Астронет > Сферическая астрономия

Астронет: В. Е. Жаров/ГАИШ Сферическая астрономия
http://variable-stars.ru/db/msg/1190817/node89.html

<< A.5 Криволинейные координаты | Оглавление | B. Основные термины >>

A.6 Сферические функции

Гравитационный потенциал $U$ во всех точках, находящихся на поверхности и вне Земли, удовлетворяет уравнению Лапласа:

$\displaystyle \nabla^2 U=\frac{\partial{^2}U}{\partial{x}^2}+ \frac{\partial{^2}U}{\partial{y}^2}+ \frac{\partial{^2}U}{\partial{y}^2} = 0.$

Оператор $\nabla$ называется "набла". В сферических координатах $(r,\theta,\lambda)$ уравнение Лапласа имеет вид:

$\displaystyle \nabla^2 U=\frac{1}{r^2}\frac{\partial{}}{\partial{r}} \left(r^2\frac{\partial{U}}{\partial{r}}\right)+ \frac{1}{r^2\sin\theta} \frac{\partial{}}{\partial{\theta}} \left(\sin\theta\frac{\partial{U}}{\partial{\theta}}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta} \frac{\partial{^2} U}{\partial{\lambda}^2}.$

Решение уравнения Лапласа есть:

$\displaystyle U= \begin{Bmatrix}r^l \\ \textrm{или} \\ r^{-(l+1)} \end{Bmatrix}\times P^m_l(\cos\theta)e^{im\lambda},$

где $l,m$ -- целые числа, причем $l\geq 0$ и $\vert m\vert\leq l$ , $i=\sqrt{-1}$ . Функции $P^m_l(\mu)$ называются присоединенными функциями Лежандра степени $l$ и порядка $m$ . Функции $P^m_l(\mu)$ есть решения дифференциального уравнения:

$\displaystyle (1-\mu^2)\frac{d^2P}{d\mu^2} -2\mu\frac{dP}{d\mu} +\left[l(l+1) - \frac{m^2}{1-\mu^2}\right]P=0.$

При $m=0$ получается уравнение Лежандра. В функциях $P^0_l(\mu)$ верхний индекс 0 обычно опускают.

Определим сферические функции как

$\displaystyle Y^m_l(\theta,\lambda) =\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}\, P^m_l(\cos\theta)e^{im\lambda}$

для $m\geq 0$ . Для отрицательных $m$ сферические функции определяются следующим образом: $Y^m_l\equiv (-1)^mY^{(-m)*}_l$ , где символ $^*$ означает комплексное сопряжение.

Полиномы Лежандра представляют собой решения уравнения Лапласа, обладающие осевой симметрией. Очевидно, если $m=0$ , то сферические функции $Y^m_l(\theta,\lambda)$ не зависят от долготы, и называются зональными. Потенциал, разлагающийся только по зональным функциям, можно записать в виде ряда по степеням расстояния $r$ от начала координат, коэффициентами которого являются полиномы Лежандра. Они зависят только от полярного расстояния $\theta$ .

Присоединенные функции Лежандра являются ортогональными функциями, т.е.

$\displaystyle \int_{-1}^1 P^m_l(\mu)P^{m'}_{l'}(\mu)=\begin{cases} \frac{2}{2l+1}\frac{(l+m)!}{(l-m)!},& \textrm{если одновременно}\ l=l', m=m'\\ 0, & \textrm{в противном случае}. \end{cases}$

Каждая дважды дифференцируемая действительная функция $\Psi(\theta,\lambda)$ , такая что $\Psi(\theta,\lambda+2\pi)= \Psi(\theta,\lambda)$ и определенная при $0\leq \theta\leq \pi$ и $0\leq \lambda\leq 2\pi$ на поверхности сферы, может быть разложена в сходящийся ряд

$\displaystyle \Psi(\theta,\lambda)$	$\displaystyle =\sum_{j=0}^{\infty}\left[\frac{1}{2}\alpha_{j0}P_j(\cos\theta) +\sum_{m=0}^j P^m_j(\cos\theta)(\alpha_{jm}\cos m\lambda +\beta_{jm}\sin m\lambda)\right] =$
	$\displaystyle =\sum_{j=0}^{\infty}\sum_{m=-j}^j \gamma_{jm}P^{\vert m\vert}_l(\cos\theta)e^{im\lambda}.$

Коэффициенты разложения находятся следующим образом:

$\displaystyle \alpha_{jm}$	$\displaystyle = \frac{2j+1}{2\pi}\frac{(j-m)!}{(j+m)!} \int_0^{2\pi}d\lambda\, \cos m\lambda\int_0^\pi \Psi(\theta,\lambda) P^m_j(\cos\theta) \sin\theta d\theta,$
$\displaystyle \beta_{jm}$	$\displaystyle = \frac{2j+1}{2\pi}\frac{(j-m)!}{(j+m)!} \int_0^{2\pi}d\lambda\, \sin m\lambda\int_0^\pi \Psi(\theta,\lambda) P^m_j(\cos\theta) \sin\theta d\theta,$
$\displaystyle \gamma_{jm}$	$\displaystyle =\gamma^*_{j,-m}=\frac{1}{2}(\alpha_{jm}-i\beta_{jm}) = \frac{2j+1}{4\pi}\frac{(j-m)!}{(j+m)!} \int_0^{2\pi}d\lambda\, e^{im\lambda}\int_0^\pi \Psi(\theta,\lambda) P^m_j(\cos\theta) \sin\theta d\theta,$

где $j=0,1,2,\ldots; m=0,1,2,\ldots, j$ .

<< A.5 Криволинейные координаты | Оглавление | B. Основные термины >>