Астронет: А. В. Локтин, В. А. Марсаков Звездная астрономия в лекциях http://variable-stars.ru/db/msg/1245721/lec.15.5.html

15.5. Интегральные уравнения звёздной статистики

Лекция 15. Построение модели Галактики

15.5. Интегральные уравнения звёздной статистики

Как упоминалось выше, для проверки точности моделей Галактики можно использовать звёздные подсчёты. В последние десятилетия звёздные подсчёты возродились вновь в связи с появлением мощных телескопов с автоматизированной обработкой результатов наблюдений. Использовать звёздные подсчёты для проверки моделей Галактики можно с помощью так называемых интегральных уравнений звёздной статистики, окончательный вид которых получил в начале ХХ-го века Шварцшильд.

Пусть мы наблюдаем область неба в телесном угле ω. Объем пространства с расстояниями от наблюдателя от r до r+dr будет равен ωr²dr, а число звёзд с видимыми величинами m тогда будет равно где М - абсолютная звёздная величина, определяемая через m и r с учетом поглощения света, D(r) - звёздная плотность в данном направлении, φ(М) - функция светимости. Проинтегрируем выражение (15-25) по расстояниям r от нуля до бесконечности, что приводит к выражению: Это уравнение называется первым уравнением Шварцшильда, оно связывает звёздную плотность и функцию светимости с наблюдаемой функцией блеска. Еще одно уравнение можно получить, если известно распределение расстояний до звёзд или распределение тригонометрических параллаксов π = 1/r. Умножая параллакс каждой звезды m-ой видимой звёздной величины на число звёзд в элементе объема (15-25) и интегрируя по всем расстояниям, получаем: В течение первой половины ХХ-го века делались неоднократные попытки использовать уравнения (15-26) и (15-27) для изучения звёздной плотности по известным функциям блеска в разных направлениях. Однако результаты таких исследований оказались неудовлетворительными. Причин этому две. Во-первых, даже в настоящее время плохо известно распределение поглощающей материи в Галактике, что приводит к большим ошибкам решений уравнений звёздной статистики. Во-вторых, задача решения этих уравнений оказалась неустойчивой в том смысле, что небольшие ошибки в наблюдаемой функции блеска приводят к большим ошибкам в решениях - получаемых функции звёздной плотности и функции светимости.

В настоящее время интегральные уравнения звёздной статистики используются для решения обратной задачи - по звёздной плотности из данной модели Галактики с помощью известной функции светимости получают расчётную функцию блеска, которая сравнивается с наблюдаемой в данном направлении. При этом для сравнения выбираются области, где поглощение света заведомо мало, в частности направление на галактические полюсы и окна прозрачности. Пример такого сравнения приведен на рис. 15-1. Здесь результаты звёздных подсчётов (функция блеска) в направлении галактического полюса (точки) сравниваются с предсказанной функцией блеска, полученной на основе многокомпонентной модели Галактики Бакала и Сонейры (сплошные линии). Рисунок показывает отличное согласие результатов моделирования и наблюдательных данных, по крайней мере, до видимой звёздной величины V ≈ 20^m.