треугольники заданного периметра
22.02.2001 19:19 |
МЦНМО
Рассматриваются всевозможные треугольники, имеющие целочисленные
стороны и периметр которых равен 2000, а также
всевозможные треугольники, имеющие целочисленные
стороны и периметр которых равен 2003. Каких треугольников больше?
Хочу подсказку
Решение:
Ответ: треугольников с периметром 2003 больше.
Пусть стороны треугольника равны целым числам a, b, c,
и его периметр a+b+c равен 2000.
Поставим этому треугольнику в соответствие треугольник
со сторонами a+1, b+1, c+1, периметр которого равен 2003
(этот треугольник существует; в самом деле, рассмотрим, например
неравенство треугольника (a+1)+(b+1)>(c+1);
оно следует из неравенства треугольника
a+b>c
для треугольника со сторонами a, b, c).
Это соответствие однозначно сопоставляет треугольнику
с целочисленными сторонами,
имеющему периметр 2000,
треугольник с целочисленными сторонами,
имеющий периметр 2003. При этом соответствии различным
треугольникам соответствуют различные.
Однако, при установленном соответствии треугольник периметра 2003
со сторонами 1, 1001, 1001 не соответствует никакому треугольнику
периметра 2000.
Следовательно, треугольников периметра 2003 больше.
Написать комментарий
|
