Astronet Астронет: В. Е. Жаров/ГАИШ Сферическая астрономия
http://variable-stars.ru/db/msg/1190817/node8.html
<< 2.1. Основные понятия | Оглавление | 2.3. Сферическая система координат >>


2.2. Скаляры, векторы, тензоры и системы координат

Прежде чем выводить основные формулы сферической геометрии, рассмотрим более общий вопрос: об определении скалярных, векторных величин, тензоров в математике и физике и их связи с системами координат.

Многие физические законы в векторной форме имеют вид:

$\displaystyle \textbf{a}=\lambda\textbf{b},$ (2.1)

т.е. вектор $ \textbf{a}$ пропорционален с коэффициентом $ \lambda$ вектору $ \textbf{b}$. В качестве примера можно привести закон Ньютона: $ \textbf{F}=m\textbf{a}$ -- ускорение $ \textbf{a}$ тела пропорционально действующей на него силе $ \textbf{F}$. Коэффициент пропорциональности равен массе $ m$ тела. Согласно закону (2.1) вектор $ \textbf{a}$ параллелен, если $ \lambda \gt 0$, или антипараллелен, если $ \lambda \lt 0$, вектору $ \textbf{b}$.

Введем систему координат с началом в точке $ O$ и осями $ Ox, Oy, Oz$. Направления осей задаются векторами $ \textbf{i}, \textbf{j}, \textbf{k}$, соответственно, причем длина каждого вектора считается равной единице. Поэтому они называются единичными векторами. Система координат $ Oxyz$ является прямоугольной (декартовой), если векторы $ \textbf{i}, \textbf{j}, \textbf{k}$ взаимно перпендикулярны.

Определение 2.2.1   Скалярным произведением $ {\bf a}\cdot {\bf b}$ двух векторов $ {\bf a}$ и $ {\bf b}$ называется скаляр, равный произведению модулей векторов на косинус угла $ \gamma$ между векторами:

$\displaystyle c={\bf a}\cdot {\bf b}= \vert{\bf a}\vert\cdot \vert{\bf b}\vert\cos\gamma.$ (2.2)

Скалярное произведение векторов обозначается точкой $ (\cdot)$ и является скаляром, т.е. величиной, каждое значение которой может быть выражено числом. Скалярами, например, являются масса, температура, давление, длина и т.д.

Пусть в системе $ Oxyz$ векторы $ \textbf{a}$, $ \textbf{b}$ имеют компоненты (декартовы координаты) $ a_1,a_2,a_3$ и $ b_1,b_2,b_3$, причем $ a_1,b_1$ -- это проекции векторов на ось $ Ox$, $ a_2,b_2$ -- на ось $ Oy$, $ a_3,b_3$ -- на ось $ Oz$. Тогда модули векторов $ \bf a$ и $ {\bf b}$ равны

$\displaystyle a=\vert{\bf a}\vert=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}, \quad b=\vert{\bf b}\vert=\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}.$ (2.3)

Из свойств скалярного произведения выделим следующие:

$\displaystyle {\bf a}\cdot {\bf b}={\bf b}\cdot {\bf a},\quad {\bf a}\cdot ({\bf b}+{\bf c})={\bf a}\cdot {\bf b}+{\bf a}\cdot {\bf c},\quad (\beta{\bf a})\cdot {\bf b}=\beta({\bf a}\cdot {\bf b}),$ (2.4)

где $ \beta$ -- скаляр.

Из определения скалярного произведения следует, что оно равно произведению модуля одного вектора на величину проекции другого вектора на первый. Пусть $ \varphi_1,\varphi_2,\varphi_3$ -- углы между вектором и осями системы координат (единичными векторами $ \textbf{i}, \textbf{j}, \textbf{k}$), соответственно. Используя определение скалярного произведения, находим, что проекции вектора $ \bf a$ на оси системы координат $ Oxyz$ равны

$\displaystyle a_1=\vert{\bf a}\vert\cos\varphi_1,\quad a_2=\vert{\bf a}\vert\cos\varphi_2,\quad a_3=\vert{\bf a}\vert\cos\varphi_3. $

Косинусы углов между вектором и осями системы координат называются направляющими косинусами. Используя определение модуля вектора (2.3), получим, что сумма квадратов направляющих косинусов равна единице:

$\displaystyle \cos^2\varphi_1+\cos^2\varphi_2+\cos^2\varphi_3=1. $

Так как $ \vert{\bf i}\vert=\vert{\bf j}\vert=\vert{\bf k}\vert=1$, то проекции вектора на оси координат равны также:

$\displaystyle a_1={\bf a}\cdot {\bf i},\quad a_2={\bf a}\cdot {\bf j},\quad a_3={\bf a}\cdot {\bf k}. $

Если в формуле (2.2) $ \gamma=90^\circ$, то $ c=0$. Значит два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Используя это свойство, получим:

$\displaystyle \quad {\bf i}\cdot {\bf j}= {\bf j}\cdot {\bf k}= {\bf i}\cdot {\bf k}=0. $

Так как векторы $ \textbf{i}, \textbf{j}, \textbf{k}$ имеют единичную длину, то

$\displaystyle {\bf i}\cdot {\bf i}= {\bf j}\cdot {\bf j}= {\bf k}\cdot {\bf k}=1. $

Вектор $ \bf a$ может быть выражен через компоненты $ a_1,a_2,a_3$ следующим образом:

$\displaystyle {\bf a} =a_1{\bf i}+ a_2{\bf j}+a_3{\bf k}.$ (2.5)

В линейной алгебре выражение (2.5) называется разложением вектора $ \bf a$ по базисным векторам $ {\bf i},{\bf j},{\bf k}$. Тогда скалярное произведение в декартовых координатах имеет вид:

$\displaystyle {\bf a}\cdot {\bf b}= (a_1{\bf i}+ a_2{\bf j}+a_3{\bf k}) (b_1{\bf i}+ b_2{\bf j}+b_3{\bf k})=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.$ (2.6)

Так как в дальнейшем мы будем использовать матричные методы вычислений, то следует использовать более общее определение скалярного произведения. Определим матрицу $ C$ как таблицу

$\displaystyle C=\begin{pmatrix}c_{11} & c_{12} & \ldots & c_{1n}\\ c_{21} & c_{22} & \ldots & c_{2n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ c_{m1} & c_{m2} & \ldots & c_{mn}\end{pmatrix}$

скаляров $ c_{ij}, i=1,2,\ldots, m, j=1,2,\ldots, n$. Элементы $ c_{ij}$ называются элементами прямоугольной матрицы $ C$ размером $ m\times n$, $ m$ есть число строк, $ n$ -- число столбцов матрицы. Матрица размера $ m\times 1$ называется вектор-столбцом, а матрица размера $ 1\times m$ -- вектор-строкой; число $ m$ называется размерностью вектора.

Согласно определению, произведение матрицы $ A$ размера $ m\times n$ на матрицу $ B$ размера $ n\times k$ есть матрица $ C$ размера $ m\times k$, причем элементы матрицы $ C$ определяются формулой:

$\displaystyle c_{ij}=\sum\limits_{l=1}^n a_{il}b_{lj}. $

Элемент $ c_{ij}$ матрицы $ C$ является суммой произведений элементов $ i$-ой строки матрицы $ A$ на элементы $ j$-ого столбца матрицы $ B$. Число столбцов матрицы $ A$ должно равняться числу строк матрицы $ B$. Поэтому обратное произведение $ BA$ может не существовать. Если обе матрицы квадратные $ (m=n)$, то произведение $ BA$ определено, но, вообще говоря $ BA\neq AB$.

Исходя из этого определения получим, что скалярное произведение равно произведению вектор-строки на вектор-столбец, и (2.6) можно записать в виде:

$\displaystyle {\bf a}\cdot {\bf b}=\begin{pmatrix}a_1 & a_2 & a_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{pmatrix}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3. $

Обратное произведение $ {\bf b}\cdot {\bf a}$ (произведение вектор-столбца на вектор-строку) является матрицей. Чтобы свойства скалярного произведения не изменились, соотношения (2.4) следует переписать с учетом формул сложения и умножения матриц. В частности, если символом $ ^T$ обозначить операцию транспонирования, то $ (AB)^T=B^TA^T$. Напомним, что матрица $ C^T$ размера $ k\times n$ с элементами $ c_{ji}$ называется транспонированной по отношению к матрице $ C$ размера $ n\times k$ с элементами $ c_{ij}$, т.е. строки и столбцы меняются местами. Тогда с учетом определения операции транспонирования скалярное произведение записывается в виде

$\displaystyle {\bf a}\cdot {\bf b}=({\bf a}\cdot {\bf b})^T={\bf b}^T\cdot {\bf a}^T=\begin{pmatrix}b_1 & b_2 & b_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3. $

Вернемся к свойству (2.1). В более общем виде его можно записать в виде:

$\displaystyle \mathbf{a}=\Lambda\mathbf{b},$ (2.7)

где $ \Lambda $ -- матрица размером $ 3\times 3$:

$\displaystyle \Lambda=\begin{pmatrix}\Lambda_{11}&\Lambda_{12}&\Lambda_{13}\\ \Lambda_{21}&\Lambda_{22}&\Lambda_{23}\\ \Lambda_{31}&\Lambda_{32}&\Lambda_{33}\end{pmatrix},$ (2.8)

причем $ \Lambda_{11}=\Lambda_{22}=\Lambda_{33}=\lambda$, а остальные элементы матрицы $ \Lambda $ равны нулю, т.е. $ {\bf a}=\lambda I{\bf b}$, $ I$ -- единичная матрица, у которой диагональные элементы равны единице, остальные элементы равны нулю. В уравнении (2.7) векторы $ {\bf a},{\bf b}$ записаны в виде столбцов.

В декартовой системе координат $ Oxyz$ компоненты векторов $ \bf a$ и $ \bf b$ строго пропорциональны:

$\displaystyle a_1 =\lambda b_1,\quad a_2 =\lambda b_2,\quad a_3 =\lambda b_3.$ (2.9)

В общем виде, когда диагональные элементы $ \Lambda_{ii}, i=1,2,3$ не равны друг другу или недиагональные элементы $ \Lambda_{ij}, i\neq j$ отличны от нуля, зависимость компонент вектора $ \bf a$ от компонент вектора $ \bf b$ выражается вместо (2.9) системой уравнений:

$\displaystyle a_1$ $\displaystyle =\Lambda_{11} b_1+\Lambda_{12} b_2+\Lambda_{13} b_3,$    
$\displaystyle a_2$ $\displaystyle =\Lambda_{21} b_1+\Lambda_{22} b_2+\Lambda_{23} b_3,$ (10)
$\displaystyle a_3$ $\displaystyle =\Lambda_{31} b_1+\Lambda_{32} b_2+\Lambda_{33} b_3.$    

Это означает, что физический закон не может быть описан простым уравнением вида (2.1). Компоненты вектора $ \bf a$ зависят от компонент вектора $ \bf b$, но векторы уже не параллельны. Величина $ \Lambda $, входящая в физический закон (2.7) и описываемая матрицей (2.8), называется тензором2.1. Тем не менее в пространстве можно выделить направления, вдоль которых векторы остаются параллельными, т.е. вдоль них, по-прежнему, $ {\bf a}=\lambda{\bf b}$. Эти направления играют очень важную роль и в физике, и в математике. Перед определением этих направлений рассмотрим следующий пример.

Пусть модуль вектора $ {\bf b}$ равен 2, вектор лежит в плоскости $ Oxy$, и угол между вектором и осью $ Ox$ равен $ \varphi$. Тогда проекции $ b_1,b_2$ на оси $ Ox,Oy$ равны:

$\displaystyle \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix}\cos\varphi \\ \sin\varphi \end{pmatrix}. $

Пусть тензор $ \Lambda $ имеет вид:

$\displaystyle \Lambda = \begin{pmatrix} 2 & 0,3 \\ 0,3 & 1 \end{pmatrix}. $

Заметим, что тензор $ \Lambda $ является симметричным, т.е. $ \Lambda_{ij}=\Lambda_{ji}$.

Используя правила умножения матрицы на столбец, найдем компоненты вектора $ \textbf{a}$ по формуле:

$\displaystyle \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} =2 \begin{pmatrix}2 & 0,3 \\ 0,3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\varphi \\ \sin\varphi \end{pmatrix}$

для разных значений угла $ \varphi$. Результат вычислений показан на рис. 2.4.

Рис. 2.4. К определению тензора $ \Lambda $. Вектор $ {\bf a}$ (показан жирной линией) вычисляется как результат умножения тензора $ \Lambda $ на вектор $ {\bf b}$ (показан тонкой линией) для разных ориентаций $ {\bf b}$. Существуют два направления (под углом $ \sim 15^\circ $ и $ \sim 105^\circ $ к оси $ Ox$), вдоль которых векторы $ {\bf a}$ и $ {\bf b}$ параллельны.

Из рис. 2.4 видно, что при наклоне вектора $ {\bf b}$ под углами $ \sim 15^\circ $, $ \sim 105^\circ $, $ \sim 195^\circ$ и $ \sim 285^\circ$ к оси $ Ox$ вектор $ {\bf a}$ будет параллелен вектору $ {\bf b}$.

Определим теперь эти направления следующим образом.

Требование пропорциональности векторов, накладываемое физическим законом, приводит к уравнению:

$\displaystyle {\bf a}=\lambda{\bf b}=\lambda I{\bf b}=\Lambda{\bf b} $

или

$\displaystyle (\Lambda - \lambda I){\bf b}=0.$ (2.11)

Параметры $ \lambda$, входящие в (2.11), называются собственными значениями матрицы $ \Lambda $. Как мы покажем ниже, собственные значения характеризуют направления осей системы координат, в которых компоненты векторов $ \bf a$ и $ \bf b$ параллельны.

Очевидно, что система (2.11) имеет решение $ {\bf b}=0$, которое не дает нам никакой информации. Чтобы система (2.11) имела нетривиальное решение, детерминант матрицы $ M=\Lambda - \lambda I$ должен равняться нулю:

$\displaystyle \textrm{det}M=0.$ (2.12)

Уравнение (2.12) является полиномом относительно параметра $ \lambda$. Известно, что корнями полинома могут быть как действительные, так и комплексные числа. Но с физической точки зрения параметры $ \lambda$ должны быть действительными числами. Это условие накладывает определенные требования на величины недиагональных элементов матрицы $ \Lambda $. Проще всего это показать для матрицы $ \Lambda $ размером $ 2\times 2$, т.е. для двухмерных векторов $ \bf a$ и $ \bf b$. Так как детерминант матрицы $ M$ равен

$\displaystyle \textrm{det}M=(\Lambda_{11}-\lambda)(\Lambda_{22}-\lambda)-\Lambda_{12}\Lambda_{21}=0, $

то из условия реальности корней этого уравнения

$\displaystyle (\Lambda_{11}-\Lambda_{22})^2+4\Lambda_{12}\Lambda_{21}\geq 0 $

следует, что $ \Lambda_{12}=\Lambda_{21}$. Значит, матрица $ \Lambda $ должна быть симметричной $ (\Lambda_{ij}=\Lambda_{ji})$.

Если собственные значения найдены (обозначим их как $ \lambda_j$), то имеем:

$\displaystyle (\Lambda-\lambda_jI){\bf b}^{(j)}=0.$ (2.13)

Каждому собственному значению $ \lambda_j$ матрицы $ \Lambda $ соответствует собственный вектор $ {\bf b}^{(j)}$ матрицы. Для двухмерных векторов легко вычислить, что

\begin{displaymath} \begin{cases}&(\Lambda_{11}-\lambda_1)b_1^{(1)}+\Lambda_{12}b_2^{(1)}=0,\\ &\Lambda_{12}b_1^{(1)}+(\Lambda_{22}-\lambda_1)b_2^{(1)}=0, \end{cases}\qquad \begin{cases}&(\Lambda_{11}-\lambda_2)b_1^{(2)}+\Lambda_{12}b_2^{(2)}=0,\\ &\Lambda_{12}b_1^{(2)}+(\Lambda_{22}-\lambda_2)b_2^{(2)}=0. \end{cases}\end{displaymath}

Так как $ \textrm{det}M=0$, то, как говорят, строки матрицы $ M$ линейно зависимы. Поэтому компоненты собственных векторов можно найти лишь с точностью до произвольной постоянной. Из первых уравнений этих систем получим:

$\displaystyle \frac{b_1^{(1)}}{b_2^{(1)}}=-\frac{\Lambda_{12}}{\Lambda_{11}-\lambda_1},\qquad \frac{b_1^{(2)}}{b_2^{(2)}}=-\frac{\Lambda_{12}}{\Lambda_{11}-\lambda_2}. $

Если собственные значения различны, то собственные векторы взаимно перпендикулярны. В самом деле, собственные векторы с номерами $ m$ и $ n$ удовлетворяют уравнению (2.13), т.е.:

$\displaystyle \Lambda{\bf b}^{(m)}$ $\displaystyle =\lambda_m{\bf b}^{(m)},$    
$\displaystyle \Lambda{\bf b}^{(n)}$ $\displaystyle =\lambda_n{\bf b}^{(n)}.$    

Умножим первое уравнение скалярно на вектор-строку $ ({\bf b}^{(n)})^T$, а второе -- на вектор-строку $ ({\bf b}^{(m)})^T$, и затем вычтем одно из другого. Получим

$\displaystyle ({\bf b}^{(n)})^T \Lambda {\bf b}^{(m)}-({\bf b}^{(m)})^T \Lambda {\bf b}^{(n)}= ({\bf b}^{(n)})^T \lambda_m {\bf b}^{(m)}- ({\bf b}^{(m)})^T \lambda_n {\bf b}^{(n)}.$ (2.14)

Легко проверить, что если матрица $ \Lambda $ симметрична, то левая часть (2.14) равна нулю. Используя определения транспонирования и свойства скалярного произведения, получим

$\displaystyle ({\bf b}^{(n)})^T \lambda_m {\bf b}^{(m)}- ({\bf b}^{(m)})^T \lambda_n {\bf b}^{(n)}= \lambda_m\Bigl(({\bf b}^{(m)})^T\cdot{\bf b}^{(n)}\Bigr)^T-\lambda_n({\bf b}^{(m)})^T\cdot {\bf b}^{(n)}. $

Но

$\displaystyle \Bigl(({\bf b}^{(m)})^T\cdot{\bf b}^{(n)}\Bigr)^T=({\bf b}^{(m)})^T\cdot{\bf b}^{(n)}, $

(число равно самому себе) и в результате имеем

$\displaystyle (\lambda_m-\lambda_n)({\bf b}^{(m)})^T\cdot{\bf b}^{(n)}=0.$ (2.15)

Так как $ \lambda_m\neq\lambda_n$, то из определения скалярного произведения следует перпендикулярность собственных векторов $ {\bf b}^{(m)},{\bf b}^{(n)}$.

В трехмерном пространстве три собственных вектора определяют три взаимно-перпендикулярных направления, которые можно выбрать в качестве осей декартовой системы координат. Они называются главными осями тензора $ \Lambda $. Вдоль главных осей векторы $ \bf a$ и $ \bf b$ параллельны. Диагональные элементы тензора в системе главных осей называются главными моментами тензора, и применительно к каждой конкретной задаче имеют особое значение.

На рис. 2.4 главные оси тензора $ \Lambda $ показаны пунктирной линией. В системе главных осей недиагональные компоненты тензора равны нулю. Это легко показать, используя пример, рассмотренный выше. Собственные значения матрицы $ \Lambda $ равны $ \lambda_1=2,08, \lambda_2=0,92$. Компоненты собственных векторов могут быть найдены с точностью до произвольной постоянной: $ b_1^{(1)}=3,75b_2^{(1)}$, $ b_1^{(2)}=-0,28b_2^{(2)}$. Отсюда получим, что угол $ \varphi$ между вектором $ {\bf b}^{(1)}$ и осью $ Ox$ равен $ 14\hbox{$^{\circ}$\kern-.15cm{,}\kern.04cm}9$, а между вектором $ {\bf b}^{(2)}$ и осью $ Ox$ равен $ 104\hbox{$^{\circ}$\kern-.15cm{,}\kern.04cm}9$. Определим теперь оси новой системы координат $ O\xi$, $ O\eta$, направив их вдоль векторов $ {\bf b}^{(1)}$, $ {\bf b}^{(2)}$, соответственно. Преобразование от координат $ \xi,\eta$ к координатам $ x,y$, как будет показано ниже, можно записать в виде матричного уравнения:

$\displaystyle \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} = R_3(-\varphi) \begin{pmatrix}\xi \\ \eta \end{pmatrix}, $

где $ R_3(-\varphi)$ - матрица вращения (см. раздел 3.5). Для рассматриваемого примера матрица $ R_3(-\varphi)$ равна:

$\displaystyle R_3(-\varphi)= \begin{pmatrix} 0,966 & -0,258 \\ 0,258 & 0,966 \end{pmatrix}. $

Формула преобразования компонент тензора $ \Lambda $ при переходе от координат $ x,y$ к $ \xi,\eta$ имеет вид:

$\displaystyle \Lambda'_{in}=\sum_{k=1}^2\sum_{j=1}^2\Lambda_{kj}R_{ki}R_{jn}, $

где $ R_{ki}$ -- компоненты матрицы $ R_3(-\varphi)$. Выполнив суммирование, найдем компоненты тензора $ \Lambda'$ в системе главных осей:

$\displaystyle \Lambda'= \begin{pmatrix} 1,933 & 0,000 \\ 0,000 & 0,916 \end{pmatrix}. $

В главе 4 мы рассмотрим системы координат, связанные с Землей. Особое значение имеет система координат, определяемая главными моментами инерции Земли или осями фигуры Земли.

Условие равенства нулю скалярного произведения определяет перпендикулярность векторов, но не зависит от их взаимной ориентации. Так, если единичные векторы $ {\bf i},{\bf j}$ декартовой системы координат лежат в плоскости страницы, то третий вектор $ \bf k$, перпендикулярный и $ \bf i$, и $ \bf j$, может быть направлен либо вверх, либо вниз. В зависимости от направления $ \bf k$ система координат называется левой или правой.

Выбрать ту или иную систему координат можно с помощью векторного произведения векторов.

Определение 2.2.2   Векторное произведение $ {\bf a}\times {\bf b}$ двух векторов есть вектор, перпендикулярный и $ {\bf a}$, и $ {\bf b}$, модуль которого равен

$\displaystyle \vert{\bf a}\times {\bf b}\vert= \vert{\bf a}\vert\cdot \vert{\bf b}\vert\sin\gamma,$ (2.16)

а его направление совпадает с направлением движения правого винта при его повороте от $ {\bf a}$ к $ {\bf b}$ на угол $ \gamma$, меньший $ \pi$.

Если $ \sin\gamma =0$, то векторы $ {\bf a}$ и $ {\bf b}$ параллельны (или антипараллельны). В прямоугольной системе координат получим:

$\displaystyle {\bf i}\times {\bf i}= {\bf j}\times {\bf j}= {\bf k}\times {\bf k}=0,\quad {\bf i}\times {\bf j}={\bf k},\quad {\bf j}\times {\bf k}={\bf i},\quad {\bf k}\times {\bf i}={\bf j}. $

Компоненты вектора, равного векторному произведению $ {\bf a}\times {\bf b}$, в декартовой системе координат можно найти, вычислив следующий определитель:

$\displaystyle {\bf a}\times {\bf b}= \begin{vmatrix}{\bf i}& {\bf j}& {\bf k}\\ a_1& a_2& a_3 \\ b_1& b_2& b_3 \end{vmatrix} = (a_2b_3-a_3b_2){\bf i}+(a_3b_1-a_1b_3){\bf j}+(a_1b_2-a_2b_1){\bf k}.$ (2.17)

Непосредственной подстановкой можно убедиться, что $ {\bf a}\times {\bf b}= -{\bf b}\times {\bf a}$. Из других свойств векторного произведения выделим следующие:

$\displaystyle {\bf a}\times ({\bf b}+{\bf c})={\bf a}\times {\bf b}+{\bf a}\times {\bf c}, (\beta{\bf a})\times {\bf b}=\beta({\bf a}\times {\bf b}), $

$ \beta$ -- скаляр. Особо выделим формулу двойного векторного произведения:

$\displaystyle {\bf a}\times ({\bf b}\times {\bf c})= {\bf b}({\bf a}\cdot {\bf c})-{\bf c}({\bf a}\cdot {\bf b}),$ (2.18)

которая часто будет использоваться в дальнейшем изложении курса.

С помощью определения векторного произведения можно однозначно определить ориентацию базисной тройки векторов. Мы будем использовать только правые системы координат (исключением является горизонтальная система).

Вернемся теперь к закону (2.7):

$\displaystyle {\bf a}=\Lambda{\bf b}, $

причем положим, что матрица $ \Lambda $ равна:

$\displaystyle \Lambda=\begin{pmatrix}0 & -c_3 & c_2 \\ c_3 & 0 & -c_1 \\ -c_2 & c_1 & 0 \end{pmatrix}.$ (2.19)

Тогда

$\displaystyle a_1=c_2b_3-c_3b_2,\quad a_2=-c_1b_3+c_3b_1,\quad a_3=c_1b_2-c_2b_1. $

Нетрудно проверить, что умножение матрицы $ \Lambda $ (2.19) на вектор $ \bf b$ эквивалентно векторному произведению: $ {\bf a}={\bf c}\times{\bf b}$, где вектор $ \bf c$ имеет компоненты $ (c_1,c_2,c_3)$.

Так как в (2.19) $ \Lambda_{ij}=-\Lambda_{ji}$, то матрица $ \Lambda $ называется антисимметричной. Соответственно, тензор, изображаемый матрицей (2.19), называется антисимметричным.

Суммируем вышесказанное. Определение системы координат означает выбор тройки базисных векторов, которые: описывают 1) ориентацию системы в пространстве, а также позволяют 2) однозначно определить положение объекта относительно осей системы.

Можно определить разные системы координат в зависимости от решаемой задачи. Выбор в качестве системы координат декартовой системы определяется следующими свойствами этой системы: оси, задаваемые тройкой базисных векторов $ {\bf i},{\bf j},{\bf k}$, являются взаимно-перпендикулярными, направление осей неизменно для любой точки пространства, оси являются прямыми линиями.

В декартовой системе координат закон пропорциональности между двумя векторами, записанный в виде (2.7): $ {\bf a}=\Lambda{\bf b}$, упрощается, так как тензор $ \Lambda $ является квадратной матрицей с особыми свойствами. Если матрица $ \Lambda $ симметрична, то существуют выделенные в пространстве направления, в которых векторы $ \bf a$ и $ \bf b$ параллельны. Подчеркнем, что это -- математическая интерпретация закона (2.7). С физической точки зрения и векторы $ \bf a$, $ \bf b$, и тензор $ \Lambda $ отражают вполне определенные свойства физического тела, и, следовательно, существование главных осей тензора отражает физические характеристики тела.

Если матрица $ \Lambda $ антисимметрична, то это означает, что векторы $ \bf a$ и $ \bf b$ всегда перпендикулярны, и с математической точки зрения действие такого тензора эквивалентно векторному произведению.


<< 2.1. Основные понятия | Оглавление | 2.3. Сферическая система координат >>

Rambler's Top100 Яндекс цитирования