Астронет > Сферическая астрономия

Астронет: В. Е. Жаров/ГАИШ Сферическая астрономия
http://www.astronet.ru/db/msg/1190817/node22.html

<< 3.10. Основы небесной механики | Оглавление | 3.10.2. Параметры и аномалии >>

3.10.1. Законы Кеплера

Для определения системы координат необходимо сначала определить плоскость, затем в плоскости определить направление на выделенную точку. Тогда с единичным вектором $\mathbf{i}$ , направленным в эту точку, можно связать ось $x$ , с перпендикуляром к плоскости -- единичный вектор $\mathbf{k}$ и ось $z$ ; единичный вектор $\mathbf{j}$ (ось $y$ системы координат) определяется на основе векторного произведения так, чтобы система осей была правой ( ${\mathbf{j}}={\mathbf{k}}\times {\mathbf{i}}$ ).

Рассмотрим вопрос, как в пространстве определить эту плоскость и оси, лежащие в плоскости.

В основе динамического метода определения системы координат лежат уравнения динамики -- и в первую очередь закон притяжения Ньютона. Согласно этому закону два тела с массами $m_1$ и $m_2$ притягиваются с силой $Gm_1m_2/r^2$ , где $r$ -- расстояние между телами. Коэффициент $G=6,673\cdot 10^{-11}\ \textrm{м}^3\textrm{кг}^{-1}\textrm{с}^{-2}$ называется постоянной тяготения. Если тела расположены в точках $P_1$ и $P_2$ с декартовыми координатами $x_1,y_1,z_1$ и $x_2,y_2,z_2$ , соответственно, то движение тела с массой $m_2$ описывается уравнениями:

$\displaystyle m_2{\overset{..}{x}}_2$	$\displaystyle =-Gm_1m_2\frac{x_2-x_1}{r^3},$
$\displaystyle m_2{\overset{..}{y}}_2$	$\displaystyle =-Gm_1m_2\frac{y_2-y_1}{r^3},$	(30)
$\displaystyle m_2{\overset{..}{z}}_2$	$\displaystyle =-Gm_1m_2\frac{z_2-z_1}{r^3};$

точками обозначено дифференцирование по времени: $\overset{..}{x}_2=d^2x_2/dt^2$ и т.д. Под действием той же силы, но противоположного знака, тело с массой $m_1$ движется согласно уравнениям:

$\displaystyle m_1{\overset{..}{x}}_1$	$\displaystyle =Gm_1m_2\frac{x_2-x_1}{r^3},$
$\displaystyle m_1{\overset{..}{y}}_1$	$\displaystyle =Gm_1m_2\frac{y_2-y_1}{r^3},$	(31)
$\displaystyle m_1{\overset{..}{z}}_1$	$\displaystyle =Gm_1m_2\frac{z_2-z_1}{r^3}.$

Введем обозначения: $\xi=x_2-x_1$ , $\eta=y_2-y_1$ , $\zeta=z_2-z_1$ , $\mu=G(m_1+m_2)$ . Вычитая из уравнений (3.28) уравнения (3.29), получим

$\displaystyle {\overset{..}{\xi}} +\mu\frac{\xi}{r^3}$	$\displaystyle =0,$	(32)
$\displaystyle {\overset{..}{\eta}} +\mu\frac{\eta}{r^3}$	$\displaystyle =0,$	(33)
$\displaystyle {\overset{..}{\zeta}} +\mu\frac{\zeta}{r^3}$	$\displaystyle =0.$	(34)

В уравнения (3.30-3.32) входят лишь относительные координаты двух точек, т.е. уравнения движения не зависят от положения начала системы координат. Умножая уравнение (3.30) на $\eta$ , а уравнение (3.31) на $\xi$ , и затем вычитая из первого уравнения второе, получим

$\displaystyle \eta {\overset{..}{\xi}} - \xi{\overset{..}{\eta}}=0$

или

$\displaystyle \frac{d}{dt}(\eta\overset{.}{\xi}-\xi\overset{.}{\eta})=0.$

(3.35)

Из (3.33) следует, что величина в скобках не зависит от времени, т.е.

$\displaystyle \eta\overset{.}{\xi}-\xi\overset{.}{\eta}=A=\textrm{const}.$

(3.36)

Аналогичным образом из уравнений (3.31),(3.32) получим выражение:

$\displaystyle \zeta\overset{.}{\eta}-\overset{.}{\zeta} \eta=B=\textrm{const},$

(3.37)

а из (3.30) и (3.32):

$\displaystyle -\zeta\overset{.}{\xi}+\overset{.}{\zeta} \xi=C=\textrm{const}.$

(3.38)

Уравнения (3.34-3.36) называются интегралами площадей, а постоянные $A,B,C$ -- постоянными площадей.

Умножая уравнение (3.34) на $\zeta$ , (3.35) -- на $\xi$ , (3.36) -- на $\eta$ и складывая, находим, что

$\displaystyle A\zeta +B\xi +C\eta=0.$

(3.39)

Уравнение (3.37) -- это уравнение плоскости. Значит, два тела, движущиеся в пространстве под действием силы притяжения, всегда находятся в одной и той же плоскости; траектория тела 2 относительно тела 1 является плоской кривой и называется орбитой. Другими словами орбита одного тела относительно другого лежит в плоскости.

Расположим оси $Ox,Oy$ системы координат, которую мы хотим определить в плоскости орбиты, а ось $Oz$ будет перпендикулярна ей. Точку $O$ (начало системы координат) совместим с телом с массой $m_1$ . Тогда уравнения движения (3.30-3.32) можно записать в виде:

$\displaystyle \overset{..}{\mathbf{r}}+\mu\frac{\mathbf{r}}{r^3}=0,$

(3.40)

где $\mathbf{r}$ -- вектор, направленный от тела 1 к телу 2. Умножая векторно (3.38) на $\mathbf{r}$ слева, получим

$\displaystyle \mathbf{r}\times \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}=0,$

так как $\mathbf{r}\times\mathbf{r}=0$ . Интегрируя, мы получим, что

$\displaystyle \mathbf{r}\times\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\mathbf{h},$

(3.41)

где $\mathbf{h}$ --не зависящий от времени вектор. Вектор $\mathbf{h}$ называется вектором углового момента, и согласно определению векторного произведения он перпендикулярен плоскости орбиты, в которой лежат и радиус-вектор $\mathbf{r}$ , и вектор скорости $d\mathbf{r}/dt$ . Уравнение (3.39) эквивалентно уравнению (3.37): постоянные $A,B,C$ представляют собой проекции $\mathbf{h}$ на оси инерциальной системы координат.

Умножим теперь уравнения (3.30-3.32) соответственно на $2\overset{.}{\xi}$ , $2\overset{.}{\eta}$ , $2\overset{.}{\zeta}$ и сложим. Координаты $\xi,\eta,\zeta$ являются координатами тела 2 относительно тела 1. В результате получим следующее уравнение:

$\displaystyle 2\overset{.}{\xi}{\overset{..}{\xi}}+2\overset{.}{\eta}{\overset{..}{\eta}}+2\overset{.}{\zeta}{\overset{..}{\zeta}} = -\frac{2\mu}{r^3}(\xi\overset{.}{\xi}+\eta\overset{.}{\eta}+\zeta\overset{.}{\zeta}).$

Так как $r^2=\xi^2+\eta^2+\zeta^2$ , то имеем

$\displaystyle \xi\overset{.}{\xi}+\eta\overset{.}{\eta}+\zeta\overset{.}{\zeta} = r{\overset{.}{r}},$

вследствие чего предыдущее уравнение примет вид

$\displaystyle \frac{d}{dt}({\overset{.}{\xi}}^2+{\overset{.}{\eta}}^2+{\overset{.}{\zeta}}^2) = -\frac{2\mu}{r^2}{\overset{.}{r}}= \frac{d}{dt}\left(\frac{2\mu}{r}\right).$

Интегрирование уравнения дает:

$\displaystyle V^2= \frac{2\mu}{r}+W,$

(3.42)

где $V^2={\overset{.}{\xi}}^2+{\overset{.}{\eta}}^2+{\overset{.}{\zeta}}^2$ -- квадрат скорости тела 2, движущегося относительно тела 1. Произвольная постоянная $W$ в уравнении (3.40) называется постоянной энергии. Она может быть величиной равной нулю, положительной или отрицательной. В небесной механике доказывается, что от величины постоянной энергии зависит тип орбиты тела: при $W\lt 0$ орбита есть эллипс, при $W=0$ -- парабола и при $W\gt 0$ -- гипербола.

Так как орбита лежит в плоскости, и положение тела 2 относительно тела 1 определяется лишь координатами $x,y$ , то удобно для дальнейших вычислений ввести полярные координаты $r,\theta$ (рис. 3.12), так что

$\displaystyle x$	$\displaystyle =r\cos\theta,$
$\displaystyle y$	$\displaystyle =r\sin\theta.$

Рис. 3.12. Определение полярных координат

В полярной системе координат введем два единичных вектора $\mathbf{i}_r,\mathbf{i}_{\theta}$ , причем первый из них направлен вдоль $\mathbf{r}$ , а второй--перпендикулярен ему и направлен в сторону увеличения угла $\theta$ . Тогда

$\displaystyle \overset{.}{x}$	$\displaystyle =\frac{dx}{dt}=\overset{.}{r}\cos\theta -r\sin\theta \overset{.}{\theta},$
$\displaystyle \overset{.}{y}$	$\displaystyle =\frac{dy}{dt}=\overset{.}{r}\sin\theta +r\cos\theta \overset{.}{\theta}$

или в векторном виде

$\displaystyle \frac{d\mathbf{r}}{dt}=\mathbf{i}_r\overset{.}{r} +\mathbf{i}_{\theta}r\overset{.}{\theta}.$

(3.43)

Следовательно, в полярных координатах уравнение углового момента (3.39) имеет вид:

$\displaystyle \mathbf{i}_r r\times(\mathbf{i}_r\overset{.}{r} +\mathbf{i}_{\theta}r\overset{.}{\theta})=\mathbf{h}$

или

$\displaystyle \mathbf{i}_r\times\mathbf{i}_{\theta}r^2\overset{.}{\theta}=\mathbf{k}r^2\overset{.}{\theta}=\mathbf{k}h,$

где $\mathbf{k}$ --единичный вектор, направленный вдоль вектора $\mathbf{h}$ и, согласно нашему определению совпадающий с направлением оси $Oz$ . Значит,

$\displaystyle r^2\frac{d\theta}{dt}=h.$

(3.44)

Допустим, что в момент $t$ тело 2 находилось на расстоянии $r$ от тела 1, а через промежуток времени $\Delta t$ переместилось на угол $\Delta\theta$ , причем расстояние стало равняться $r+\Delta r$ . Считая, что промежуток времени $\Delta t$ мал, можно считать дугу, по которой движется тело 2, прямой линией. Тогда площадь сектора, который образуют два радиус-вектора $r$ и $r+\Delta r$ , будет близок к площади треугольника, равной $\frac{1}{2}r(r+\Delta r)\sin\Delta\theta$ . Устремляя $\Delta\theta$ к нулю и деля на промежуток времени $\Delta t\rightarrow 0$ , находим, что площадь сектора, описываемая телом равна $\frac{1}{2}r^2\frac{d\theta}{dt}$ . Следовательно, на основе уравнения (3.42) можно утверждать, что за одинаковые промежутки времени радиус-вектор описывает равные площади, причем величина углового момента равна удвоенной площади сектора. Это -- второй закон Кеплера.

Запишем теперь уравнение (3.38) в полярных координатах. Так как производная $\overset{.}{\mathbf{r}}$ уже найдена (3.41), то

$\displaystyle \overset{..}{\mathbf{r}}=\overset{..}{r} {\mathbf{i}}_r+\overset{.}{r}\frac{d{\mathbf{i}}_r}{dt}+ \frac{d(r\overset{.}{\theta})}{dt}{\mathbf{i}}_\theta+r\overset{.}{\theta}\frac{d{\mathbf{i}}_\theta}{dt}.$

(3.45)

Единичные векторы ${\mathbf{i}}_r$ , ${\mathbf{i}}_{\theta}$ меняют направление со временем, поэтому меняются их проекции на оси $x,y$ . Следовательно, производные $d{\mathbf{i}}_r/dt$ , $d{\mathbf{i}}_{\theta}/dt$ не равны нулю. Чтобы их вычислить, найдем производную единичного вектора ${\mathbf{i}}_r$ по углу $\theta$ (рис. 3.12). Так как

$\displaystyle {\mathbf{i}}_r={\mathbf{i}}\cos\theta+{\mathbf{j}}\sin\theta,$

то,

$\displaystyle \frac{d{\mathbf{i}}_r}{d\theta} =-{\mathbf{i}}\sin\theta+{\mathbf{j}}\cos\theta={\mathbf{i}}_r(\theta+\frac{\pi}{2})={\mathbf{i}}_{\theta}.$

Из последнего выражения находим

$\displaystyle \frac{d{\mathbf{i}}_r}{dt}= \frac{d{\mathbf{i}}_r}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}={\mathbf{i}}_{\theta}\overset{.}{\theta}.$

Аналогичным образом найдем выражение для производной ${d{\mathbf{i}}_\theta}/dt$ :

$\displaystyle \frac{d{\mathbf{i}}_\theta}{d\theta} =-{\mathbf{i}}\cos\theta-{\mathbf{j}}\sin\theta=-{\mathbf{i}}_r, \quad \frac{d{\mathbf{i}}_\theta}{dt}= \frac{d{\mathbf{i}}_\theta}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}=-{\mathbf{i}}_r\overset{.}{\theta}.$

Подставляя значения производных ${d{\mathbf{i}}_r}/dt$ , ${d{\mathbf{i}}_\theta}/dt$ в уравнение (3.43) и приводя подобные члены, получим, что ускорение тела разлагается на две компоненты -- радиальную и нормальную составляющие:

$\displaystyle \overset{..}{\mathbf{r}}=(\overset{..}{r}-r\overset{.}{\theta}^2) {\mathbf{i}}_r+ (r\overset{..}{\theta} +2\overset{.}{r}\overset{.}{\theta}) {\mathbf{i}}_\theta.$

Так как второй член в скобках можно записать в виде:

$\displaystyle r\overset{..}{\theta} +2\overset{.}{r}\overset{.}{\theta} = \frac{1}{r}\frac{d}{dt} \Bigl(r^2\frac{d\theta}{dt}\Bigr),$

то из второго закона Кеплера (3.42) следует его равенство (нормальной составляющей ускорения) нулю.

Полагая, что ${\mathbf{r}}={\mathbf{i}}_r r$ , запишем уравнение (3.38) в полярных координатах в следующем виде:

$\displaystyle \overset{..}{r} - r \overset{.}{\theta}^2 =-\frac{\mu}{r^2}.$

(3.46)

Дифференциальные уравнения (3.42) и (3.44) описывают зависимость расстояния $r$ одного тела относительно другого и угла $\theta$ от времени. Для решения этих уравнений обычно исключают время из (3.44) с помощью (3.42). Для удобства введем параметр $u$ , так что

$\displaystyle u=\frac{1}{r}.$

Тогда закон Кеплера (3.42) записывается в виде: $\overset{.}{\theta}=hu^2$ . Теперь выразим производную $\overset{..}{r}$ через параметр $u$ . Для этого найдем сначала производную $\overset{.}{r}$ :

$\displaystyle \overset{.}{r}=\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{1}{u}\Bigr)= -\frac{1}{u^2}\frac{du}{dt} = -\frac{1}{u^2}\frac{du}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}=-h\frac{du}{d\theta},$

и, учитывая, что $\overset{.}{r}$ является неявной функцией $\theta$ , $h=\textrm{const}$ , получим

$\displaystyle \overset{..}{r}=\frac{d}{dt}(\overset{.}{r}) = \frac{d\overset{.}{r}}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}=-h^2u^2\frac{d^2u}{d\theta^2}.$

После подстановки $\overset{..}{r}$ в уравнение (3.44) найдем:

$\displaystyle -h^2u^2\frac{d^2u}{d\theta^2}-h^2u^3=-\mu u^2$

или

$\displaystyle \frac{d^2u}{d\theta^2}+u=\frac{\mu}{h^2}.$

(3.47)

Решение дифференциального уравнения второго порядка (3.45) записывается в виде:

$\displaystyle u=\frac{\mu}{h^2} + A\cos(\theta-\omega),$

где $A$ и $\omega$ -- две константы интегрирования. Непосредственной подстановкой можно убедиться, что $u$ является решением уравнения (3.45). Заменяя $u$ на $r$ и вводя новые параметры: $p=h^2/\mu$ , $e=Ah^2/\mu$ , находим уравнение траектории тела в полярных координатах:

$\displaystyle r=\frac{p}{1+e\cos(\theta-\omega)}.$

(3.48)

Уравнение (3.46) является уравнением конических сечений. Вид орбиты зависит от параметра $e$ -- эксцентриситета орбиты. Если $0\leq e \lt 1$ , то траектория является эллипсом, если $e=1$ , то -- параболой, если $e\gt 1$ , то -- гиперболой. Вид орбиты можно определить также по величине постоянной энергии в уравнении (3.40), которая зависит от скорости и радиуса-вектора тела. Поэтому удобно связать вид орбиты с начальными параметрами $V_0$ и $r_0$ :

	$\displaystyle \textrm{если}\ V_0^2\lt \frac{2\mu}{r_0},\ \textrm{то}\ W\lt 0\ \textrm{и}\ 0\leq e\lt 1\ \textrm{ - эллиптическая орбита},$
	$\displaystyle \textrm{если}\ V_0^2= \frac{2\mu}{r_0},\ \textrm{то}\ W=0\ \textrm{и}\ e=1\ \textrm{ - парабола},$	(49)
	$\displaystyle \textrm{если}\ V_0^2\gt \frac{2\mu}{r_0},\ \textrm{то}\ W\gt 0\ \textrm{и}\ e\gt 1\ \textrm{ - гиперболическая орбита}.$

Ограничимся сейчас случаем, когда $0\leq e \lt 1$ . В этом случае уравнение (3.46) является математической формой первого закона Кеплера.

Если тело с массой $m_1$ назвать Солнцем, другое тело -- планетой, то первый закон Кеплера формулируется следующим образом: планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Параметр $p$ называется параметром эллипса и связан с большой полуосью $a$ эллипса формулой: $p=a(1-e^2)$ . Малая полуось $b$ может быть выражена через $a$ и $e$ : $b^2=a^2(1-e^2)$ (рис. 3.13). На рис. 3.13 Солнце находится в точке $O$ , планета -- в точке $P$ , ось $OX$ направлена в точку восходящего узла орбиты, а ось $Ox$ -- в точку орбиты, ближайшей к Солнцу, которая называется перигелием. Угол $\omega$ называется долготой перигелия.

Рис. 3.13. Определение параметров эллипса

Если обозначить период обращения планеты $P$ как $T$ , то согласно второму закону Кеплера за время $T$ планета опишет полный эллипс, площадь которого равна $\pi ab$ . Отношение площади эллипса к периоду обращения равно половине углового момента планеты, т.е.

$\displaystyle \frac{\pi ab}{T}=\frac{h}{2}=\textrm{const}.$

Следовательно

$\displaystyle 2\pi a^2\sqrt{1-e^2}=hT.$

(3.50)

Так как $h^2/\mu=p=a(1-e^2)$ , то $h^2=\mu a(1-e^2)$ . Исключая $h$ из (3.48), находим:

$\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{a^3}{\mu}}.$

Период обращения зависит только от суммы масс тел, так как $\mu=G(m_1+m_2)$ , и величины большой полуоси орбиты.

В случае, когда на тела 1 и 2 не действуют силы притяжения других тел (в небесной механике эта задача так и называется задачей двух тел), период обращения есть величина постоянная и может служить единицей времени. В начале XX века на основе наблюдений Солнца и Луны формировалась шкала эфемеридного времени (Ephemeris Time, ET). Так как из-за возмущений орбиты другими телами период обращения меняется, для построения шкалы ET необходимы были длительные наблюдения. Из-за сложности построения этой шкалы, а также из-за появления в середине 50-х годов XX века атомных стандартов частоты от шкалы времени, основанной на обращении Земли вокруг Солнца, пришлось отказаться. В настоящее время в основе счета времени лежит атомная шкала времени TAI, однако самой стабильной на больших интервалах времени может оказаться пульсарная шкала времени, причем пульсар является одной из звезд в двойной системе.

Обозначим через $n$ среднюю скорость движения планеты:

$\displaystyle n=\frac{2\pi}{T}=\sqrt{\frac{\mu}{a^3}}.$

(3.51)

В небесной механике параметр $n$ называется средним движением. Если массу Солнца обозначить как $M_\odot$ , массу планеты -- как $M_{P_1}$ , причем период обращения и большая полуось равны $T_1$ и $a_1$ , то

$\displaystyle G(M_\odot +M_{P_1}) =\frac{4\pi^2a_1^3}{T_1^2}=n_1^2a_1^3.$

(3.52)

Аналогичное уравнение можно написать для другой планеты с массой $M_{P_2}$ , периодом обращения $T_2$ и большой полуосью $a_1$ :

$\displaystyle G(M_\odot +M_{P_2}) =\frac{4\pi^2a_2^3}{T_2^2}=n_2^2a_2^3.$

Деля одно уравнение на другое, получим:

$\displaystyle \frac{G(M_\odot +M_{P_1})}{G(M_\odot +M_{P_2})}= \Bigl(\frac{a_1}{a_2}\Bigr)^3\Bigl(\frac{T_2}{T_1}\Bigr)^2 = \Bigl(\frac{a_1}{a_2}\Bigr)^3\Bigl(\frac{n_1}{n_2}\Bigr)^2.$

(3.53)

Уравнение (3.51) является математической записью третьего закона Кеплера. Так как для самой массивной планеты в солнечной системе -- Юпитера отношение $M_P/M_\odot$ $\sim 10^{-3}$ , то величина в левой части (3.51) отличается от единицы в третьем знаке. Следовательно, с точностью до $10^{-3}$ имеем

$\displaystyle \Bigl(\frac{a_1}{a_2}\Bigr)^3=\Bigl(\frac{T_1}{T_2}\Bigr)^2.$

(3.54)

Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы их больших полуосей. Определяя большую полуось $a_1$ для Земли как 1 астрономическую единицу (1 а.е.) (это -- неправильное определение астрономической единицы; см. главу 8) и $T_1$ как 1 год, то, измеряя период обращения какой либо планеты (в годах), можно записать третий закон Кеплера в форме:

$\displaystyle a^3=T^2,$

где $a,T$ -- большая полуось и период обращения любой планеты. Таким образом третий закон Кеплера устанавливает лишь относительные размеры орбит планет. Чтобы установить истинные размеры в солнечной системе необходимо знать величину 1 а.е. в метрах. В начале XX века для этого использовались наблюдения Солнца и вычислялась величина солнечного параллакса (см. раздел 6.3.2). Затем на смену оптическим наблюдениям пришли более точные методы радиолокации планет, что позволило определить значение 1 а.е. с ошибкой в несколько метров.

<< 3.10. Основы небесной механики | Оглавление | 3.10.2. Параметры и аномалии >>