Астронет > Турбулентность

Астронет: Г. С. Голицын, "Физика Космоса", 1986 Турбулентность
http://variable-stars.ru/db/msg/1188739

Турбулентность

1. Введение
2. Условия возникновения турбулентности
3. Теоретическое описание турбулентности
4. Макроскопические следствия турбулентности
5. Двумерная турбулентность

1. Введение

Турбулентность - беспорядочные движения в потоках жидкости, газа, плазмы, в результате к-рых скорость, давление, плотность, темп-ра потока меняются в пространстве и во времени случайным образом.

Понятие турбулентных и ламинарных потоков ввел в 1883 г. англ. физик О. Рейнольдс, изучая движение жидкости в трубе. При небольших скоростях движение регулярно, но когда отношение сил инерции к вязким силам (число Рейнольдса $Re=ud/\nu$ , где u - характерная скорость потока, d - характерный размер потока, в данном случае диаметр трубы, $\nu$ - коэфф. кинематич. вязкости) превзойдет нек-рое критич. значение ( $Re_K\approx 10^3$ ), то движение теряет устойчивость и становится более или менее беспорядочным. При этом в потоке появляются беспорядочные вихри разных размеров, и скорость потока в каждой точке меняется случайным образом со временем. Эти вихри могут дробиться или иногда сливаться между собой. Чем больше т.н. закритичность, т.е. чем больше число Re превышает Re_K, тем интенсивнее идут эти процессы.

2. Условия возникновения турбулентности

В первоначально регулярных потоках в результате неустойчивости возникают случайные возмущения, к-рые быстро растут, взаимодействуют с осн. потоком и друг с другом, порождают новые возмущения, т.е. потоки становятся турбулентными. Существуют две осн. причины неустойчивости: сдвиг скорости в пространстве (изменение скорости поперек потока) и термич. неустойчивость в жидкости, неравномерно разогреваемой в пространстве и находящейся в поле силы тяжести.

В первом случае неустойчивость развивается при достаточно больших числах Рейнольдса в результате движения посторонних тел в жидкости, на границах хорошо выраженных течений в атмосферах планет (особенно Юпитера и Сатурна), в земном океане и т.п. В случае термич. неустойчивости выделяют горизонтально-неоднородный и вертикально-неоднородный разогревы. Под горизонталью понимается поверхность равного потенциала силы тяжести, а под вертикалью - направление ее градиента. При горизонтально-неоднородном разогреве жидкость всегда находится в состоянии движения, а при вертикальном - если вертикальный градиент темп-ры $dT/dz < \gamma_a = -\alpha g T/c_p$ (см. Конвекция), здесь $\gamma_a$ - адиабатический градиент темп-ры, $\alpha$ - коэфф. теплового расширения жидкости, g - ускорение силы тяжести, c_p - теплоемкость при постоянном давлении. Если $dT/dz \ge \gamma_a$ , то в отсутствие горизонтальных градиентов темп-ры (и других вынуждающих сил) жидкость покоится. Более общая формулировка условий устойчивости среды в поле силы тяжести требует, чтобы $d\rho/dz > (d\rho/dz)_a = - \rho g c^{-2}$ , где $\rho$ - плотность среды, c - скорость звука в ней, $(d\rho/dz)_a$ - адиабатич. градиент плотности среды. Если плотность среды убывает с увеличением высоты быстрее, чем по адиабатич. градиенту, то в ней возникают вертикальные движения более или менее случайного характера - т.н. конвекция, или термическая турбулентность. В противном случае конвекция отсутствует. Устойчивую вертикальную стратификацию (расслоение жидкости в поле силы тяжести) можно характеризовать частотой Брента-Вяйсяля $N=[g(d\rho/dx)/\rho + g^2 c^{-2}]^{1/2}$ . Величина N определяет круговую частоту инерционных колебаний жидкой частицы, выведенной по вертикали из состояния равновесия. Напр., метеорологич. шар-зонд обычно слегка колеблется по высоте с периодом неск. минут относительно ср. уровня полета в атмосфере, к-рая, как правило, устойчиво стратифицирована. В среде могут существовать внутр. волны (ВВ) с частотами $\omega\le N$ . В этих волнах, как и в волнах на поверхности жидкости (к-рые явл. предельным случаем ВВ при резком скачке плотности), частицы жидкости смещаются поперек направления скорости волн. Очевидно, что для случая конвекции величина N имеет мнимое значение.

Устойчивая по высотам стратификация среды затрудняет также развитие сдвиговой неустойчивости потока. Из ур-ния локального баланса турбулентной энергии, учитывающего генерацию кинетич. энергии Т. и ее диссипации, обусловленную вязкостью, следует, что Т. сдвигового происхождения подавляется полностью, когда т.н. число Ричардсона (по имени англ. ученого Л. Ричардсона)
$Ri=\left[ {g\over \rho} \left( {d\rho\over {dz}} \right) + {g^2\over{c^2}}\right]/\left( {du\over{dz}} \right)^2 \ge Ri_K \sim 1$ .
В этих условиях случайный компонент потока может существовать лишь в виде ВВ, порождаемых к.-л. внеш. источниками. При достаточно большой амплитуде ВВ могут взаимодействовать друг с другом и с потоком, увеличивая его беспорядочность. Эта ситуация может быть описана в приближении т.н. слабой Т., не очень сильно меняющей осн. состояние потока. При устойчивой стратификации Т. встречается в ограниченных областях пространства, часто имеющих форму горизонтальных дисков (наблюдаемых, напр., в океане и в атмосфере Земли). Считается, что в них Т. образуется из-за обрушения ВВ (аналогичного появлению барашков на морских волнах).

3. Теоретическое описание турбулентности

Ввиду хаотич. характера изменений параметров потока во времени и пространстве возможно лишь статистич. описание Т. Для многих приложений достаточно знания лишь первых и вторых одноточечных и двухточечных моментов случайных полей (скорости, темп-ры и др.). Одноточечные моменты - это ср. значения полей или их среднеквадратичные значения, двухточечные - корреляционные или структурные функции, т.е. ср. произведения значений поля в двух точках пространства (или времени) или ср. произведения разностей этих значений. Описание реальных турбулентных потоков часто затруднено неоднородностью в пространстве и нестационарностью во времени их средних характеристик. Однако достаточно мелкомасштабная структура турбулентных потоков и в этом случае обладает рядом универсальных закономерностей, установленных в 1941 г. А.Н. Колмогоровым и А.М. Обуховым. Если ср. скорость потока u существенно меняется на масштабе L, то для масштабов $r\ll L$ , согласно первой гипотезе подобия Колмогорова, статистич. характеристики разностей полей в двух точках, разделенных расстоянием r, будут однородны и изотропны, а структура потока определяется лишь кинематич. вязкостью $\nu$ и скоростью диссипации кинетич. энергии Т. на ед. массы $\varepsilon$ (величину $\varepsilon$ можно оценить как u³/L; для условий развитой свободной конвекции $\varepsilon=\alpha g F/\rho c_p$ , где F - вертикальный тепловой поток). Осн. диссипация энергии Т. происходит на масштабе $l_\nu\sim \nu^{3/4} \varepsilon^{-1/4}$ , и если $l_\nu\ll r \ll L$ (т.н. инерционный интервал масштабов, поскольку здесь еще не действует вязкость, а силы инерции дробят случайные вихри), то в этом интервале структура потока определяется лишь значением $\varepsilon$ (вторая гипотеза подобия Колмогорова). К примеру, в тропосфере значение L порядка половины высоты над поверхностью Земли, а $l_\nu\sim 1$ см. В инерционном интервале, в частности, для продольной структурной ф-ции скорости D_ll из соображений размерности можно написать:
$D_{ll}=<[v_l({\bf x}+{\bf r}) - v_l({\bf x})]^2>=C(\varepsilon r)^{2/3}$ ,
где $v_l=(\bf{vr})/r$ - проекция скорости на направление вектора, соединяющего две точки наблюдений с координатами , угловые скобки означают осреднение. Согласно измерениям, коэфф. $C\approx 2$ . Аналогичные выражения могут быть написаны и для др. компонентов структурного тензора поля скорости, но все они в силу (локальной) однородности и изотропии и ур-ния неразрывности (для несжимаемой жидкости, т.е. при $u\ll c$ ) выражаются через D_ll(r). Вторая гипотеза подобия может быть применена и к спектральной плотности распределения энергии Т. E по волновым числам k в интервале $2\pi /L \ll k \ll 2\pi \varepsilon^{1/4}\nu^{-3/4}$ . Соображения размерности дают:
$E(k)=C_1 \varepsilon^{2/3} k^{-5/3}, C_1\approx 1,5$ .
Аналогичные соображения (А.М. Обухов, 1949 г.) могут быть применены для описания статистич. структуры пульсаций темп-ры (или любой другой пассивной примеси), когда они не влияют существенно на структуру потока. Структура температурного поля в турбулентном потоке определяется не только $\varepsilon$ , но еще и скоростью диссипации интенсивности флуктуаций темп-ры N_T, равной по порядку величины $(\Delta T)^2 u L^{-1}$ , где $\Delta T$ - характерный перепад темп-р в потоке на его внешнем масштабе L. Тогда если коэфф. температуропроводности среды $\sim\nu$ , то в инерционном интервале масштабов
$D_{TT}(r)=<[T({\bf x}+{\bf r}) - T({\bf x})]^2>=C_T N_T \varepsilon^{-1/2} r^{2/3}, C_T\approx 3,5$ ;
$E_T(k)=C_{1T}N_T \varepsilon^{-1/3} k^{-5/3}, C_{1T}\approx 1,4$ .

4. Макроскопические следствия турбулентности

Флуктуации темп-ры при медленных движениях не слишком большого масштаба определяют флуктуации плотности. Последние в основном ответственны за флуктуации показателя преломления эл.-магн. волн. Эти флуктуации вызывают случайные изменения в амплитуде и фазе эл.-магн. сигналов, прошедших через турбулентную среду.

Турбулентные флуктуации поля скорости способствуют существенно более эффективному перемешиванию потока (выравниванию скоростей или темп-р), чем обычные молекулярные механизмы. Можно ввести коэфф. турбулентного перемешивания K(r), зависящий от масштаба вихрей. В инерционном интервале
$K(r)=\alpha_1\varepsilon^{1/3}r^{3/4}, \alpha_1\approx 0,1$ .
Этот закон был эмпирически (для земной атмосферы) установлен Л. Ричардсоном (1926 г.) и объяснен Обуховым (1941 г.). Обычно величина K намного порядков превосходит значение молекулярной кинематич. вязкости или коэфф. температуропроводности.

Т., обусловленная движением постороннего тела в потоке жидкости или газа, приводит к увеличению сопротивления среды движению тела (благодаря большим возмущениям среды). При этом также увеличивается теплоотдача от нагретого движущегося тела.

Наличие Т. в проводящей жидкости способствует генерации в ней магн. поля (см. Гидромагнитное динамо). Вместе с тем наличие стороннего магн. поля в проводящей жидкости обычно увеличивает устойчивость движения и ослабляет интенсивность Т. Об особенностях Т. в плазме см. в ст. Плазменная турбулентность.

5. Двумерная турбулентность

Если масштаб движений по вертикали много меньше горизонтального, то к описанию случайных движений в таких потоках можно применять теорию двумерной Т. [Р. Крейкнан, 1967 г., США; Дж. Батчелор (Бэтчелор), 1969 г., Великобритания]. Осн. отличие двухмерных потоков от трехмерных (если пренебречь вязкостью) состоит в том, что в первых наряду с кинетич. энергией сохраняется ср. завихренность (ср. квадрат вектора вихря скорости $<\omega^2>$ ), тогда как во вторых вихревые трубки деформируются и завихренность не явл. инвариантом движения. Учет вязкости проводит к потоку завихренности по спектру масштабов со скоростью $\eta=d<\omega^2>/dt$ . Диссипация завихренности идет на масштабе $L_{1\nu}\sim \nu^{1/2}\eta^{1/6}$ . Если поток возбуждается на каком-то осн. масштабе l₀, то в области волновых чисел $2\pi /l_0\ll k \ll 2\pi /l_{1\nu}$ спектр энергии двухмерных движений определяется лишь $\eta$ , поток энергии по спектру отсутствует и тогда
$E(k)=\alpha_2 \eta^{2/3} k^{-3}, \alpha_2\sim 1$ .
В области $k< 2\pi/l_0$ отсутствует передача завихренности по спектру, но передается кинетич. энергия к большим масштабам, и там $E(k)\sim \varepsilon^{2/3} k^{-5/3}$ , формально как в трехмерном случае. Масштаб l₀ может быть масштабом осн. гидродинамич. неустойчивости потока (напр., в земной атмосфере масштаб образования циклонов). Передача энергии от меньших масштабов к б'ольшим обусловливает явление т.н. отрицательной вязкости в крупномасштабных потоках (В. Старр, 1968 г., США). Эти явления наблюдаются в атмосферах планет, звезд, в галактич. дисках и др. Напр., в земной атмосфере энергия среднемасштабных возмущений - циклонов - передается движениям наибольшего масштаба - ср. зональному потоку, т.е. западным ветрам, дующим в средних широтах.

Если исследуемая область размера L вращается как целое с угловой скоростью $\Omega$ , причем число Росби (К.Г.А. Росби - швед. метеоролог) $Ro=u/2\Omega L \ll 1$ , то движения находятся в т.н. геострофич. балансе, когда сила Кориолиса уравновешивается градиентом давления. В этих условиях сохраняется т.н. потенциальный вихрь, но зависимости спектра от k остаются теми же, что в чисто двухмерных потоках.

Наконец, свои особенности имеют случайные двухмерные или геострофич. потоки на вращающейся сфере (П. Райнс, 1975 г., англ. ученый, работающий в США). В этом случае параметр Кориолиса $f=2\Omega \sin\theta$ меняется с широтой $\theta$ . Благодаря этому меняется с широтой сила Кориолиса, т.е. гироскопич. "жесткость" атмосферы, что при сохранении вихря (обычного или потенциального) приводит к появлению волн Росби. Колебания частиц в этих волнах происходят вдоль меридиана, фазовая скорость волн направлена с востока на запад (т.е. против направления линейной скорости вращения наповерхности) и имеет порядок $\beta k^{-2}$ , где $\beta=df/d\theta$ - скорость изменения параметра Кориолиса по меридиану. В потоке с характерной скоростью u имеется масштаб длины Райнса $l_\beta \approx 2\pi (2u/\beta)^{-1/2}$ . В потоках на сфере для масштабов $k\gg (\beta/2u)^{1/2}=k_\beta$ выполняются закономерности геострофич. Т. (спектр. плотность $E(k)\sim k^{-3}$ , как для двухмерной Т.), а для $k\ll k_\beta$ Т. имеет вид случайных волн Росби. Эти закономерности были прослежены в атмосфере Юпитера по данным станций "Вояджер" (1979 г.).

Лит.:
Монин А.С., Яглом А.М., Статистическая гидромеханика, ч. 1-2, М., 1965-67; Вайнштейн С.И., Зельдович Я.Б., Рузмайкин А.А., Турбулентное динамо в астрофизике, М., 1980; Мирабель А.П., Монин А.С., Двумерная турбулентность, Успехи механики, 1979, т. 2, N 3, с. 47-95; Яглом А.М., Закономерности мелкомасштабной турбулентности в атмосфере и океане (к 40-летию теории локально-изотропной турбулентности), Изв. АН СССР, с. сер. Физика атмосферы и океана, 1981, т. 17, N 12, 1235-1257; Старр В.П., Физика явлений с отрицательной вязкостью, пер. с англ., М., 1971; Турбулентность. Принципы и применения, под ред. У. Фроста, Т. Моулдена, пер. с англ., т. 1, М., 1980.

(Г.С. Голицын)

Г. С. Голицын, "Физика Космоса", 1986
Глоссарий Astronet.ru