Неустойчивость радиационно-доминирующей области
• 5.3.2 Неустойчивость типа акустического резонанса (НТАР)
• 5.3.3 Неустойчивость Папалойзу-Прингла
• 5.3.4 Неустойчивости, обусловленные неоднородным распределением плотности и температуры вещества вдоль радиальной координаты
• 5.3.5 Приливная неустойчивость
• 5.3.6 Диссипативно-акустические колебания

---

5.3 Неустойчивости в аккреционных дисках

Название данного раздела претендует на существенно большее количество страниц, чем содержит вся эта книга. Поскольку аккреционные диски -- это газовые диски, то к ним в полной мере относятся результаты, касающиеся возможности развития в газовых дисках неустойчивостей, рассмотренных в гл. 4 и пп. 5.1.3, 5.1.4.

Вещество в АД представляет собой полностью или частично ионизованную плазму. В плазме может существовать большое число неустойчивых мод [193,457], развитие которых эффективно турбулизует вещество. Можно сказать, что турбулентное состояние является естественным для плазмы. Как показывают оценки, такие моды в основном мелкомасштабны по сравнению с толщиной диска. Но для последовательного решения проблемы устойчивости наши представления о физических условиях на этих масштабах недостаточны. По этой же причине автоматический перенос достижений физики плазмы на изучаемые здесь системы не дает реалистичной картины.

В данном разделе в дополнение к уже рассмотренным выше будем обсуждать крупномасштабные неустойчивости, для которых детальное знание вертикальной структуры дисков не существенно.

5.3.1 Неустойчивость радиационно-доминирующей области

Рассмотрим стандартную модель аккреционного диска (-модель, см. разд. 5.1). Температура газа в АД растет с приближением к аккрецирующему объекту. Действительно, исходя из баланса энергий, выделяющейся вследствие действия вязкости (5.1.18) и уносимой излучением (5.1.19) в приближении чернотельного излучения имеем

где -- постоянная Стефана-Больцмана, -- внутренняя граница диска. Из (5.3.1) для находим радиальное распределение температуры

С ростом температуры, во-первых, увеличивается вклад давления излучения по сравнению с газовым давлением , и, во-вторых, роль томсоновского рассеяния на свободных электронах становится определяющей. В п. 5.1.2 приведены решения для трех областей: "а" -- , ; "b" -- , ; "c" -- , . Нетрудно получить выражения для границ между зонами [395]:

Как видим, в случае черных дыр и нейтронных звезд со слабым магнитным полем возможно наличие радиационно доминирующей области ( ).

Вопрос об устойчивости дисковой аккреции на черную дыру звездной массы был впервые поставлен в работах [458,459]. Подробный анализ устойчивости относительно осесимметричных возмущений с учетом давления излучения был проведен Шакурой и Сюняевым [169]. В последующих работах рассматривались стабилизирующее влияние эффектов общей теории относительности [460], общие политропные модели [461], неосесимметричные возмущения [462], учитывались звуковые и эпициклические колебания [463].

Прежде чем переходить к изучению дисперсионных свойств вязкого диска с излучением, заметим, что в случае динамическая вязкость в стационарном состоянии выражается через комбинацию констант. Действительно, приравнивая (5.1.18) и (5.1.19) и используя (5.1.9), (5.1.20а) для , получим

Трудно ожидать, что значение турбулентной вязкости в любом диске будет определяться (5.3.5). Уже это заставляет подозревать возможность развития тепловой неустойчивости, обусловленной неравенством .

Ограничимся рассмотрением осесимметричных возмущений
. Для возмущений будем оставлять в линеаризованных уравнениях лишь члены и пренебрежем членами порядка и . Для осесимметричных возмущений диск остается кеплеровским с точностью до , и, следовательно, с учетом закона вязкости (5.1.15) можно воспользоваться уравнением (5.1.14) с :

Представим функции и в виде

где и малы. После линеаризации имеем

Воспользуемся уравнением баланса энергии в форме [сp. с (4.1.12)]

где учитывается работа сил давления, диссипация и излучение , а . Умножим (5.3.9) на и проинтегрируем по всему диску, предполагая однородность расширения или сжатия диска вдоль оси :

где и -- сpедние по -кооpдинате соответственно давление и внутpенняя энеpгия [ -- повеpхностное давление]. Уpавнение (5.3.10) является обобщением (4.1.13) с учетом диссипативных эффектов для осесимметpичной модели. Hаpяду с газодинамическим давлением будем учитывать давление излучения [221]

где коэффициент ( ) хаpактеpизует долю излучения в полном давлении, -- объемный показатель адиабаты. Используя уpавнение непpеpывности (4.1.7), (5.3.11) и связь [см. (4.1.6)], запишем уpавнение (5.3.10) относительно повеpхностного давления

где величина опpеделяется (4.1.16). Исключая давление пpи помощи (5.1.9) и с учетом выpажений для , , после линеаpизации уpавнение (5.3.12) сводим для случая к виду

где параметр соответствует невозмущенному состоянию. В рамках приближения ищем решение системы (5.3.8), (5.3.13) в виде , что приводит к следующему дисперсионному уравнению^5.10:

Решение уравнения (5.3.14) не представляет труда, и на рис. 5.14 показаны зависимости при разных значениях . Для неустойчивости [Im] необходимо

При устойчивы возмущения с любым . В случае неустойчивы волны с . В коротковолновой области имеется только одна неустойчивая мода, для которой , т.е. возмущения имеют вид бегущих по диску концентрических волн. В случае наблюдаем две неустойчивые ветки с , что соответствует стоячим волнам. В пределе длинных волн для инкрементов получаем из (5.3.14) следующие асимптотики:

Физика этих неустойчивостей различна. Используя связь между возмущениями и , вытекающую из (5.3.13), и дисперсионное уравнение (5.3.14), можно найти, что на нижней ветви для больших длин волн выполняется , т.е. вязкость не возмущается [ ]. Неустойчивость называют динамической или вязкой.

Для другой неустойчивой ветви инкремент нарастает с увеличением длины волны и параметра . При имеем . В пределе нетрудно получить оценку . Таким образом, верхняя ветвь описывает тепловую неустойчивость.

Анализ, проведенный в [461], показал, что критерий устойчивости () не зависит от показателя адиабаты. А исследование модифицированных -моделей, в которых вязкость пропорциональна не полному давлению, а газовому^5.11 [ , ср. с (5.1.6)], говорит об их устойчивости к осесимметричным возмущениям даже в радиационно доминирующей области.

В pамках одноpодной pавновесной модели диспеpсионные свойства неосесимметpичных ( ) возмущений описываются уpавнением (5.3.15) после замены на . Таким обpазом, инкpементы pассмотpенных неустойчивостей не меняются.

Плоский показатель адиабаты. В заключение получим выpажение для эффективного плоского показателя адиабаты с учетом давления излучения (см. п. 4.1.1). В пpедельном случае уpавнение (5.3.12) пpиводит к соотношению (4.1.16). В обpатном пpеделе из pавенства нулю фигуpной скобки в (5.3.12) следует . Поскольку для излучения , то спpаведливой остается фоpмула (4.1.16). Пpи пpоизвольном значении паpаметpа выpажение для плоского показателя адиабаты можно получить, pассматpивая динамику малых осесимметpичных возмущений на фоне pавновесного одноpодного состояния без учета диссипации и самогpавитации. В коpотковолновом пpиближении уpавнения (5.3.12), (4.1.7), (4.1.10) пpиводят к диспеpсионному соотношению для звуковых волн с

где , , [463]. Соотношение (5.3.15) соответствует стандаpтному опpеделению . Пpи учет давления излучения пpиводит к монотонному уменьшению величины . Пpи выполняется условие , однако зависимость не монотонна -- имеется минимум. Этот pезультат похож на известный эффект для пузыpьковой жидкости, в котоpой скоpость звука оказывается меньше, чем в газе и жидкости по отдельности. Отметим, что пpи опpеделенных значениях величин и соотношение (5.3.15) допускает , что свидетельствует о возникновении неустойчивых pешений, когда с pостом повеpхностной плотности величина повеpхностного давления уменьшается.

5.3.2 Неустойчивость типа акустического резонанса (НТАР)

Известно, что если в потоке присутствует слой газа, при переходе через который имеет место существенно сверхзвуковой перепад скорости ( ), то этот слой спонтанно генерирует звуковые волны с длиной волны, большей или сравнимой с характерной толщиной слоя [373,374]. Если же на конечном расстоянии от этого "генератора" расположена любая отражающая поверхность -- например, область резкого градиента плотности или второй такой же слой, -- энергия возмущений в таком волноводном слое экспоненциально нарастает во времени, что и означает развитие НТАР [365,367,464].

Выполнение этих условий возможно для ряда режимов дисковой аккреции. Перетекание вещества в тесной двойной системе с оптической звезды на компактный объект может происходить в режиме двухпотоковой аккреции [150,465], при этом скорость вращения вещества в диске намного больше радиальной скорости, а над АД вещество в форме звездного ветра, напротив, имеет малую орбитальную скорость по сравнению с радиальной (рис. 5.15,а). В работах [150,466,467] рассматриваются некоторые ситуации, приводящие к такому режиму. Похожая ситуация может возникать в режиме сверхкритической дисковой аккреции [395]: вещество из внутренней зоны аккреционной системы под действием лучевого давления истекает в виде квазисферического потока (рис. 5.15,б). В случае дисковой аккреции на замагниченные компактные объекты (нейтронные звезды и белые карлики) может реализоваться следующая ситуация: вещество аккреционного диска вращается со скоростью , при этом диск обжимается вращающимся магнитным полем, силовые линии которого параллельны плоскости АД и перпендикулярны скорости [465,468,469]. Если вещество проникает в магнитосферу, то оно становится вмороженным в магнитное поле и вращается вместе с ним со скоростью (рис. 5.15,в). При этом относительная скорость вещества диска и вещества в магнитосфере может быть существенно сверхзвуковой [ ]. Легко видеть, что во всех трех описанных ситуациях около верхней и нижней поверхностей диска формируются критические слои, о которых говорилось в начале пункта.

Считая диск тонким (), можно ограничиться рассмотрением области . Перейдем в локальную декартову систему координат, вращающуюся с веществом диска на расстоянии от компактного объекта так, что плоскость совпадает с плоскостью симметрии системы, ось ОX направим к центру диска. В силу условия будем считать, что равновесные параметры системы не меняются вдоль координат и . Газ находится в гидростатическом равновесии по -координате [см. (5.1.8a)]. Течение газа однозначно определяется распределением плотности и скорости (рис. 5.16)^5.12.

Уравнения, описывающие динамику малых возмущений на фоне описанной выше равновесной модели, нетрудно получить в декартовой системе координат из полной системы уравнений газодинамики путем линеаризации и последующего представления возмущенных величин в виде . В результате для возмущенных -смещения и давления можно записать

где , , , , , -- адиабатическая скорость звука. Заметим, что уравнения (5.3.16) совпадают с (4.5.32), (4.5.33) если положить в последних , , , (но считать ).

Хотя непосредственное приложение к описанным выше системам результатов, полученных в модели двух ТР, представляется неоправданным, мы ниже рассмотрим устойчивость плоского слоя (струи) с резкими границами. Эта модель проста для анализа, в ее рамках легко выявляется физический механизм и, кроме того, она позволяет составить верное качественное представление о структуре неустойчивых мод. Затем мы учтем наличие конечной ширины переходной зоны из диска в область звездного ветра, сравнимой с толщиной диска, изучим роль силы тяжести и магнитного поля.

5.3.2.1. Модель диска с резкими границами. Рассмотрим модель двух плоскопараллельных тангенциальных разрывов скорости и плотности [ , , , см. рис. 5.16]. Техника вычислений аналогична используемой в разд. 4.5. Поскольку вне ТР система однородна, ищем решения в виде с . Сшивая решения на разрывах и требуя ограниченности возмущенных величин при , получим дисперсионное уравнение

где , , ; для симметричных возмущений (-мода), для антисимметричных (-мода).

В модели двух ТР малые возмущения, описываемые уравнением (5.3.17), неустойчивы для любого волнового числа [365,367]. При этом может возбуждаться любое (в зависимости от значений и ) число неустойчивых гармоник (неустойчивые моды волновода). Эти гармоники отличаются друг от друга числом узлов функции между ТР, т.е. значениями волновых чисел в -направлении Im() внутри диска, для которых при любых значениях параметров выполняется

где для симметричной моды, для антисимметричной моды, -- номер гармоники. На рис. 5.17 показана зависимость собственных частот симметричной моды от параметров. Дисперсионные кривые для -моды имеют аналогичный вид. Как для симметричной, так и для антисимметричной мод существуют фундаментальное () и отражательные () решения. В пределе (одиночный ТР) дисперсионные кривые фундаментальных - и -мод сливаются, вырождаясь в хорошо известную моду неустойчивости Кельвина-Гельмгольца. Для случая она описывается аналитически [327]:

Физику неустойчивых отражательных гармоник обсудим ниже.

5.3.2.2. Учет неоднородности. В приложении к АД (режим двухпотоковой аккреции) основной интерес представляет ответ на вопрос: может ли развиваться неустойчивость типа акустического резонанса в реальных системах, в которых характерные масштабы изменения физических величин (скорости и плотности вещества, силы тяжести) сравнимы с толщиной диска. В такой постановке нахождение спектра собственных частот сводится к задаче типа Штурма-Лиувилля для системы (5.3.16), в которой коэффициенты , , непрерывно зависят от -координаты.

Считая, что распределение плотности и вертикальная компонента силы тяжести , ширину переходной зоны от диска к ветру в распределении будем характеризовать параметром (см. рис. 5.16).

На рис. 5.18 показаны результаты численных расчетов собственных частот [470]. В неоднородной модели также может существовать произвольное число неустойчивых мод, при этом чем больше номер моды , тем более мелкомасштабной в -направлении она является. Каждая -я гармоника НТАР имеет два характерных значения волнового числа: одно определяет границу устойчивости моды, при другом инкремент достигает максимального значения. С увеличением параметра инкремент неустойчивости в целом уменьшается, но для коротковолновых возмущений () этот эффект выражен существенно сильнее, чем для длинноволновых (см. рис. 5.18). Таким образом, наиболее неустойчивыми оказываются возмущения с и (это характерно как для , так и для мод). С увеличением числа Маха неустойчивыми становятся более длинноволновые в плоскости диска возмущения. При фиксированном значении с ростом величины число неустойчивых отражательных мод увеличивается и тем самым неустойчивыми становятся все более коротковолновые в -направлении возмущения. Поперечная составляющая силы тяжести стабилизирует наиболее длинноволновые () основные (фундаментальные) моды, приводящие в случае к разрушению исходного течения [464].

В основе механизма неустойчивости типа акустического резонанса лежат два эффекта: отражение волн с усилением по амплитуде от слоя газа, в котором волна стационарна ( ), и резонансный обмен энергией между волной и основным течением, происходящий в том же критическом слое. Хотя следствием обоих эффектов является усиление звуковых волн, их физика различна.

Первый эффект (сверхотражение) может быть легко понят на примере падения звуковой волны из неподвижной среды на сверхзвуковой ( ) разрыв скорости. Если скорость фазы прошедшей волны вдоль вектора скорости газа оказывается меньше последней, то относительно газа линии равной фазы (например, максимумы давления) движутся в направлении, противоположном волновому вектору^5.13. Поскольку физический смысл имеет именно относительное движение возмущения и среды, в которой оно распространяется, это означает, что прошедшая волна переносит энергию к разрыву (!), а не от него. Так как направление потока энергии в падающей и отраженной волнах обычное, энергию, принесенную к разрыву падающей и прошедшей волной, может унести только отраженная волна. Следовательно, энергия (и амплитуда) отраженной волны с необходимостью превышает амплитуду падающей.

Физика резонансного излучения энергии из критического слоя не столь тривиальна и сходна с физикой черенковского излучения и пучковой неустойчивости (эффект, обратный затуханию Ландау). К этому вопросу мы вернемся в п. 5.3.3. В заключение отметим, что неоднородность профиля плотности вещества, а также учет поперечной силы тяжести могут оказывать как стабилизирующее, так и дестабилизирующее влияние на неустойчивость типа акустического резонанса в сравнении с разрывными моделями. Однако учет "размазки" скорости вещества всегда приводит к уменьшению инкремента, причем в первую очередь при таких значениях параметров, при которых углы распространения возмущений значительно отличаются от резонансных и, как следствие, к четкому выделению на кривых инкремента резких пиков в случае близости углов к резонансным.

5.3.2.3. Диск, обжатый магнитным полем. Обратимся к ситуации, показанной на рис. 5.15,в. Отметим, что в данном случае характерная ширина переходной области от диска к магнитосфере много меньше его толщины, поэтому вполне приемлемой оказывается модель двух параллельных тангенциальных разрывов скорости вещества, его плотности и магнитного поля. При этом в силу стационарного баланса давлений должно выполняться

В этом случае возможно развитие по крайней мере двух классов неустойчивостей: магнитогидродинамической неустойчивости типа акустического резонанса (см. выше) и раскачка неустойчивых поверхностных мод разрывов между веществом диска и внешним магнитным полем. В первом случае присутствие вещества вне диска необходимо, во-втором неустойчивость развивается и при .

Обратимся вначале к первому случаю. Как показывает анализ [471], результаты рассматриваемого и гидродинамического (без магнитных полей) случаев качественно совпадают для произвольных , и (см. рис. 5.17). В случае ^5.14 зависимость оказывается достаточно сложной -- поверхности уровней и являются многолистными. При наиболее неустойчивой является основная (фундаментальная) изгибная () мода. Инкременты как , так и мод достигают своих максимумов при малых значениях параметра : . Для возможна раскачка коротковолновых ( ) отражательных гармоник. Учет мелкомасштабного магнитного поля внутри диска не приводит к появлению новых эффектов и может быть произведен перенормировкой скорости звука .

Рассмотрим теперь неустойчивость Кельвина-Гельмгольца (НКГ, открытая Нортропом [472]). Наличие вещества вне диска не является обязательным для развития НКГ, поэтому для простоты считаем , однако необходимо учитывать ток смещения. Условие (5.3.19) изменится, в него вместо войдет

Известно, что магнитное поле в некоторых отношениях ведет себя подобно несжимаемой жидкости с давлением и "плотностью" . Соответствующее дисперсионное уравнение^5.15[474] содержит две неустойчивые моды ( и ), как и должно было бы быть для струи сжимаемого газа в несжимаемой жидкости. В свете этой аналогии представляется естественным и нейтральный характер высших гармоник. Последний результат нетрудно понять. В случае наличия вещества в магнитосфере ( ) отражение волн от разрывов с усилением (раскачка неустойчивых отражательных гармоник) возможно, поскольку в преломленной уходящей от ТР волне поток энергии оказывается направленным к разрыву. В случае же это невозможно. Действительно, в системе отсчета, связанной с веществом диска, электрическое поле в вакууме равно , а, следовательно, вектор Пойтинга

5.3.2.4. Нелинейные эффекты. Изложенные выше результаты получены в рамках линейной теории и, строго говоря, справедливы, пока амплитуда нарастающих возмущений мала. Линейный анализ позволяет судить только о пространственных размерах раскачивающихся возмущений и характерных временах их роста, относящихся только к самому первоначальному этапу. Разумеется, проследить судьбу возмущений на нелинейном этапе можно только в рамках численного гидродинамического эксперимента [464]. Весьма знаменательно, что проведенное Норманом и Харди [367,464] детальное сравнение результатов линейного анализа с нелинейными расчетами неустойчивости типа акустического резонанса в модели плоской существенно сверхзвуковой () струи не выявило принципиальных расхождений.

В цитированных работах показано, что на нелинейной стадии низшие () отражательные гармоники эволюционируют в систему слабых косых ударных волн. Высшие отражательные () гармоники насыщаются на значительно меньших амплитудах, однако приводят к возникновению иерархии пространственных и временных масштабов. Такой многомодовый процесс должен приводить к развитой акустической турбулентности. Развитие наиболее длинноволновых фундаментальных мод () разрушает исходное течение на расстоянии .

Областью приложения указанных работ являются астрофизические джеты (галактические и звездные). Если не касаться роли магнитных полей, то основным отличием джета от АД является наличие в последнем случае поперечной компоненты силы тяжести, обусловленной центральным объектом. Однако, как мы видели выше, внешняя сила стабилизирует длинноволновые возмущения () и практически не влияет на раскачку волн с .

5.3.3 Неустойчивость Папалойзу-Прингла^5.16

Выше мы рассмотрели некоторые примеры неустойчивостей, в основе которых лежит резонансный механизм усиления звуковых волн. В 1984 г. Папалойзу и Прингл [475] получили неустойчивые моды резонансного типа в плоскости дифференциально вращающегося газового диска (см. также работы [368-370,476]).

Будем рассматривать толстые аккреционные диски^5.17(или торы), которые часто привлекают для объяснения феномена активных галактических ядер -- квазаров, сейфертов, радиогалактик ([124]; п. 5.1.6). Диск может стать геометрически толстым при светимостях, превышающих эддингтоновский предел. Если скорость звука газа становится сравнимой с круговой скоростью, то толщина диска становится сравнимой с радиусом. Давление начинает определять равновесную структуру системы в радиальном направлении и, таким образом, закон вращения может существенно отличаться от кеплеровского.

Построим равновесную конфигурацию дифференциально вращающегося несамогравитирующего толстого диска (тора) во внешнем потенциале :

Гравитационный потенциал точечной массы имеет вид

Будем использовать модель газа

Воспользуемся приближением [475]. Определим величину

С учетом (5.3.24) и (5.3.25) перепишем уравнение (5.3.22):

и, следовательно,

Если на поверхности тора , то она определяется уравнением

Наиболее простой для анализа является модель с постоянным угловым моментом . Из (5.3.25) следует, что и, принимая во внимание (5.3.23), уравнение (5.3.27) сводим к виду

где , . На поверхности тора давление обращается в нуль и уравнение (5.3.29) дает радиальные координаты , которые ограничивают тор в плоскости :

На рис. 5.19 показаны равновесные конфигурации для различных .

Диск является толстым и это вынуждает нас использовать трехмерные уравнения газодинамики в цилиндрической системе координат. Проделаем стандартную процедуру линеаризации этих уравнений -- проводя выкладки в духе гл. 4, получим для возмущенных величин (выделенных значком " "):

где , . Используя (5.3.31)-(5.3.33) и (5.3.35), исключим из (5.3.34) возмущенные плотность и скорость, в результате получим уравнение для величины [475]:

где .

Уравнение (5.3.36) описывает динамику малых возмущений в торе с произвольными равновесными зависимостями , . Анализ уравнения (5.3.36) был проведен в работах [368, 370, 475, 476, 477] в рамках как аналитического подхода, так и численного.

В пределе коротких волн в - и -направлениях можно искать решения в виде

В этом случае уравнение (5.3.36) дает дисперсионное уравнение

и для устойчивости достаточно .

Естественно, основной интерес представляет изучение возможности нарастания возмущений, т.е. получение условий, при которых . Прежде всего обсудим роль сжимаемости газа. Ограничимся рамками модели с постоянным удельным угловым моментом const. Поскольку в этом случае , то (5.3.36) принимает следующий вид:

Определим величину , где -- некоторое фиксированное значение угловой скорости. Умножим уравнение (5.3.39) на ( -- комплексно сопряженная ) и проинтегрируем по плоскости (). В результате получим

где

Запишем решение уравнения (5.3.40)

Рост возмущений [Im] возможен только в случае больших отрицательных значений величины . Из (5.3.43) следует, что всегда существует такое критическое значение скорости звука, при котором . В несжимаемом пределе ( ) возмущения заведомо являются устойчивыми. Сжимаемый газ может быть неустойчивым, причем чем меньше величина , тем более благоприятны условия для развития неустойчивости. Второй вывод заключается в том, что осесимметричные возмущения () являются устойчивыми.

Для объяснения природы неустойчивых глобальных мод отметим, что в газовом диске (или торе) имеются три характерных радиуса, определяемых соотношением

где соответствует радиусу коротации, -- внутреннему, а -- внешнему линдбладовскому резонансу. Между линдбладовскими резонансами лежит запрещенная для нейтральных волн область, где решения (5.3.39) с Im не могут осциллировать по радиальной координате, а снаружи, наоборот, расположены так называемые колебательные полости.

В основе неустойчивости лежат два механизма.

• а. Резонансное взаимодействие мод противоположных знаков энергии. Этот эффект заключается в туннелировании волн через запрещенную область и соответственно обмене энергией между модами, локализованными в различных колебательных полостях. Фактически это явление представляет собой сверхотражение от окрестности коротационного радиуса и не отличается принципиально от описанного в предыдущем пункте.

• б. Излучение углового момента и энергии из коротационного резонанса. Физика данного эффекта основана на резонансном обмене между волной и течением и сходна с затуханием (усилением) Ландау. Отметим, что для звездного диска обмен энергией на радиусе коротации подробно разобран в монографии Поляченко и Фридмана [1], однако он существенно отличается в силу бесстолкновительности плазмы звезд и pазличия в знаках плотности энеpгии акустических волн в газе и волн, pаскачивающихся на гpавитационной ветви колебаний звездного диска.

В работе [369] было показано, что для политропного газа из системы (5.3.31)-(5.3.35) может быть получено уравнение баланса углового момента с источником:

где -- плотность углового момента и -- плотность радиального потока углового момента возмущений, осредненные по азимутальному углу, -- распределение углового момента вещества в диске. Если правая часть (5.3.46) положительна, она описывает излучение, а если отрицательна -- поглощение углового момента возмущений в единицу времени в окрестности коротационного радиуса (где минимален).

Внутри радиуса коротации волновой узор вращается медленнее газа, а снаружи -- быстрее; поэтому угловой момент волны отрицателен во внутренней области и положителен во внешней. Этим обусловлена возможность развития неустойчивости как в случае излучения, так и в случае поглощения углового момента возмущений на коротации, и различная локализация неустойчивых возмущений в диске. В первом случае угловой момент излучается на коротации и передается наружной "положительной" моде, а во втором угловой момент отбирается у моды внутри радиуса коротации, которая и без того обладает отрицательным угловым моментом, из-за чего последний растет по абсолютной величине^5.18. Из приведенного описания механизмов неустойчивости понятно, что скорость роста возмущений определяется скоростью переноса энергии и углового момента звуковой волной, т.е. рост возмущений происходит в динамической шкале времени:

где -- характерный радиальный масштаб в диске.

В заключение отметим, что резонансные неустойчивости газовых дисков и торов являются многомодовыми -- для каждой из азимутальных мод (с фиксированным номером ) удается обнаружить до 30 неустойчивых гармоник, различающихся числом и расположением узлов функции возмущенного давления по радиальной координате и скоростью вращения волнового узора (радиусом коротации). Указанная многомодовость, с одной стороны, и относительная малость инкремента -- с другой [см. (5.3.47)], приводят к возможности одновременного существования в диске большого числа таких гармоник^5.19. Поэтому несмотря на то, что каждая спиральная волна имеет малую амплитуду, суммарный перенос этими волнами углового момента на периферию диска может оказаться значительным.

5.3.4 Неустойчивости, обусловленные неоднородным распределением плотности и температуры вещества вдоль радиальной координаты

В предыдущих двух пунктах были рассмотрены неустойчивости, вызванные неоднородностью скорости движения вещества. В п. 4.3.4 изучена градиентно-энтропийная неустойчивость (ГЭН) в плоскости неоднородного тонкого газового диска. Прямыми аналогами ГЭН являются конвективная и Рэлея-Тейлора неустойчивости. Они могут развиваться в неоднородной среде, находящейся в поле тяжести^5.20. В связи с этим необходимо сказать о встречающемся в литературе утверждении о том, что поскольку вещество, вращающееся по кеплеровским орбитам, невесомо, то неустойчивость конвективного типа в случае дисковой аккреции не играет роли. Разумеется, это справедливо для случая постоянного давления ( ), но такая модель представляется достаточно искусственной. Для находящегося в гравитационном потенциале диска роль силы тяжести выполняет величина , она мала в случае тонкого диска ( ), но этого оказывается достаточно для развития конвективных неустойчивостей с характерным временем роста возмущений [эту оценку нетрудно получить из (4.3.30) или (5.3.48)].

Возможность раскачки ГЭН определяется, как мы видели в п. 4.3.4, соотношением характерных масштабов неоднородности поверхностной плотности и температуры ( и ). К настоящему времени построено уже довольно много осесимметричных стационарных моделей АД, отличающихся, в конечном счете, различным радиальным распределением поверхностной плотности и температуры и, следовательно, значениями и [ ] [403].

Поскольку интерес представляют модели как с , так и с , запишем дисперсионное уравнение, не конкретизируя уравнение состояния. В приложении к АД эпициклическая частота . Для низкочастотных колебаний без учета самогpавитации из (4.3.15) следует

здесь , -- плоский показатель адиабаты, , . Пpинимая во внимание оценку [см. (5.1.11)], можно считать, что . В случае уравнение (5.3.48) переходит в (4.3.30). Для той области АД, где преобладает радиационное давление ( ), влиянием самогравитации можно всегда пренебречь ( ). Не учитывать эффекты самогравитации в случае не всегда возможно [478].

Для большинства стационаpных моделей АД можно пpинять степенную зависимость pавновесных паpаметpов диска от радиальной кооpдинаты [403], т.е. . На рис. 5.20 в плоскости параметров и изображена граница области устойчивости газового диска относительно ГЭ-возмущений, вычисленные по (5.3.48) пpи pазличных значениях паpаметpов. Область неустойчивых pешений pасполагается ниже кpивых. Помимо указанной области неустойчивости в общем случае имеется еще одна. Однако пpи ее гpаница пpоходит пpи , поэтому она не существенна для пpиложений к АД (на рис. 5.20 не указана). Для неустойчивости, котоpая в основном имеет , следует pазличать две области. В одной повеpхностная плотность убывает с увеличением радиальной кооpдинаты (), пpямым аналогом такой неустойчивости является конвективная в одноpодном поле тяжести. В дpугом случае повеpхностная плотность pастет с удалением от центpа (), что соответствует неустойчивости Рэлея-Тейлоpа.

Поскольку в "земных условиях" данный тип неустойчивости приводит к эффективному перемешиванию вещества в вертикальном направлении, то можно предположить аналогичный процесс в плоскости аккреционного диска.

5.3.5 Приливная неустойчивость

В газовом диске, вращающемся вокруг компактного объекта массой , может развиваться неустойчивость, связанная с приливным влиянием со стороны второго компонента массой тесной двойной системы. Физику этой неустойчивости легко понять, рассматривая движение пробной частицы в гравитационном поле двойной системы.

Пусть в случае пробная частица движется по периодической орбите. Как известно, малые колебания вблизи траектории происходят с эпициклической частотой и отклонения описываются обычным уравнением гармонического осциллятора (см. п. 1.1.3)

С учетом нормальной звезды (), вращающейся с периодом , частота колебаний в (5.3.49) будет периодической функцией времени и можно считать

где -- средняя угловая скорость при движении частицы по периодической орбите, коэффициенты определяются потенциалом второй звезды [479]. В этом случае уравнение (5.3.49) описывает параметрический резонанс [327]. При определенных соотношениях между собственной частотой и частотой вынуждающей силы отклонение начинает быстро нарастать со временем -- развивается приливная неустойчивость. Поскольку период двойной системы зависит от относительной массы возмущающего тела ), то и параметры определяются величиной , причем отличны от нуля только нечетные члены (из-за симметрии потенциала). Наиболее интенсивным является резонанс с , и, следовательно, приливная неустойчивость возникает, когда период пробной частицы составляет от периода второй звезды в инерциальной системе^5.21 [479-481].

В случае кеплеровского диска период обращения частиц растет с радиусом и существует значение , при котором наступает резонанс. Как мы видели в пп. 5.1.1, 5.1.4, из-за приливного взаимодействия в ТДС диск имеет конечный размер. Внешний радиус диска определяется отношением -- чем больше , тем меньше величина . Для значений диск простирается за радиус . В результате во внешней области диска развивается приливная неустойчивость, приводящая к возникновению медленно прецессирующего эллиптического диска. Период обращения такого эллиптического диска на 3-6% превышает орбитальный период двойной. При выполняется равенство . Поэтому в системах с приливная неустойчивость не развивается.

Возникновение приливной неустойчивости, обусловленной параметрическим резонансом между орбитальным движением газа в диске и орбитальным вращением двойной, подробно исследовано в рамках численного моделирования газового диска в ТДС [479-481]. Возможно, что так называемые "супергорбы" в системах типа SU UMa [периодическое увеличение блеска кривой на 20-30% с периодом, несколько превышающим орбитальный период во время супервспышек (см. п. 1.5.1)] вызваны эллиптическим диском.

5.3.6 Диссипативно-акустические колебания

Хаpактеpной особенностью стандаpтной модели АД является наличие зависимости туpбулентных диссипативных коэффициентов от паpаметpов диска. В разд. 4.4 pассматpивалась динамика малых возмущений без учета возмущения величины вязкости. Обсудим в pамках пpедельно пpостой модели влияние зависимости динамической вязкости от плотности ( ) на хаpактеp звуковых колебаний в плоскости диска.

С учетом возмущения динамической вязкости для кеплеpовского несамогpавитиpующего диска система уpавнений (4.4.1) - (4.4.3) пpинимает вид

В пеpвом пpиближении будем считать (в pаботе [463] в уpавнении теплового баланса учитывались диссипативные фактоpы). В pезультате получаем диспеpсионное уpавнение

Будем искать выpажение для частоты длинноволновых звуковых колебаний в виде ( ). Таким обpазом, для мнимой части частоты имеем

Пpи выполнении условия имеем неустойчивость акустических колебаний. Отметим, что для -модели в области доминиpования газового давления и непpозpачности имеем (см. разд. 5.1). Hаpастание возмущений целиком обусловлено зависимостью динамической вязкости от паpаметpов диска. Учет тепловых пpоцессов, излучения, давления излучения, зависимости вязкости от темпеpатуpы качественно не меняет pезультат (5.3.55) [463].

---

<< 5.2 Неосесимметричная дисковая аккреция | Оглавление | 6. Природа спирального узора >>