Астронет > Сферическая астрономия

Астронет: В. Е. Жаров/ГАИШ Сферическая астрономия
http://variable-stars.ru/db/msg/1190817/node16.html

<< 3.4. Галактическая система координат | Оглавление | 3.6. Суточное вращение небесной >>

3.5. Преобразование координат из одной системы в другую

Данная задача уже упоминалась при рассмотрении горизонтальной системы координат. Если система установки телескопа горизонтальная, то движение звезд в этой системе будет неравномерным. Для точного ведения телескопа за звездой требуется непрерывно пересчитывать экваториальные координаты звезды в горизонтальные.

Рассмотрим сначала классический метод и найдем выражения, связывающие экваториальные и горизонтальные координаты. Затем рассмотрим матричный метод, который значительно облегчает задачу преобразования координат вектора из одной системы в другую.

Рассмотрим треугольник ${P_N}ZC$ (рис. 3.6).

Рис. 3.6. Связь горизонтальных и экваториальных координат

Вершинами в этом треугольнике являются зенит, полюс мира и звезда $C$ . Такой треугольник называется параллактическим. Согласно определениям координат, имеем: дуга $\widehat{ZC}$ равна зенитному расстоянию $z$ , дуга $\widehat{P_NC}$ равна $90^\circ-\delta$ , дуга $\widehat {P_NZ}$ равна $90^\circ-\varphi$ , двугранный угол $Z{P_N}C$ -- это часовой угол $t$ , двугранный угол ${P_N}ZC$ равен $180^\circ-A$ . Допустим, что требуется найти зенитное расстояние и азимут источника по его сферическим координатам. По теореме косинусов, используя треугольник ${P_N}ZC$ , имеем:

$\displaystyle \cos{z}=\cos(90^\circ-\delta) \cos(90^\circ-\varphi) +\sin(90^\circ-\delta) \sin(90^\circ-\varphi) \cos{t}$

или

$\displaystyle \cos{z}=\sin{\delta} \sin{\varphi} +\cos{\delta} \cos{\varphi} \cos{t}$

(3.1)

По теореме синусов получим:

$\displaystyle \frac{\sin{z}}{\sin{t}}=\frac{\sin(90^\circ-\delta)}{\sin(180^\circ-A)}$

или

$\displaystyle \sin{z} \sin{A} =\cos{\delta} \sin{t}$

(3.2)

По теореме подобия получим:

$\displaystyle \sin z \cos (180^\circ -A) = \cos (90^\circ -\delta) \sin (90^\circ -\varphi) - \sin (90^\circ -\delta) \cos (90^\circ-\varphi) \cos t$

или

$\displaystyle \sin z \cos A = -\sin \delta \cos \varphi + \cos \delta \sin \varphi \cos t.$

(3.3)

Из системы уравнений (3.1-3.3) можно однозначно определить $z$ и $A$ по координатам $\delta$ и $t$ . Обратим внимание на необходимость использования всех трех уравнений (3.1-3.3) для решения задачи. Так как азимут $A$ входит в уравнения под знаком синуса и косинуса, то только совместное решение уравнений (3.2-3.3) позволяет однозначно найти $A$ .

Обратное преобразование (от $z$ и $A$ к $\delta$ и $t$ ) можно записать в виде:

$\displaystyle \cos \delta \cos t$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \cos z \cos \varphi + \sin z \sin \varphi \cos A, \notag$	(4)
$\displaystyle \cos \delta \sin t$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \sin z \sin A,$	(5)
$\displaystyle \sin \delta$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \cos z \sin \varphi - \sin z \cos \varphi \cos A. \notag$	(6)

Точно так же можно получить формулы, связывающие экваториальную систему координат с эклиптической, экваториальную с галактической и т.д.

Однако более просто найти преобразование от одной системы координат к другой системе с помощью матричных методов. Так как в дальнейшем мы будем использовать эти методы часто, рассмотрим их подробно.

Разложение вектора по тройке базисных векторов ( $\bf i$ , $\bf j$ , $\bf k$ ) было записано в виде (2.5):

$\displaystyle {\bf r} = x{\bf i} + y{\bf j} + z{\bf k},$

где $x$ , $y$ , $z$ -- проекции вектора ${\bf r}$ (2.3) на векторы ${\bf i}$ , ${\bf j}$ , ${\bf k}$ , соответственно. Используя матричные обозначения, это выражение можно записать в виде:

$\displaystyle {\bf r} = \begin{pmatrix}{\bf i} & {\bf j} & {\bf k} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix},$

(3.7)

где запись ( ${\bf i}\ {\bf j}\ {\bf k}$ ) обозначает вектор-строку. Оставим обозначение ( ${\bf i}\ {\bf j}\ {\bf k}$ ) для базисной тройки векторов экваториальной системы. Базисные тройки векторов эклиптической и галактической системы координат обозначены в § 3.3 и 3.4 как ( ${\bf i}_e\ {\bf j}_e\ {\bf k}_e$ ) и ( ${\bf i}_g\ {\bf j}_g\ {\bf k}_g$ ), соответственно.

Разложим радиус-вектор одного и того же небесного объекта по базисным тройкам экваториальной, эклиптической и галактической систем. Для этого используем формулу (2.20), в которой координаты $\theta, \lambda$ заменяются на $\alpha,\delta$ , или $\beta,\lambda$ , или $b,l$ , и запишем матричное равенство (3.5) в виде:

$\displaystyle {\bf r} = \begin{pmatrix}{\bf i}&{\bf j}&{\bf k} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos\delta \cos\alpha \\ \cos\delta \sin\alpha \\ \sin\delta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{\bf i}_e&{\bf j}_e&{\bf k}_e \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos\beta \cos\lambda \\ \cos\beta \sin\lambda \\ \sin\beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{\bf i}_g&{\bf j}_g&{\bf k}_g \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos b\cos l \\ \cos b\sin l \\ \sin l \end{pmatrix}.$

(3.8)

Чтобы найти преобразование от одной системы координат к другой, надо найти матрицу поворота от одной базисной тройки к другой. Например, найдем преобразование от экваториальной к эклиптической системе. Тогда

$\displaystyle \begin{pmatrix}{\bf i} & {\bf j} & {\bf k} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\delta \cos\alpha \\ \cos\delta \sin\alpha \\ \sin \delta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{\bf i}_e & {\bf j}_e & {\bf k}_e \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\beta \cos\lambda \\ \cos\beta \sin\lambda \\ \sin \beta \end{pmatrix}.$

Умножим обе части уравнения на вектор-столбец $\begin{pmatrix}{\bf i} & {\bf j} & {\bf k} \end{pmatrix} ^{T}$ слева, где индекс "T" обозначает транспонирование, т.е. $\begin{pmatrix}{\bf i} & {\bf j} & {\bf k} \end{pmatrix}^{T} = \begin{pmatrix}{\bf i} \\ {\bf j} \\ {\bf k} \end{pmatrix}$ . В результате получим

$\displaystyle \begin{pmatrix}{\bf i} \\ {\bf j} \\ {\bf k} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}{\bf i} & {\bf j} & {\bf k} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\delta \cos\alpha \\ \cos\delta \sin\alpha \\ \sin \delta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{\bf i} \\ {\bf j} \\ {\bf k} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}{\bf i}_e & {\bf j}_e & {\bf k}_e \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\beta \cos\lambda \\ \cos\beta \sin\lambda \\ \sin \beta \end{pmatrix}.$

По определению скалярного произведения и правилу умножения матриц имеем:

$\displaystyle \begin{pmatrix}{\bf i} \\ {\bf j} \\ {\bf k} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}{\bf i} & {\bf j} & {\bf k} \end{pmatrix} = I = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},$

где $I$ -- единичная матрица.

Таким образом преобразование от эклиптической к экваториальной системе можно записать следующим образом:

$\displaystyle \begin{pmatrix}\cos\delta \cos\alpha \\ \cos\delta \sin\alpha \\ \sin \delta \end{pmatrix} = A_e \begin{pmatrix}\cos\beta \cos\lambda \\ \cos\beta \sin\lambda \\ \sin \beta \end{pmatrix},$

(3.9)

где

$\displaystyle A_e = \begin{pmatrix}{\bf i} \\ {\bf j} \\ {\bf k} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}{\bf i}_e & {\bf j}_e & {\bf k}_e \end{pmatrix}.$

Вычислим матрицу $A_e$ в явном виде, используя рис. 3.7.

Рис. 3.7. Расположение осей экваториальной и эклиптической систем координат

В обеих системах ось $Ox$ направлена в точку весеннего равноденствия $\aries$ . Поэтому направление векторов ${\bf i}$ и ${\bf i}_e$ совпадает. Оси $Oz$ и $Oz'$ направлены соответственно в полюс мира $P_N$ и полюс эклиптики $\Pi_N$ . Следовательно угол между векторами ${\bf k}$ и ${\bf k}_e$ равен $\varepsilon$ . Угол между векторами ${\bf j}$ и ${\bf j}_e$ также равен $\varepsilon$ . Используя определение скалярного произведения, получим:

$\displaystyle A_e = \begin{pmatrix}{\bf i}\cdot{\bf i}_e & {\bf i}\cdot{\bf j}_e & {\bf i}\cdot{\bf k}_e \\ {\bf j}\cdot{\bf i}_e & {\bf j}\cdot{\bf j}_e & {\bf j}\cdot{\bf k}_e \\ {\bf k}\cdot{\bf i}_e & {\bf k}\cdot{\bf j}_e & {\bf k}\cdot{\bf k}_e \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\varepsilon & \cos (90^\circ+\varepsilon) \\ 0 & \cos(90^\circ-\epsilon) & \cos\epsilon \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\varepsilon & -\sin\varepsilon \\ 0 & \sin\varepsilon & \cos\varepsilon \end{pmatrix}.$

(3.10)

Уравнения (3.7) и (3.8) однозначно определяют связь между двумя системами координат, и удобны при вычислении на компьютере. Тем не менее приведем преобразование (3.7) в явном виде:

$\displaystyle \cos\delta \cos\alpha$	$\displaystyle = \cos\beta \cos\lambda,$	(11)
$\displaystyle \cos\delta \sin\alpha$	$\displaystyle = \cos\beta \sin\lambda \cos\varepsilon - \sin\beta \sin\varepsilon,$	(12)
$\displaystyle \sin \delta$	$\displaystyle = \cos\beta \sin\lambda \sin\varepsilon + \sin \beta \cos \varepsilon.$	(13)

Используя матричную запись (3.7) легко найти обратное преобразование от экваториальной к эклиптической системе координат. Для этого умножим уравнение (3.7) слева на матрицу, обратную $A_e$ , т.е. на $A_e^{-1}$ :

$\displaystyle A^{-1}_e \begin{pmatrix}\cos\delta \cos\alpha \\ \cos\delta \sin\alpha \\ \sin \delta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos\beta \cos\lambda \\ \cos \beta \sin \lambda \\ \sin \beta \end{pmatrix}.$

(3.14)

Матрица $A_e$ обладает специальными свойствами. Нетрудно проверить, что $A^T_e A_e = A_e A^T_e = I$ , т.е. $A_e^T = A_e^{-1}$ . Подобные матрицы называются ортогональными. Преобразование (3.12) имеет, таким образом, вид:

$\displaystyle \begin{pmatrix}\cos\beta \cos\lambda \\ \cos\beta \sin\lambda \\ \sin \beta \end{pmatrix} = A^T_e \begin{pmatrix}\cos\delta \cos\alpha \\ \cos\delta \sin\alpha \\ \sin \delta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\varepsilon & \sin\varepsilon \\ 0 & -\sin\varepsilon & \cos\varepsilon \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos\delta \cos\alpha \\ \cos\delta \sin\alpha \\ \sin \delta \end{pmatrix}.$

(3.15)

Матрица $A^T_e$ описывает преобразование от экваториальной системы к эклиптической. Вращение на угол $\varepsilon$ для совмещения осей $Oy$ и $Oz$ с осями $Oy'$ и $Oz'$ , соответственно, называется правым, так как при этом движение воображаемого правого винта совпадает с направлением оси $Ox$ . Матрица $A^T_e$ , поэтому, описывает правое вращение относительно оси $Ox$ .

В явном виде из (3.13) получим:

$\displaystyle \cos \beta \cos \lambda =$	$\displaystyle \cos\delta \cos\alpha$
$\displaystyle \cos \beta \sin \lambda =$	$\displaystyle \cos \delta \sin \alpha \cos \varepsilon +\sin \delta \sin \varepsilon$	(16)
$\displaystyle \sin \beta = -$	$\displaystyle \cos \delta \sin \alpha \sin \varepsilon + \sin \delta \cos \varepsilon .$

Аналогично могут быть получены матрицы вращений относительно осей $Oy$ и $Oz$ . Для сохранения общности изложения обозначим матрицы поворотов относительно осей $Ox$ , $Oy$ , $Oz$ на угол $\phi$ как $R_1(\phi)$ , $R_2(\phi)$ , $R_3(\phi)$ соответственно, причем

$\displaystyle R_1 (\phi) = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \phi & \sin \phi \\ 0 & -\sin \phi & \cos \phi \end{pmatrix}; R_2 (\phi) = \begin{pmatrix}\cos \phi & 0 & -\sin \phi \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \phi & 0 & \cos \phi \end{pmatrix}; R_3 (\phi) = \begin{pmatrix}\cos\phi & \sin\phi & 0 \\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$

(3.17)

Матрица $A_e$ (3.8) равна, следовательно, $R_1(-\varepsilon)$ , т.е. для перехода от эклиптической к экваториальной системе необходимо повернуть оси эклиптической системы относительно оси $Ox$ ( $Ox'$ ) на угол $-\varepsilon$ .

С помощью матриц (3.15) можно вычислить любую матрицу, описывающую вращение в трехмерном пространстве.

Рассмотрим две декартовы системы координат: $Oxyz$ и $Ox'y'z'$ (рис. 3.8).

Рис. 3.8. Определение углов Эйлера

Найдем матрицу преобразования $R$ координат вектора из системы $Oxyz$ к системе $Ox'y'z'$ . Для этого сначала повернем систему $Oxyz$ относительно оси $Oz$ на угол $\Psi$ (до совмещения оси $Ox$ с линией узлов $O\ascnode$ ). Вращение относительно линии узлов (которая теперь совпадает с осью $Ox$ ) на угол $\Theta$ приведет к совмещению оси $Oz$ с осью $Oz'$ . И, наконец, поворот относительно оси $Oz'$ на угол $\Phi$ переводит ось $Ox$ в положение $Ox'$ ( $Oy$ в $Oy'$ соответственно). Все повороты -- положительны.

Углы $\Psi$ , $\Theta$ , $\Phi$ называются углами Эйлера. Три угла Эйлера однозначно определяют поворот одной системы координат относительно другой. В теоретической механике и астрономии эти углы имеют собственные названия. Если оси $Ox$ , $Oy$ лежат в плоскости эклиптики, то угол $\Psi$ называется углом прецессии. Угол $\Theta$ есть угол нутации, а угол $\Phi$ называется углом собственного вращения.

Матрица вращения $R$ равна произведению трех матриц (обратите внимание на порядок перемножения матриц и последовательность вращений):

$\displaystyle R=R_3 (\Phi) R_1 (\Theta) R_3 (\Psi) = \begin{pmatrix}\cos\Phi & \sin\Phi & 0 \\ -\sin\Phi & \cos\Phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\Theta & \sin\Theta \\ 0 & -\sin\Theta & \cos\Theta \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\cos\Psi & \sin\Psi & 0 \\ -\sin\Psi & \cos\Psi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

или

$\displaystyle R=\begin{pmatrix}\cos\Phi\cos\Psi - \sin\Phi\cos\Theta\sin\Psi & \cos\Phi\sin\Psi + \sin\Phi\cos\Theta\cos\Psi & \sin\Phi\sin\Theta \\ -\sin\Phi\cos\Psi - \cos\Phi\cos\Theta\sin\Psi & -\sin\Phi\sin\Psi + \cos\Phi\cos\Theta\cos\Psi & \cos\Phi\sin\Theta \\ \sin\Theta\sin\Psi & -\sin\Theta\cos\Psi & \cos\Theta \end{pmatrix}.$

(3.18)

С помощью матричного метода легко найти матрицу преобразования экваториальных координат ( $\alpha$ , $\delta$ ) в галактические координаты ( $l$ , $b$ ) (рис. 3.5).

Из уравнения (3.6) имеем:

$\displaystyle \begin{pmatrix}\cos b\cos l \\ \cos b\sin l \\ \sin b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{\bf i}_g \\ {\bf j}_g \\ {\bf k}_g \end{pmatrix}\begin{pmatrix}{\bf i}& {\bf j}& {\bf k} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\delta\cos\alpha \\ \cos\delta\sin\alpha \\ \sin\delta \end{pmatrix}.$

Напомним, что орт ${\bf i}$ направлен в точку весеннего равноденствия $\aries$ , ${\bf j}$ -- в точку с прямым восхождением, равным $90^\circ$ , и ${\bf k}$ -- в северный полюс мира. Согласно определению вектор ${\bf i}_g$ направлен в центр Галактики, ${\bf k}_g$ -- в северный полюс $G_N$ (§ 3.4).

Матрица

$\displaystyle A_G=\begin{pmatrix}{\bf i}_g \\ {\bf j}_g \\ {\bf k}_g \end{pmatrix} \begin{pmatrix}{\bf i}& {\bf j}& {\bf k} \end{pmatrix}$

(3.19)

является искомой матрицей преобразования.

Довольно трудно вычислить скалярные произведения ${\bf i}_g\cdot{\bf i}$ , ${\bf i}_g\cdot{\bf j}$ и т.д. непосредственно. Поэтому вычислим матрицу (3.17), соответствующую переходу от экваториальной системы к галактической следующим образом (см. рис. 3.5): выполним первое вращение относительно оси мира на угол $\alpha_{\ascnode}$ (прямое восхождение точки $\ascnode$ ), т. е. вычисляем матрицу $R_3(\alpha_{\ascnode})$ , затем выполняем вращение относительно линии узлов на угол $90^\circ-\delta_{G_N}$ и вычисляем матрицу $R_1(90^\circ-\delta_{G_N})$ , где $\delta_{G_N}$ -- склонение северного галактического полюса. Третий поворот -- это поворот относительно оси, соединяющей северный и южный полюса Галактики, на угол $-l_{\ascnode}$ . В результате матрица $A_G$ записывается в виде:

$\displaystyle A_G=R_3 (-l_{\ascnode})\cdot R_1(90^\circ-\delta_{G_N})\cdot R_3 (\alpha_{\ascnode}).$

Заметим, что $\alpha_{\ascnode} = \alpha_{G_N} + 90^\circ$ , $\alpha_{G_N}$ -- прямое восхождение северного галактического полюса. Это следует из того, что двугранный угол $G_N P_N \ascnode$ равен $90^\circ$ . Заменяя символ $\phi$ в (3.15) на соответствующие углы, получим:

$\displaystyle A_G =\begin{pmatrix}\cos l_{\ascnode} & -\sin l_{\ascnode} & 0 \\ \sin l_{\ascnode} & \cos l_{\ascnode} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \sin\delta_G & \cos\delta_G \\ 0 & -\cos\delta_G & \sin\delta_G \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos\alpha_{\ascnode} & \sin\alpha_{\ascnode} & 0 \\ -\sin\alpha_{\ascnode} & \cos\alpha_{\ascnode} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(3.20)

Подставив значения углов и вычислив произведение матриц, получим:

$\displaystyle A_G =\begin{pmatrix}-0.0548755601367195 & -0.8734370902532698 & -0.4838350155472244 \\ +0.4941094280132430 & -0.4448296298016944 & +0.7469822445004389 \\ -0.8676661489582886 & -0.1980763737056720 & +0.4559837761713720 \end{pmatrix}.$

(3.21)

Обратное преобразование (от галактической к экваториальной системе координат) выражается матричным уравнением:

$\displaystyle \begin{pmatrix}\cos\delta\cos\alpha \\ \cos\delta\sin\alpha \\ \sin\delta \end{pmatrix} = A^{-1}_G \begin{pmatrix}\cos b\cos l \\ \cos b\sin l \\ \sin b \end{pmatrix}$

(3.22)

Так как матрица $A_G$ -- ортогональная, то $A^{-1}_G = A^T_G$ .

В заключение используем матричный метод для вычисления матрицы преобразования от горизонтальной ( $z,A$ ) к экваториальной системе координат ( $t,\delta$ ) (рис. 3.3 и 3.6). Для этого достаточно выполнить один поворот: относительно оси $-Oy$ (обе системы координат -- левые) на угол $-(90^\circ-\varphi)$ , где $\varphi$ -- астрономическая широта. Следовательно матричное уравнение преобразования координат можно записать как

$\displaystyle \begin{pmatrix}\cos\delta \cos t \\ \cos\delta \sin t \\ \sin \delta\end{pmatrix} =R_2(\varphi-90^\circ) \begin{pmatrix}\sin z \cos A \\ \sin z \sin A \\ \cos z \end{pmatrix}.$

(3.23)

Легко проверить, что эта система совпадает с уравнениями (3.4).

Используем полученные формулы преобразования координат для решения следующих задач.

Задача 1. Найти геометрическое место точек на небесной сфере, у которых склонение $\delta$ равно эклиптической широте $\beta$ .

Решение. Преобразование координат точки из экваториальной в эклиптическую систему задается уравнениями (3.14):

$\displaystyle \cos \beta \cos \lambda =$	$\displaystyle \cos \delta \cos \alpha,$
$\displaystyle \cos \beta \sin \lambda =$	$\displaystyle \cos \delta \sin \alpha \cos \varepsilon +\sin \delta \sin \varepsilon,$
$\displaystyle \sin \beta = -$	$\displaystyle \cos \delta \sin \alpha \sin \varepsilon + \sin \delta \cos \varepsilon .$

Из первого уравнения получим: $\cos \lambda = \cos \alpha$ . Если из второго уравнения выразить $\sin\alpha$ и подставить в третье, то найдем, что $\sin\lambda=-\sin\alpha$ . Решением этой системы будет $\alpha=-\lambda$ .

Очевидно, что в точке весеннего равноденствия $\delta=\beta = 0$ , также $\alpha=\lambda = 0$ ; в точке осеннего равноденствия $\delta=\beta = 0$ , $\alpha=\lambda = 180^\circ$ . Геометрическим местом на сфере, удовлетворяющим условию $\delta=\beta=\kappa$ ( $\kappa$ -- некоторое число), является точка сферического треугольника, одной из сторон которого является дуга между полюсом мира и полюсом эклиптики и равная $\varepsilon$ , двумя другими -- дуги с длиной $90^\circ-\kappa$ . При увеличении $\kappa$ до $90^\circ$ треугольник вырождается в дугу, а точка поднимается по дуге окружности, проходящей посередине между полюсом мира и полюсом эклиптики.

Таким образом, геометрическим местом точек на небесной сфере будет окружность -- пересечение большого круга, наклоненного к экватору под углом $90^\circ+\varepsilon/2$ и проходящего через точки равноденствия, с небесной сферой.

Задача 2. Найти геометрическое место точек на небесной сфере, у которых прямое восхождение $\alpha$ равно эклиптической долготе $\lambda$ .

Решение. По аналогии с предыдущей задачей получим два уравнения:

$\displaystyle \cos \beta$	$\displaystyle =\cos \delta ,$
$\displaystyle \sin\beta$	$\displaystyle =-\sin\delta,$

которые удовлетворяются при $\beta=-\delta$ . Легко доказать, что геометрическим местом на небесной сфере, соответствующим условию $\beta=-\delta$ , будет окружность -- пересечение сферы с большим кругом, наклоненным к экватору под углом $\varepsilon/2$ .

Задача 3. Каково прямое восхождение и склонение северного и южного полюса эклиптики?

Решение. Координаты полюсов эклиптики можно найти, решая уравнения (3.14). Однако проще найти решение, воспользовавшись рис. 3.7. Для совмещения осей двух систем достаточно повернуть экваториальную систему относительно оси $Ox$ на угол $\varepsilon$ , т.е. полюсы эклиптики лежат в плоскости $Oyz$ . Значит, координаты северного полюса эклиптики равны $\alpha =270^\circ, \delta=90^\circ-\varepsilon$ , а южного -- $\alpha =90^\circ, \delta=-90^\circ+\varepsilon$ .

Задача 4. В каких точках Земли эклиптика может совпадать с первым вертикалом?

Решение. Напомним, что первым вертикалом называется вертикальный круг, проходящий через точки востока и запада, т.е. эклиптика должна проходить через зенит наблюдателя и точки востока и запада. Значит северный полюс эклиптики должен находиться в плоскости горизонта наблюдателя и совпадать с точкой севера. Это возможно, если широта наблюдателя равна $\varepsilon$ , т.е. наблюдатель находится северном тропике. Солнце восходит в точке востока, движется через зенит наблюдателя и заходит в точке запада. Если встать лицом к северу, то Солнце встает справа, заходит слева.

В южном полушарии аналогичная картина наблюдается, если наблюдатель находится на южном тропике (широта равна $-\varepsilon$ ). Однако кажется, что небесная сфера вращается в противоположную сторону; Солнце встает слева, заходит справа, если встать лицом к югу.

<< 3.4. Галактическая система координат | Оглавление | 3.6. Суточное вращение небесной >>