15.2. Симметрия и интегралы движения звёздной системы
Рассмотрим свойства функции фазовой плотности звёздной системы в рамках <бесстолкновительной> звёздной динамики. При этом звёзды рассматриваются как точечные тяготеющие массы. Определим функцию фазовой плотности как плотность распределения вероятности найти звёзду в элементе шестимерного фазового пространства:
Напомним, что интегрирование функции фазовой плотности по скоростям дает пространственное распределение звёзд в системе, а интегрирование по всем пространственным координатам приводит к плотности распределения скоростей точек системы. По своему физическому смыслу функция фазовой плотности везде положительна, а при стремлении любой из шести фазовых координат к бесконечности она должна достаточно быстро стремиться к нулю, так как интеграл от этой функции по всем переменным равен числу звёзд в системе и должен быть конечен.
Пусть Ф(x,y,z,t) есть гравитационный потенциал системы. Движение материальной точки описывается уравнениями:
Рассмотрим группу звёзд в движущемся элементе фазового пространства. Неизменность числа звёзд в группе позволяет приравнять значения функции фазовой плотности в моменты t и t+dt, т.е. Ψ(t) = Ψ(t + dt). Разложив правую часть этого равенства в ряд Тейлора и ограничиваясь первыми степенями приращений, получим линейное однородное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка, которому должна удовлетворять функция фазовой плотности:
При выводе этого уравнения производные от скоростей по пространственным координатам заменены на частные производные от потенциала в силу уравнений движения (15-8). Уравнение (15-9) является
фундаментальным уравнением бесстолкновительной звёздной динамики и, по сути, представляет собой уравнение неразрывности для функции фазовой плотности, являясь аналогом уравнения Больцмана для газа невзаимодействующих частиц. В случае заметной роли взаимодействия между звездами, вместо нуля в правой части (15-9) появляется так называемый столкновительный член, резко усложняющий анализ уравнения.
Решением уравнения в частных производных является произвольная функция от независимых интегралов соответствующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений Лагранжа:
Если мы располагаем выражением для гравитационного потенциала, то в принципе можем найти
шесть интегралов системы (15-10) и записать выражение для функции фазовой плотности. При этом следует помнить, что вместо потенциала мы можем использовать распределение плотности массы в Галактике, так как она связана с гравитационным потенциалом уравнением Пуассона.
Задача несколько упрощается, если звёздная система обладает симметрией. Известная теорема теоретической механики, доказанная в начале ХХ-го века Э. Нетер, в упрощенной формулировке гласит, что каждому непрерывно зависящему от одного параметра преобразованию, не меняющему функционал действия, соответствует закон сохранения - некий интеграл уравнений движения. Такими преобразованиями являются преобразования симметрии. При этом отметим, что Джинс в 1915 году доказал теорему, которая гласит, что для хорошо перемешанного звёздного населения функция фазовой плотности может быть записана только как функция интегралов движения: Ψ = Ψ(I1,...,I6). Нас обычно интересует вид функции Ψ в зависимости от пространственных координат и компонентов пространственной скорости, так что необходимо подставить в выражение для Ψ явный вид интегралов движения. Конкретный вид функции фазовой плотности можно найти только из наблюдений, при этом некоторую информацию о свойствах функции Ψ можно получить из самых общих соображений о симметрии рассматриваемой звёздной системы. Рассмотрим несколько примеров.
1) Пусть потенциал и функция фазовой плотности не зависят явно от времени, т.е. ∂Ψ/∂t и система стационарна. Перепишем три пары уравнений из (15-10) в виде:
Сложим эти выражения и получим:
Слева и справа в (15-12) стоят полные дифференциалы, что позволяет легко проинтегрировать эти выражения и записать:
Если перенести потенциал в левую часть, мы получим всем известную запись выражения для
интеграла энергии: I
1 = V
2 - 2Ф. Если бы больше не нашлось интегралов системы (15-10), функция фазовой плотности описывалась бы выражением Ψ = Ψ(V
2 - 2Ф), а распределение скоростей получилось бы сферически симметричным. Из обсуждавшихся в предыдущих лекциях наблюдательных данных ясно, что этот случай в Галактике не выполняется.
Отметим, что если скорость звезды такова, что V2 - 2Ф > 0, то V > (2Ф)1/2 и звезда покинет систему. Условие V = (2Ф)1/2 определяет критическую скорость или скорость отрыва в звёздной системе. Вспомним, что грубую оценку критической скорости из наблюдений мы получили, рассматривая движения звёзд и не находя звёзд с очень большими скоростями. Так из наблюдений можно оценить значение потенциала тяготения для окрестностей Солнца в предположении, что самая большая наблюдаемая скорость близка к скорости отрыва.
2) Если потенциал имеет сферическую симметрию, то кроме I1 получим еще три независимых интеграла площадей (интегралы сохранения вращательных моментов относительно трех осей):
Частное решение для функции фазовой плотности будет произвольной функцией четырех интегралов:
Ψ = Ψ(I1,I2,I3,I4) При этом чтобы имела место сферическая симметрия, функция фазовой плотности может зависеть только от радиус-вектора
r = (x2 + y2 + z2)1/2 , а не от координат x,y,z непосредственно. Чтобы выполнить это условие перейдем к полному угловому моменту, переразложив полную скорость по компонентам сферических координат :
Отсюда
I22 + I32 + I42 = r2(VΘ2 + Vφ2). Функция фазовой плотности в этом случае есть
Здесь мы имеем эллипсоид скоростей с одинаковыми осями по угловым переменным, но сжатый или растянутый в радиальном направлении.
3) Рассмотрим случай цилиндрической симметрии, что, как показывают наблюдательные данные, с хорошей степенью приближения выполняется в нашей Галактике. В этом случае кроме интеграла энергии можно найти только один интеграл площадей:
В цилиндрической галактоцентрической системе координат
I2 = RVΘ Новым частным решением основного уравнения будет, следовательно,
Здесь компоненты скорости по r и z входят в выражение для фазовой плотности симметрично, так что эллипсоид скоростей имеет две равные оси (эллипсоид вращения), и только сжат или растянут в направлении галактического вращения.
Ни в одном из перечисленных случаев нельзя получить полный набор интегралов. Отметим, что мы получили для осесимметричной Галактики интегралы, управляющие движениями по осям, лежащим в плоскости Галактики, и должен существовать интеграл, управляющий движением по оси z. Ясно также, что общего решения нельзя получить без знания точного выражения для гравитационного потенциала Галактики.
