Астронет > Сферическая астрономия

Астронет: В. Е. Жаров/ГАИШ Сферическая астрономия
http://variable-stars.ru/db/msg/1190817/node84.html

<< A. Основные математические определения | Оглавление | A.2 Линейная алгебра >>

A.1 Матричная алгебра

Матрицей $A$ размера $m\times n$ называется таблица скалярных величин:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \equiv [a_{ij}],$

$i=1,2,\ldots ,m; j=1,2,\ldots ,n$ ; $m$ -- число строк, $n$ -- число столбцов матрицы. Элемент $a_{ij}$ называется элементом матрицы и расположен в $i-$ ой строке и $j-$ ом столбце.

Для матриц определены следующие операции:

Матрицы $A$ и $B$ размера $m\times n$ равны $(A=B)$ , если для всех $i$ и $j$ равны их элементы: $a_{ij}=b_{ij}$ .
Сумма матриц $A$ и $B$ размера $m\times n$ есть матрица $C$ размера $m\times n$ :

$\displaystyle C=A+B; \quad c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}.$
Произведение матрицы $A$ размера $m\times n$ на скаляр $\alpha$ есть матрица $B$ размера $m\times n$ :

$\displaystyle B=\alpha A; \quad b_{ij}=\alpha a_{ij}.$
Произведение матрицы $A$ размера $m\times n$ на матрицу $B$ размера $n\times k$ есть матрица $C$ размера $m\times k$ :

$\displaystyle C=AB; \quad c_{ij}=\sum_{l=1}^n a_{il}b_{lj}.$

Матрица $A^T$ , транспонированная по отношению к матрице $A$ размера $m\times n$ , есть матрица $A^T\equiv [a_{ji}]$ размера $n\times m$ . Справедливы следующие соотношения:

$\displaystyle (A+B)^T=A^T+B^T; \quad (\alpha A)^T = \alpha A^T; \quad (AB)^T=B^TA^T.$

Матрица $A$ размера $n\times n$ называется квадратной матрицей порядка $n$ .

Квадратная матрица $A$ называется диагональной, если все недиагональные элементы $a_{ij}$ $(i\neq j)$ равны нулю.

Диагональная матрица $A$ размера $n\times n$ называется единичной: $A=I$ , если все диагональные элементы равны единице: $a_{ii}=1$ , $a_{ij}=0$ при $i\neq j$ . Если $I$ -- единичная матрица размера $n\times n$ , то для любой матрицы $B$ размера $n\times n$ справедливы равенства $IB=BI=B$ .

Квадратная матрица $A$ называется симметрической, если $A^T=A$ , т.е. если $a_{ij}=a_{ji}$ .

Квадратная матрица $A$ называется невырожденной, если она имеет единственную обратную матрицу $A^{-1}$ , определяемую условием: $A^{-1}A=AA^{-1}=I$ .

Квадратная матрица $A$ называется ортогональной, если $A^TA=AA^T=I$ , т.е. если $A^T=A^{-1}$ .

Если квадратные матрицы $A$ и $B$ одного порядка невырождены, скаляр $\alpha\neq 0$ , то

$\displaystyle (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}; \quad (\alpha A)^{-1}=\alpha^{-1}A^{-1}; \quad (A^{-1})^{-1}=A.$

Квадратная матрица не вырождена тогда и только тогда, когда ее строки (столбцы) линейно независимы.

<< A. Основные математические определения | Оглавление | A.2 Линейная алгебра >>