В. И. Володин
|
|
Re: Теория относительности для астрономов
|
8.09.2013 21:20 |
|
|
К экспериментальной проверке парадокса близнецов
Следствие из специальной теории относительности, известное как эффект релятивистского замедления времени, было
сформулировано Альбертом Эйнштейном в его работе 1905 года в виде следующей теоремы:
Если в точке А находятся двое синхронно идущих часов и мы перемещаем одни из них по замкнутой кривой с
постоянной скоростью до тех пор, пока они не вернутся в А (на что потребуется, скажем, t сек), то эти часы по
прибытии в А будут отставать по сравнению с часами, остававшимися неподвижными
Отметим, что Эйнштейн говорит об относительном движении с постоянной скоростью, то есть о движении в
инерциальных системах отсчета, каковые и рассматриваются в специальной теории относительности. Но в тоже время
он говорит о движении по замкнутой кривой. Такое движение можно представить только как движение абстрактных
геометрических точек, не имеющих массы, то есть в кинематической теории. Движение реальных физических тел
обладающих массой должно описываться другой теорией динамикой. Движение по кривой с постоянной скоростью (без
ускорений) для физических тел возможно, если сила, вызывающая ускорение скомпенсирована действием других сил.
Например, движение по окружности вокруг центра вращения, где центробежная сила компенсируется действием сил
жесткой связи (например спицы колеса) или силы кулоновского притяжения (для вращающегося пробного заряда в
электрическом поле другого большого заряда). Наиболее распространено описание этого вида движения как кругового
вращения тела малой массы вокруг другого массивного тела за счет сил гравитации.
Такое движение тела по круговой орбите с постоянной скоростью относительно центра вращения можно связать с
локально инерциальной системой отсчета второго рода.
Напомним, что инерциальные системы отсчета могут быть 3-х видов:
1) инерциальные, которые движутся друг относительно друга с постоянной скоростью и без вращения;
2) ускоренные локально инерциальные первого рода, которые движутся ускоренно друг относительно друга без
вращения, но локально ничем не отличаются от инерциальных систем (например, система отсчета, связанная со
свободно падающим лифтом);
3) ускоренные локально инерциальные второго рода, которые движутся ускоренно относительно друг друга с
вращением, но локально ничем не отличаются от инерциальных систем (например, система отсчета, связанная с центом
масс однородного вращающегося диска);
Другими словами, в СТО Эйнштейн рассматривает релятивистские эффекты только применительно к одному абстрактному
классу инерциальных систем отсчета и только для одного вида движения абстрактных геометрических точек
(абстрактных часов), а не реальных физических тел.
Однако в дальнейшем эти абстрактные представления научным сообществом были неявно распространены и на другие
системы отсчета и другие виды движения физических тел. В форме парадокса этот эффект сформулировал в 1911 году
Поль Ланжевен:
Один брат-близнец остаётся на Земле, а второй отправляется в космические странствия с околосветовой скоростью.
С точки зрения домоседа, двигающийся относительно него путешественник имеет замедленный ход времени. Поэтому при
возвращении он окажется моложе. Однако, с точки зрения космонавта двигалась Земля, поэтому моложе должен
оказаться брат-домосед.
Здесь уже речь идет о конкретных физических телах Земле и людях - путешественниках. Путешественник
отправляется в странствия с околосветовой скоростью и возвращается. Каким образом? Сначала разгоняется, а
потом тормозит?
Однако описание парадокса в виде наглядной картины космического путешествия сделало его популярным, в том числе
и в ненаучных кругах.
Рисунок 1.
Корабль А движется по круговой траектории с постоянной околосветовой скоростью относительно корабля В.
Парадокс заключается в том, что согласно теории относительности взаимное движение близнецов относительно. В
системе координат связанных с ракетой близнеца В летал и двигался с околосветовой скоростью близнец А. В
системе координат связанных с ракетой близнеца А - двигался как раз корабль близнеца В. Согласно специальной
теории относительности инерциальные системы координат совершенно равноправны, поэтому взаимное движение
космических кораблей относительно. Любые преобразования координат в одной инерциальной системе симметричны
преобразованиям в другой инерциальной системе. С точки зрения космонавта А, именно космонавт В должен быть
моложе после своего возвращения к кораблю космонавта А. Замедление времени тоже является относительным,
поэтому, когда они встречаются, их системы координат совпадают, но космонавты не могут быть и моложе и старше
себя одновременно в одной системе координат.
Почему же именно космонавт А оказался моложе космонавта В? И на каком этапе их относительного движения
возникает разница во времени: на этапе разгона, разворота, торможения или при равномерном прямолинейном
(круговом) движении с околосветовой скоростью?
Самая простая схема эксперимента по проверке релятивистского замедления хода времени в соответствии с условиями
задачи сформулированными Эйнштейном, может быть реализована следующем образом.
Ракета В находится на орбите Марса, ракета А находится на орбите Земли. Относительно центра вращения -
Солнца обе системы отсчета кораблей будут локально инерционными системами второго рода. Марс и Земля вращаются
вокруг Солнца с постоянными круговыми скоростями, Марс 24 км/сек, Земля 30 км/сек. Разница круговых
скоростей является относительной и постоянной скоростью движения А и В относительно друг друга 6 км/сек.
Предположим, что в начальный момент, соответствующий наименьшему расстоянию между А и В, они обмениваются
световыми сигналами включающими часы на обоих кораблях. После N числа оборотов, когда корабли А и В опять
оказываются недалеко друг от друга, они опять обмениваются сигналами о показаниях своих часов. Сравнение
показаний часов (с учетом времени передачи сигналов и доплеровских поправок) позволит проверить чистое
релятивистское замедление часов А, так как именно они двигались быстрее.
Следует особо отметить, что экспериментальная проверка СТО будет выполняться не в идеальных инерциальных
системах, а в реальных локально инерциальных системах второго рода. Можно ли считать две неинерциальные системы
отсчета равноправными и симметричными относительно преобразований координат, если они вследствие действия каких
либо факторов являются локально инерциальными?
Конечно нельзя. Равноправность обеспечивается только при рассмотрении обоих систем отсчета относительно третьей
абсолютной системы отсчета центра вращения (аналог системы Коперника). Если рассматривать только две системы
отсчета А и В, то они двигаются с переменной скоростью друг относительно друга, от нуля до максимума,
выписывая петлеобразные траектории (аналог системы Птолемея).
Заметим, что существует способ определения собственной скорости движения физической системы тел безотносительно
к другим системам отсчета. Эта известная идея основана на положениях СТО скорость света в вакууме постоянна и
не зависит от скорости движения источника света. Способ заключается в том, что луч света внутри корабля
излучается в поперечном направлении к вектору скорости движения корабля, отражается от зеркала и падает на
линейку фотоприемников. За время движения световой волны, которое легко вычислить, корабль смещается на
определенное расстояние. Луч света будет попадать на различные фотоприемники, в зависимости от скорости
собственного движения корабля относительно световой волны. Световая волна в данном случае может выполнять роль
абсолютной системы отсчета.
Парадокс не может быть разрешен в рамках специальной теории относительности (СТО) без неявного введения
абсолютной системы отсчета, обычно связываемой с Землей, Солнцем, с Вселенной (относительно далеких звезд) или
со световой волной. Если одна из ракет (допустим В) покоится относительно абсолютной системы координат, то
стареть медленнее должен космонавт А, двигающийся относительно абсолютной системы отсчета. Но постулатом СТО
как раз является провозглашение отсутствия абсолютной системы отсчета и относительность и равноправие всех
инерциальных систем отсчета! Налицо противоречие в условиях задачи.
Также предпринимались попытки объяснения парадокса близнецов руководствуясь только положениями СТО об
инерциальных системах отсчета путем:
а) объяснения невозможности применения принципа одновременности для систем движущихся относительно друг -
друга. При этом предлагалось рассмотреть цепочку предварительно синхронизированных часов, расставленных вдоль
траектории полета А и показывающих разное время для космонавта А и одно и тоже время для космонавта В. Но
при этом происходило физически необъяснимое движение космонавта А сначала в будущее космонавта В, а затем
после разворота движение в прошлое космонавта В. Какой физический процесс происходит в точке разворота,
мгновенно и радикально изменяющий действие физических законов?
Кроме того, одновременность может быть обеспечена предварительной договоренностью А и В выполнить какие-либо
действия после наступления какого-либо события в его собственной системе отсчета, например, сфотографировать
показания часов при достижении определенного положения относительно Солнца или в точке разворота.
в) объяснения парадокса несохранением принципа инвариантности систем отсчета при переходе от одной системы
отсчета к другой. Аргументом служило то, что время распространения любого сигнала не может превышать скорость
света, поэтому для перехода из одной системы координат к другой системе координат требуется конечное время.
Однако при этом возникали скачки во времени, необъяснимые с точки зрения принципа одинакового действия
физических законов как в системе отсчета космонавта А, так и в системе отчета космонавта В. Это ничего не
объясняло и еще больше запутывало ситуацию.
Решение парадокса не могло быть найдено только в рамках СТО. Обычный ответ заключается в том, что СТО
рассматривает движение только в инерциальных системах отсчета, то есть системах, в которых отсутствует
ускоренное движение. СТО оперирует только значением скоростей, не учитывая ускорения. Другими словами, СТО
является математическим описанием движения кинематических систем (невзаимодействующих геометрических точек), а
общая теория относительности (ОТО) математическим описанием движения динамических систем (взаимодействующих
физических тел).
Следовательно, необходимо отойти от идеализированных представлений СТО и попытаться найти способ
экспериментальной проверки парадокса близнецов для движения реальных физических тел в неинерциальных системах
отсчета.
В этих целях парадокс близнецов попробуем сформулировать следующим образом:
Представим двух близнецов космонавтов А и В, находящихся в двух космических кораблях, летящих рядом в
глубоком космосе, вдалеке от любых других тел. Один из близнецов А включает двигатель и разгоняется до
скорости близкой к скорости света, затем возвращается обратно. Завершив свой полет близнец А подлетает к
кораблю своего близнеца В, который никуда не летал. Они встречаются, и оказывается, что близнец В
значительно старше своего близнеца А. За счет релятивистского замедления течения времени при околосветовых
скоростях движения, близнец А оказывается моложе близнеца В.
Наиболее логичное решение парадокса близнецов предлагается в рамках общей теории относительности (ОТО). Как
известно ОТО распространяет принцип относительности и на неинерциальные (ускоренные) системы отсчета, путем
приравнивания ускорения к гравитации. Ускоренное движение в ОТО рассматривается как движение в поле тяготения,
искривляющем пространство-время. Движется ли система отсчета с ускорением или нет, можно определить в ОТО
относительно любой другой движущейся системы отсчета, в том числе, если вторая система также движется ускоренно.
Таким образом, система отсчета близнеца В и система отсчета близнеца А неравноправны. В системе В
ускорение отсутствует и она является инерциальной, система А двигается ускоренно, то ускоряясь, то замедляясь,
и является неинерциальной. Следовательно, никакого парадокса нет, близнец А за счет движения в неинерциальной
системе отсчета действительно должен быть моложе близнеца В, который двигался инерциально (или находился в
покое, что одно и тоже).
Но это казалось бы безупречное объяснение парадокса близнецов нуждается в дополнительном анализе. Попытаемся
сделать обе системы отсчета (А и В) равноправными. Для этого систему В сделаем также неинерциальной.
Дополним наш мысленный эксперимент следующим:
Предположим, что оба космических корабля вращаются по круговой орбите, например, вокруг Солнца (с очень большой
достоверностью система отсчета связанная с центром Солнца может считаться абсолютной системой отсчета для
большинства физических процессов в Солнечной системе). Допустим ускорение притяжения к Солнцу (гравитационный
потенциал) на данном расстоянии от Солнца условно равно 0,1g (1м/сек2). Оба корабля двигаясь рядом в поле
тяготения ускоренно, будут являться равноправными неинерциальными системами отсчета. Такие системы являются
локально инерциальными. Предположим, космонавт А стартует и начинает двигаться с постоянным ускорением 0,1g по
нормали к орбите, отдаляясь от Солнца по параболической траектории. Сила тяготения уменьшается обратно
пропорционально квадрату расстояния, соответственно гравитационное ускорение будет быстро уменьшаться, а сила
тяги ракеты будет давать постоянное ускорение. Уже на расстоянии 2 радиусов первоначальной орбиты вращения
кораблей от Солнца ускорение тяготения уменьшится в 4 раза и станет пренебрежительно малым. Поправки в значении
ускорений при желании можно учесть в расчетах. Для чистоты эксперимента считаем, что в этот момент
одновременно (то есть по предварительной договоренности), космонавты А и В оба включают свои часы,
например световым сигналом. Корабль А разгоняется равноускорено с постоянным ускорением 0,1g, корабль В
также оставаясь в поле тяготения Солнца, будет двигаться по орбите равноускорено с центростремительным
ускорением 0,1g. Системы отсчета А и В обе неинерциальны, равноускорены и потому равноправны, и двигаются
относительно друг друга со все возрастающей скоростью.
Рисунок 2.
Корабль А движется с постоянным линейным ускорением и достигает околосветовой скорости относительно корабля
В. Корабль В движется по круговой орбите с постоянным гравитационным центростремительным ускорением,
скомпенсированным центробежной силой.
Через достаточно большой промежуток времени по часам космонавта А, например 5 лет, скорость движения его
корабля относительно корабля В приблизится к околосветовой (около 0,5С). Космонавт А разворачивает ракету и
начинает тормозить с постоянным ускорением 0,1g. Его система координат остается по-прежнему неинерциальной, еще
через 5 лет по своим часам космонавт А, возвращается и подлетает к Солнцу и кораблю В. Опять-таки, его
движение можно считать равнозамедленным вплоть до малого расстояния от Солнца (и пренебрежительно малого по
сравнению с расстоянием удаления его корабля во время полета). Скорость движения космонавта А относительно
космонавта В также приближается к нулю (и опять становится равной орбитальной скорости их вращения вокруг
Солнца). Космонавт А считывает показания своих часов (10 лет) и отправляет космонавту В световой сигнал,
благо они уже опять летят рядом. Космонавт В также одновременно считывает показания своих часов и сравнивает
с показаниями А. Сколько времени прошло по часам космонавта В? Согласно СТО около 10,15 лет, то есть на 15%
больше.
С точки зрения специальной теории относительности все условия равноправности систем отсчета соблюдены. То есть,
в системе отсчета А с околосветовой скоростью летал не он, а космонавт В. По часам В должно пройти также
ровно 10 лет! Значит если будет иметься расхождение между показаниями часов А и часов В, то эти расхождения
будут являться чистым подтверждением правильности релятивистских положений СТО и ОТО.
Однако и эта модель не отвечает условиям задачи. Дело в том, что в системе В сила гравитационного притяжения
уравновешена центробежной силой вращения корабля В вокруг массы Солнца. Корабль В в собственной системе
координат движется по инерции. Эта система отсчета является локально инерциальной системой второго рода, в
которой ускорение скомпенсировано, соответственно в ней соблюдается первый закон классической механики Ньютона.
А такая система по определению считается инерциальной.
В системе отсчета А ускорение не скомпенсировано, сила тяги двигателя должна быть постоянно больше силы
инерции, иначе корабль не будет ускоряться. Следовательно, система отсчета А будет неинерциальной. Опять мы
видим неравноправность систем отсчета А и В, и, следовательно, несимметричность относительного
преобразования координат.
Еще раз изменим начальные условия задачи.
Пусть оба космических корабля летят рядом по круговой орбите вокруг Солнца. Космонавт А включает двигатель по
направлению по касательной к орбите против движения и тормозит. Его скорость становится меньше круговой и
корабль А начинает двигаться по эллиптической орбите. Солнце будет находиться в одном из фокусов эллипса.
Согласно законам Кеплера, скорость корабля А будет возрастать при приближении к Солнцу тем больше, чем больше
соотношение большой и малой полуосей эллиптической орбиты. Максимально достижимая при этом скорость (без
дополнительного разгона двигателем ракеты) равна второй космической скорости на поверхности Солнца около 618
км/сек. При такой скорости релятивистские эффекты замедления времени еще достаточно малы, но уже измеримы.
Рисунок 3.
Корабли А и В движутся в поле тяготения Солнца по орбитам конусных сечений. Корабль В движется с
постоянным ускорением, корабль А движется с переменным ускорением.
Важно отметить, что в этом случае обе системы отсчета А и В являются локально инерциальными. Движение по
эллипсу с точки зрения сохранения инвариантности относительного преобразования координат ничем не отличается от
движения по круговой орбите. Движение по кругу, эллипсу, параболе или гиперболе являются частными случаями
общего описания движения тела в поле тяготения центральной массы. В этих случаях система отсчета связанная с
кораблем А будет инерциальной, точнее локально инерциальной.
Но с точки зрения ОТО опять имеется несимметричность указанных систем отсчета: гравитационный потенциал
изменяется в квадратичной зависимости от расстояния до центра масс системы. То есть, корабль на круговой орбите
будет испытывать постоянное гравитационное ускорение, а на корабль, двигающийся по эллиптической орбите вокруг
Солнца, будет действовать переменное гравитационное ускорение. Если рассматривать только движение по траектории
сближения с Солнцем сила притяжения постоянно растет и не скомпенсирована центробежной силой инерции, за счет
этого и происходит ускорение движения корабля А по мере приближения к Солнцу. После пролета возле Солнца по
кривой линии (части эллипса, параболы или гиперболы) скорость корабля будет уменьшаться точно по такому же
закону.
Расчет скорости движения физического тела в переменном поле ускорения достаточно простая задача
интегрирования. Нас в первую очередь интересуют не какие-либо конкретные расчеты, а качественный анализ
применимости рассматриваемой модели для объяснения парадокса времени. Поэтому отметим только, что максимальная
скорость пролета корабля ограничена размерами Солнца и его массой.
Осталось заменить Солнце на черную дыру аналогичной массы. Размер этой черной дыры составит около 3 км
(гравитационный радиус Солнца). Движение космического корабля с расстояния в сотни миллионов километров к
объекту размером в 3 километра можно рассматривать как движение к точке. При относительной начальной скорости
близкой к нулевой, эллиптическая орбита превращается в прямую линию корабль А просто падает на черную
дыру. Скорость его движения при этом теоретически может приблизиться к скорости света. Например, при пролете на
минимальном расстоянии от центра черной дыры в 3 гравитационных радиуса (около 9 км для рассматриваемого
случая) скорость достигнет 0,5С. При этом космический корабль можно рассматривать как падающий лифт Эйнштейна.
То есть падающий лифт является локально ускоренной инерциальной системой отсчета первого рода. Как изменяется
гравитационный потенциал, уже не имеет значения, так как в падающем лифте сила тяготения в любом случае будет
уравновешена силой инерции. Чем отличаются относительные преобразования координат в локально ускоренных
инерциальных системах первого и второго рода? Ничем. Законы физики для движения тел в этих системах отсчета
одинаковые.
Рисунок 4.
Корабль А падает на черную дыру как лифт, сила тяготения скомпенсирована силой инерции. Корабль В движется
по круговой орбите, сила тяготения скомпенсирована центробежной силой.
К сожалению (а может быть и к счастью) в окрестностях Земли нет черных дыр. Придется использовать падение на
Солнце, в этом случае максимальные скорости будут порядка 1000 км/сек, эффекты будут крайне малыми, но
измеримыми.
Например, можно вывести на орбиту Земли вокруг Солнца два спутника, оснащенных лазерами. Оба спутника постоянно
посылают на Землю синхронизированные в начальный момент световые сигналы. Один из спутников короткими импульсами
двигателя гасит орбитальную скорость до нуля, разгоняется до максимально возможной скорости в направлении Солнца
и дальше свободно падает на Солнце. Им придется пожертвовать, так как он сгорит в Солнце. Сигналы со спутников
сравниваются, убираются погрешности связанные с временем распространения света, эффектом Доплера, и получаются
чисто релятивистский эффект разницы во времени.
Однако, относительная скорость движения корабля А и корабля В будет переменной, что не соответствует
первоначально сформулированным условиям теоремы Эйнштейна. Опять мы видим, что условие постоянства относительной
скорости движения А и В может выполняться только в случае совпадения координат корабля А с центром
вращения корабля В.
Действием каких физических законов можно заставить одно тело А двигаться по замкнутой кривой с постоянной
скоростью вокруг другого тела В? Только если масса тела В несравнимо больше массы тела А. Тогда можно
использовать жесткую связь (струну) или силу тяготения. Но околосветовых скоростей достичь нам не удастся.
В то же время проведение этого эксперимента в сильном гравитационном поле (например возле Солнца) будет
сопровождаться наличием побочных эффектов, делающих на наш взгляд невозможным получить искомый результат. В
сильных гравитационных полях уже невозможно применение ОТО без учета приливных гравитационных сил, локальных
искажений метрики пространства. Уравнения движения физических тел становятся существенно нелинейными, а значит
опять-таки несимметричными относительно уравнений движения тел в слабом гравитационном поле. А движение в слабых
гравитационных полях не позволяет реализовать околосветовые скорости движения и получить измеримые
релятивистские эффекты. Замкнутый круг.
Таким образом, мы не нашли физический способ уравнять в правах системы отсчета космонавтов А и В так, чтобы
относительная скорость движения космонавтов по замкнутой кривой была постоянной и близкой к околосветовой.
Это не позволяет осуществить эксперимент по проверке чисто релятивистских эффектов замедления времени для
реальных физических тел.
Изложенный выше способ определения скорости движения относительно световой волны так же не может быть
использован, так как в сильных гравитационных полях луч света тоже будет двигаться не по прямой, а по
геодезической линии. На малых расстояниях от Солнца кривизна пространства может быть различной и переменной, к
примеру, на носу корабля и на его корме быстро изменяться и по-разному. Это может происходить вследствие
быстрого перемещения огромных масс вещества в глубине и на поверхности Солнца. Как измерить раздельно вклад
релятивистского замедления времени, гравитационного замедления времени и замедления из-за искривления
пространства для реального тела? Ведь все эти эффекты будут действовать на каждое физическое тело системы,
включая все измерительные приборы.
За счет чего же именно близнец А стареет медленнее близнеца В? За счет эффекта замедления времени при
релятивистских скоростях относительного движения, или за счет искажений метрики пространства-времени в
гравитационном поле?
Какой же вывод? Мы полагаем, что не существует физического эксперимента, позволяющего выполнить полностью
равноправные, симметричные измерения динамических релятивистских эффектов возникающих при движении физических
тел в разных неинерциальных системах координат.
Следует отметить, что мы намеренно избегаем каких-либо математических представлений при анализе парадокса
близнецов. Дело в том, что математические описания в данном случае носят явный абстрактный характер. С помощью
математики можно не сходя с места подогнать решения СТО и ОТО под нужный результат, путем выбора формы
представления конкретных уравнений, заменой переменных, наборов преобразований, калибровки, нормирования и т. д.
Можно вывести кучу формул, провести безупречные расчеты, а можно просто поиграть в нолики. Например, доказать,
что если выражение X(а) = 0, и выражение Y(в) = 0, то, следовательно, ... математически все будет
правильным! Но не отражающим физическую реальность! Пусть этим жонглированием занимаются математики, но не
физики. Не зря Эйнштейн иронизировал, что с тех пор, как за теорию относительности принялись математики, он ее
уже сам не понимает.
Забавно, что парадокс близнецов считается вытекающим следствием из СТО, но в рамках СТО он не может быть
объяснен! Абстрактность СТО состоит в том, что в природе на самом деле не существует инерциальных систем
отсчета, все системы отсчета связанные с физическими телами являются принципиально неинерциальными, и только в
разной степени приближения могут считаться инерциальными. Рассмотренный парадокс близнецов является примером
применения абстрактной кинематической теории описания движения геометрических точек для описания динамического
взаимодействия реальных физических тел. А система отсчета всегда связана с телом отсчета, а не с точкой
отсчета, игнорирование этого факта и приводит к логическим парадоксам.
В.И. Володин
|
|
