Автомодельное течение

Автомодельное течение - течение жидкости (газа), которое остаётся механически подобным самому себе при изменении одного или нескольких параметров, определяющих это течение. В механически подобных явлениях наряду с пропорциональностью геометрических размеров соблюдается пропорциональность механических величин - скоростей, давлений, сил и т. д. (см. Подобия теория).

Автомодельное течение - частный случай течения жидкости (газа), когда общая задача гидроаэромеханики сводится к системе безразмерных обыкновенных дифференциальных уравнений и граничных условий, зависящих от одной надлежащим образом выбранной безразмерной независимой переменной. Благодаря этому задача расчёта течения упрощается, и удаётся получить её численное, а в ряде случаев и аналитическое решение.

Так, при обтекании бесконечного конуса сверхзвуковым равномерным потоком идеального газа (рис. 1) нельзя выделить характерный линейный размер, поэтому при растяжении или сжатии картины течения относительно вершины конуса О в произвольное число раз картина не изменяется, т. е. остаётся подобной самой себе. Все безразмерные характеристики течения - относительные скорости, давления и т. д. зависят от одной независимой геометрической переменной - полярного угла . Обтекание конуса описывается системой из двух уравнений - с граничными условиями на поверхности конуса и на присоединённой конической ударной волне: Здесь - составляющие относительной скорости в полярной системе координат - отношение удельных теплоёмкостей.

Автомодельное течение в ламинарном пограничном слое существуют лишь при некоторых специальных законах изменения скорости U вне пограничного слоя, в частности при постоянной скорости U=const (пограничный слой на продольно обтекаемой бесконечной плоской пластине). Т. к. в рассматриваемом течении нет какой-либо характерной длины, то профили скорости v в автомодельном пограничном слое в различных поперечных сечениях x=const подобны друг другу и в безразмерных переменных представляются универсальной функцией , где у - расстояние по нормали к пластине, - толщина пограничного слоя. Безразмерная функция тока в автомодельном пограничном слое удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению

с граничными условиями при и при . Здесь - некоторые постоянные, a - безразмерная автомодельная переменная, пропорциональная . Аналогичные автомодельные течения возможны и в пограничном слое, возникающем ири свободной (естественной) конвекции.

Автомодельное течение возникает и в основном участке турбулентной свободной струи (рис. 2), вытекающей из плоского или круглого сопла в неподвижную среду, т. к. в сходственных точках любых двух поперечных сечений безразмерные величины скорости (температуры, концентрации) одинаковы. Для нестационарных автомодельных течений состояние течения в некоторый момент времени t, характеризуемое распределением давлений, скоростей, температур в пространстве, механически подобно состоянию течения при любом другом значении t. Такие течения образуются, например, в случае сильного взрыва, а также при распространении в горючей смеси фронта пламени или детонации. В случае сферической симметрии взрыв (поджигание смеси) происходит в точке, в случае цилиндрической симметрии - вдоль прямой, а в случае плоских волн - вдоль плоскости. Если в момент t=0 мгновенно выделяется конечная энергия E0, а начальная плотность газовой среды равна , то введение безразмерной автомодельной переменной (где r - расстояние от места взрыва, - для сферических волн, - для цилиндрических и \nu=1 - для плоских) позволяет свести задачу определения безразмерных давлений, скоростей, температур за взрывной (ударной) волной к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений с автомодельными граничными условиями на ударной волне.

В широком смысле под автомодельностью течения иногда понимают независимость безразмерных параметров, характеризующих течение, от критериев подобия. Так, коэффициент лобового аэродинамического сопротивления С_X (см. Аэродинамические коэффициенты) можно считать автомодельным по Маха числу М или Рейнольдса числу Re, если в некотором диапазоне их изменения С_X от них не зависит. Автомодельность коэффициента С_X по М и Re существует для большинства тел, обтекаемых газом, при больших М (М>8) или достаточно больших Re (Re>10⁷).