Астронет > Сферическая астрономия

Астронет: В. Е. Жаров/ГАИШ Сферическая астрономия
http://variable-stars.ru/db/msg/1190817/node23.html

<< 3.10.1. Законы Кеплера | Оглавление | 4. Системы координат на >>

3.10.2. Параметры и аномалии кеплеровской орбиты

При рассмотрении движения планет можно ограничиться только случаем эллиптического движения. Орбита планеты в этом случае характеризуется шестью параметрами.

Определим систему координат $Oxyz$ , связанную с орбитой планеты. Точка орбиты, ближайшая к Солнцу, называется перигелием, а наиболее удаленная от Солнца -- афелием. Ось $Ox$ направим в перигелий, ось $Oz$ -- перпендикулярно плоскости орбиты. Точки пересечения плоскости орбиты планеты и эклиптики называются узлами орбиты, причем восходящим узлом называется тот, который планета проходит, переходя из области отрицательных широт в область положительных широт. Графическое представление и параметры кеплеровской орбиты показаны на рис. 3.14.

Рис. 3.14. Определение параметров эллиптической орбиты

Ориентация орбиты в пространстве (ориентация системы координат $Oxyz$ относительно гелиоцентрической системы $OXYZ$ ) описывается тремя углами. Угол между направлением на точку весеннего равноденствия и точку восходящего узла называется долготой восходящего узла и обозначается $\Omega$ . Двугранный угол между плоскостями орбиты и эклиптики называется наклонением орбиты и обозначается как $i$ . Третьим углом, который обозначается $\omega$ и называется аргументом перигелия, является угол между направлениями на восходящий узел и перигелий. Так как угол $\omega$ постоянен, то это означает неизменность положения оси $Ox$ и в плоскости орбиты, и в пространстве.

Следующие два параметра: большая полуось $a$ и эксцентриситет $e$ определяют размеры и форму орбиты . И, наконец, положение тела на орбите в начальный момент определяется эпохой прохождения через перигелий -- $T_0$ .

Мгновенное положение планеты на момент $t$ определяется углом $v$ , который называется истинной аномалией (рис. 3.15).

Рис. 3.15. Определение аномалий кеплеровской орбиты

Помимо истинной аномалии в небесной механике используются эксцентрическая $E$ и средняя $M$ аномалии. Построим окружность радиуса $a$ , равным большой полуоси эллипса, с центром, который совпадает с центром эллипса $C$ . Опустим перпендикуляр $PB$ на ось $Ox$ ; тогда его продолжение пересечет окружность в точке $P'$ . Угол $\angle P'CO=E$ называется эксцентрической аномалией. Угол, равный средней аномалии, определяется средним движением и равен

$\displaystyle M(t)=n(t-T_0).$

(3.55)

Часто в небесной механике и астрометрии используется величина, определяемая формулой

$\displaystyle L=\omega+M,$

(3.56)

и называемая средней долготой.

Так как движение планеты при кеплеровском движении происходит в плоскости, то положение планеты определяется проекциями радиус-вектора $\mathbf{r}$ , которые равны $x,y$ . Проекция $\mathbf{r}$ на ось $Oz$ равна нулю: $\mathbf{r}=(x,y,0)$ . Из рис. 3.15 очевидно, что

$\displaystyle \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}r\cos v \\ r\sin v \end{pmatrix}.$

(3.57)

Также, используя рис. 3.15, находим, что

$\displaystyle CB=CO+OB, \quad a\cos E=ae+r\cos v.$

Далее, с одной стороны,

$\displaystyle \frac{P'B}{PB}=\frac{a\sin E}{r\sin v},$

с другой стороны, используя свойства эллипса, имеем

$\displaystyle \frac{P'B}{PB}=\frac{a}{b}=\frac{1}{\sqrt{1-e^2}}.$

Следовательно, соотношение (3.55) можно переписать в виде:

$\displaystyle \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}r\cos v \\ r\sin v \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}a(\cos E-e) \\ a\sqrt{1-e^2}\sin E \end{pmatrix}.$

(3.58)

Так как $r=\sqrt{x^2+y^2}$ , из (3.56) и (3.46) находим:

$\displaystyle r=a(1-e\cos E)=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos v}.$

(3.59)

Из выражений (3.56), (3.57) и формулы тангенса половинного угла получим выражение, связывающее истинную и эксцентрическую аномалии:

$\displaystyle \textrm{tg}\,\frac{v}{2}=\frac{\sin v}{1+\cos v}=\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\,\textrm{tg}\,\frac{E}{2}.$

(3.60)

Углы $v$ и $E$ зависят от времени. Дифференцируя уравнение (3.58) по времени, найдем, что

$\displaystyle \sec^2\frac{v}{2}dv=\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\,\sec^2\frac{E}{2}\,dE.$

После несложных преобразований выразим $dv$ через $dE$ :

$\displaystyle dv=\frac{\sqrt{1-e^2}\,dE}{1-e\cos E}.$

(3.61)

Теперь вернемся к уравнению (3.42). Так как $\omega=\textrm{const}$ , то уравнение (3.42) можно переписать в виде:

$\displaystyle r^2\overset{.}{v}=h.$

(3.62)

Заменяя $r$ выражением (3.57), $dv$ -- на (3.59) и $h$ на $\sqrt{\mu a(1-e^2)}$ , получим:

$\displaystyle (1-e\cos E)dE=\sqrt{\frac{\mu}{a^3}}\,dt.$

Интегрируя

$\displaystyle \int\limits_0^E(1-e\cos E)dE=\int\limits_0^tndt,$

получим трансцендентное уравнение, связывающее эксцентрическую и среднюю аномалии, которое называется уравнением Кеплера:

$\displaystyle E-e\sin E=n(t-T_0)=M,$

(3.63)

где $T_0$ есть постоянная интегрирования -- момент прохождения через перигелий.

Найдем теперь вектор скорости $\mathbf{V}=\overset{.}{\mathbf{r}}=d{\mathbf{r}}/dt$ . Заметим, что $dE/dt=na/r$ . Вектор скорости лежит в плоскости орбиты, следовательно, его проекция на ось $Oz$ равна нулю. Из (3.56) находим проекции $\mathbf{V}$ :

$\displaystyle \begin{pmatrix}\overset{.}{x} \\ \overset{.}{y} \end{pmatrix}=\frac{na^2}{r} \begin{pmatrix}-\sin E \\ \sqrt{1-e^2}\cos E \end{pmatrix}$

(3.64)

и квадрат скорости

$\displaystyle V^2=\frac{n^2a^4}{r^2}(1-e^2\cos^2E)=\mu\Bigl(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\Bigr).$

(3.65)

Дифференцируя по времени вектор скорости (3.62) и учитывая, что $\overset{.}{r}=ae\sin E\overset{.}{E}$ , найдем вектор ускорения тела при движении по кеплеровской орбите, который также лежит в плоскости орбиты:

$\displaystyle \begin{pmatrix}\overset{..}{x} \\ \overset{..}{y} \end{pmatrix}=\frac{n^2a^4}{r^3} \begin{pmatrix}e-\cos E \\ -\sqrt{1-e^2}\sin E \end{pmatrix}.$

(3.66)

Для вычисления прямоугольных координат и проекций скорости тела в гелиоцентрической системе координат достаточно найти матрицу поворота $S$ системы $Oxyz$ . Если матрица $S$ известна, то преобразование записывается в виде матричных уравнений:

$\displaystyle \mathbf{R}= \begin{pmatrix}X \\ Y \\ Z \end{pmatrix}=S\mathbf{r}, \quad \overset{.}{\mathbf{R}}= \begin{pmatrix}\overset{.}{X} \\ \overset{.}{Y} \\ \overset{.}{Z} \end{pmatrix}= S\overset{.}{\mathbf{r}}.$

(3.67)

Матрица $S$ вычисляется следующим образом (см. рис. 3.14): сначала выполняем поворот относительно оси $Oz$ на угол $-\omega$ до совмещения оси $Ox$ с линией узлов, затем -- поворот относительно линии узлов на угол $-i$ и, наконец, поворот относительно оси $OZ$ на угол $-\Omega$ :

$\displaystyle S$	$\displaystyle =R_3(-\Omega)R_1(-i)R_3(-\omega)=$
	$\displaystyle =\begin{pmatrix}\cos\Omega\cos\omega- & -\cos\Omega\sin\omega- & \sin\Omega\sin i\\ -\sin\Omega\sin\omega\cos i & -\sin\Omega\cos\omega\cos i & \\ & & \\ \sin\Omega\cos\omega+ & -\sin\Omega\sin\omega+ &-\cos\Omega\sin i\\ +\cos\Omega\sin\omega\cos i & +\cos\Omega\cos\omega\cos i & \\ & & \\ \sin\omega\sin i & \cos\omega\sin i & \cos i \end{pmatrix}.$	(68)

Если элементы орбиты тела известны, то его положение и скорость в эклиптической системе координат в любой момент времени $t$ определяются следующей последовательностью вычислений: 1) сначала находится средняя аномалия $M(t)$ по формуле (3.53); 2) решая уравнение Кеплера (3.61), находим эксцентрическую аномалию $E(t)$ ; 3) зная $E(t)$ , получим радиус-вектор тела $r(t)$ (3.57) и его проекции $x,y$ в орбитальной системе координат (3.56); 4) и, используя уравнения (3.65) и матрицу (3.66), получим прямоугольные эклиптические координаты и проекции скорости тела.

Если эксцентриситет орбиты мал, то удобным методом решения уравнения Кеплера является метод итераций. На первом шаге предполагается, что $E_1=M$ . Тогда процесс итераций

$\displaystyle E_2=M+e\sin E_1, \quad E_3=M+e\sin E_2\ \textrm{и т.д.}$

можно остановить, когда разность $\vert E_i-E_{i-1}\vert$ станет меньше некоторого заранее заданного числа. Ограничимся сейчас тремя итерациями и выразим в явном виде $E$ как функцию $M$ . Имеем

$\displaystyle E=E_3=M+e\sin(M+e\sin M).$

Считая, что $e\ll 1$ , получим с точностью до $e^2$ ряд

$\displaystyle E=M+e\sin M+\frac{e^2}{2}\sin 2M +\ldots .$

(3.69)

Выразим теперь в виде ряда по степеням экцентриситета $e$ истинную аномалию $v$ как функцию средней аномалии $M$ . Для этого умножим сначала первое уравнение (3.56) на $-\sin E$ , второе -- на $\cos E$ и сложим результат. После приведения подобных членов получим:

$\displaystyle r\sin(v-E)=a\sin E\cos E(\sqrt{1-e^2}-1)+ae\sin E.$

Разлагая $\sqrt{1-e^2}$ в ряд и деля обе части уравнения на $r$ , находим, что

$\displaystyle \sin(v-E)=\frac{e\sin E-\frac{e^2}{2}\sin E\cos E}{1-e\cos E}.$

При $e\ll 1$ можно разложить знаменатель в ряд по степеням $e$ , затем (так как $v-E$ равны арксинусу малого угла, пропорционального $e$ ,) разложить арксинус. Сохраняя члены до $e^2$ , получим:

$\displaystyle v =E+e\sin E+\frac{e^2}{4}\sin 2E +\ldots .$

(3.70)

Выразим теперь $\sin E, \sin 2E$ через $M$ , используя ряд (3.67). Имеем

$\displaystyle \sin E=\sin(M+e\sin M+\frac{e^2}{2}\sin 2M) \approx \sin M\Bigl[1-\frac{(e\sin M)^2}{2}\Bigr]+\frac{e}{2}\sin 2M+\frac{e^2}{2}\cos M\sin 2M.$

После простых тригонометрических преобразований находим, что

$\displaystyle \sin E\approx\sin M\Bigl(1-\frac{e^2}{8}\Bigr)+\frac{e}{2}\sin 2M+ \frac{3e^2}{8}\sin 3M.$

(3.71)

Аналогично находим, что

$\displaystyle \sin 2E=\sin 2M+e(-\sin M +\sin 3M).$

Подставив в ряд (3.68) разложения (3.67), $\sin E$ , $\sin 2E$ как функции $M$ , после приведения подобных членов получим уравнение, называемое уравнением центра:

$\displaystyle v =M+2e\sin M+\frac{5e^2}{4}\sin 2M +\ldots .$

(3.72)

В заключение этого раздела рассмотрим движение Земли по орбите.
1) Центр тяжести Земли движется относительно центра масс системы Земля+Луна. Последний находится на линии, соединяющей центры масс Земли и Луны, на расстоянии, равном $rM_{\leftmoon}/(M_\oplus+ M_{\leftmoon})\approx 4500$ км от центра тяжести Земли, где $r$ -- расстояние между Землей и Луной, массы которых равны $M_\oplus, M_{\leftmoon}$ .
2) Центр тяжести системы Земля+Луна движется вокруг Солнца по орбите, элементы которой не являются постоянными, а являются функциями времени. Орбита близка к круговой; эксцентриситет орбиты равен $\sim 0,0167$ . Орбита центра тяжести системы Земля+Луна является возмущенной вследствие притяжения Земли, Луны и Солнца планетами. Из-за возмущений движение центра тяжести системы Земля+Луна отличается от кеплеровского движения, однако это отличие не превышает в долготе $\pm 40\hbox{$^{\prime\prime}$}$ , в широте $\pm 0\hbox{$^{\prime\prime}$\kern-.15cm{,}\kern.04cm} 8$ .
3) Центр Солнца движется относительно центра тяжести солнечной системы -- барицентра. Движение центра Солнца относительно барицентра солнечной системы определяется, главным образом, двумя наиболее массивными планетами -- Юпитером и Сатурном и представляется двумя почти круговыми движениями с периодами обращения этих планет ( $\sim 12$ и $\sim29,5$ лет). Радиус круговых движений центра Солнца относительно барицентра равен примерно $5,2\ \textrm{а.е.}/1047\approx 0,0050\ \textrm{а.е.}\approx 0,75\cdot 10^6\ \textrm{км}$ для Юпитера и $9,54\ \textrm{а.е.}/3498\approx 0,0027\ \textrm{а.е.}\approx 0,41\cdot 10^6\ \textrm{км}$ для Сатурна ( $1047$ и $3498$ -- отношения массы Солнца к массам Юпитера и Сатурна) (рис. 3.16).

Рис. 3.16. Движение Солнца относительно барицентра солнечной системы в эклиптической системе координат на интервале времени 1900 -- 2000 гг. Промежуток между точками равен одному году.

Солнце удаляется от центра масс солнечной системы на величину, не превышающую двух радиусов Солнца.

Орбитальные скорости движения Юпитера и Сатурна равны примерно 13 км/с и 9,5 км/с, соответственно компоненты скорости движения центра Солнца, вызываемые этими планетами, составляют $13/1047\approx 0,012\ \textrm{км/с}$ , $9,5/3498\approx 0,003\ \textrm{км/с}$ .

<< 3.10.1. Законы Кеплера | Оглавление | 4. Системы координат на >>