Астронет > Массы небесных тел (методы определения)

Астронет: П. Г. Куликовский, "Физика Космоса", 1986 Массы небесных тел (методы определения)
http://variable-stars.ru/db/msg/1188435

Массы небесных тел (методы определения)

В основе определения масс небесных тел лежит закон всемирного тяготения, выражаемый ф-лой:
$F=G\cdot{{\mathfrak M}_1{\mathfrak M}_2\over {r^2}}$ (1)
где F - сила взаимного притяжения масс ${\mathfrak M}_1$ и ${\mathfrak M}_2$ , пропорциональная их произведению и обратно пропорциональная квадрату расстояния r между их центрами. В астрономии часто (но не всегда) можно пренебречь размерами самих небесных тел по сравнению с разделяющими их расстояниями, отличием их формы от точной сферы и уподоблять небесные тела материальным точкам, в к-рых сосредоточена вся их масса.

Коэффициент пропорциональности G = $6,67\cdot 10^{-8} \mbox{см}^3\cdot \mbox{г}^{-1}\cdot \mbox{с}^{-2}$ наз. гравитационной постоянной или постоянной тяготения. Её находят из физического эксперимента с крутильными весами, позволяющими определить силу гравитац. взаимодействия тел известной массы.

В случае свободного падения тел сила F, действующая на тело, равна произведению массы тела ${\mathfrak M}$ на ускорение свободного падения g. Ускорение g может быть определено, напр., по периоду T колебаний вертикального маятника: $T=2\pi\sqrt{l/g}$ , где l - длина маятника. На широте 45^o и на уровне моря g= 9,806 м/с².

Подстановка выражения для сил земного притяжения $F={\mathfrak M}\cdot g$ в ф-лу (1) приводит к зависимости $g=G{\mathfrak M}_\oplus/R_\oplus^2$ , где ${\mathfrak M}_\oplus$ - масса Земли, а $R_\oplus$ - радиус земного шара. Таким путём была определена масса Земли ${\mathfrak M}_\oplus\approx 6,0\cdot 10^{27}$ г. Определение массы Земли явл. первым звеном в цепи определений масс др. небесных тел (Солнца, Луны, планет, а затем и звёзд). Массы этих тел находят, опираясь либо на 3-й закон Кеплера (см. Кеплера законы), либо на правило: расстояния к.-л. масс от общего центра масс обратно пропорциональны самим массам. Это правило позволяет определить массу Луны. Из измерений точных координат планет и Солнца найдено, что Земля и Луна с периодом в один месяц движутся вокруг барицентра - центра масс системы Земля - Луна. Расстояние центра Земли от барицентра равно 0,730 $R_\oplus$ (он расположен внутри земного шара). Ср. расстояние цeнтpa Луны от центра Земли составляет 60,08 $R_\oplus$ . Отсюда отношение расстояний центров Луны и Земли от барицентра равно 1/81,3. Поскольку это отношение обратно отношению масс Земли и Луны, масса Луны
${\mathfrak M}_Л={\mathfrak M}_\oplus/81,3\approx 7,35\cdot 10^{25}$ г.

Массу Солнца можно определить, применив 3-й закон Кеплера к движению Земли (вместе с Луной) вокруг Солнца и движению Луны вокруг Земли:
${a_\oplus^3\over {T_\oplus^2({\mathfrak M}_\odot+{\mathfrak M}_\oplus)}}={a_{Л}^3\over {T_{Л}^2({\mathfrak M}_\oplus+{\mathfrak M}_{Л})}}$ , (2)
где а - большие полуоси орбит, T - периоды (звёздные или сидерические) обращения. Пренебрегая ${\mathfrak M}_\oplus$ по сравнению с ${\mathfrak M}_\odot$ , получим отношение ${\mathfrak M}_\odot/({\mathfrak M}_\oplus+{\mathfrak M}_{Л})$ , равное 329390. Отсюда ${\mathfrak M}_\odot\approx 3,3\cdot 10^{33}$ г, или ок. $3,3\cdot 10^5 {\mathfrak M}_\oplus$ .

Аналогичным путём определяют массы планет, имеющих спутников. Массы планет, не имеющих спутников, определяют по возмущениям, к-рые они оказывают на движение соседних с ними планет. Теория возмущённого движения планет позволила заподозрить существование тогда неизвестных планет Нептуна и Плутона, найти их массы, предсказать их положение на небе.

Массу звезды (помимо Солнца) можно определить со сравнительно высокой надёжностью только в том случае, если она явл. физ. компонентом визуально-двойной звезды (см. Двойные звезды), расстояние до к-рой известно. Третий закон Кеплера в этом случае даёт сумму масс компонентов (в ед. ${\mathfrak M}_\odot$ ):
${\mathfrak M}_1+{\mathfrak M}_2={(a'')^3\over {(\pi'')^3}}\cdot {1\over{P^2}}$ ,
где а'' -большая полуось (в секундах дуги) истинной орбиты спутника вокруг главной (обычно более яркой) звезды, к-рую в этом случае считают неподвижной, Р - период обращения в годах, $\pi''$ - параллакс системы (в секундах дуги). Величина $a''/\pi''$ даёт большую полуось орбиты в а. е. Если можно измерить угловые расстояния $\rho$ компонентов от общего центра масс, то их отношение даст величину, обратную отношению масс: $\rho_1/\rho_2={\mathfrak M}_2/{\mathfrak M}_1$ . Найденная сумма масс и их отношение позволяют получить массу каждой звезды в отдельности. Если компоненты двойной имеют примерно одинаковый блеск и сходные спектры, то полусумма масс $({\mathfrak M}_1+{\mathfrak M}_2)/2$ даёт верную оценку массы каждого компонента и без дополнит. определения их отношения.

Для др. типов двойных звезд (затменно-двойных и спектрально-двойных) имеется ряд возможностей приблизительно определить массы звёзд или оценить их нижний предел (т.е. величины, меньше которых не могут быть их массы).

Совокупность данных о массах компонентов примерно ста двойных звёзд разных типов позволила обнаружить важную статистич. зависимость между их массами и светимостями (см. Масса-светимость зависимость). Она даёт возможность оценивать массы одиночных звёзд по их светимостям (иначе говоря, по их абс. звёздным величинам). Абс. звёздные величины М определяются по ф-ле: M = m + 5 + 5 lg $\pi$ - A(r) , (3) где m - видимая звёздная величина в выбранном оптич. диапазоне (в определённой фотометрич. системе, напр. U, В или V; см. Астрофотометрия), $\pi$ - параллакс и A(r) - величина межзвёздного поглощения света в том же оптич. диапазоне в данном направлении до расстояния $r=1/\pi$ .

Если параллакс звезды не измерен, то приближённое значение абс. звёздной величины можно определить по её спектру. Для этого необходимо, чтобы спектрограмма позволяла не только узнать спектральный класс звезды, но и оценить относительные интенсивности нек-рых пар спектр. линий, чувствительных к "эффекту абс. величины". Иначе говоря, сначала необходимо определить класс светимости звезды - принадлежность к одной из последовательностей на диаграмме спектр-светимость (см. Герцшпрунга-Ресселла диаграмма), а по классу светимости - её абс. величину. По полученной таким образом абс. величине можно найти массу звезды, воспользовавшись зависимостью масса-светимость (этой зависимости не подчиняются лишь белые карлики и пульсары).

Ещё один метод оценки массы звезды связан с измерением гравитац. красного смещения спектр. линий в её поле тяготения. В сферически-симметричном поле тяготения оно эквивалентно доплеровскому красному смещению $\Delta v_r=0,635 {\mathfrak M}/R$ , где ${\mathfrak M}$ - масса звезды в ед. массы Солнца, R - радиус звезды в ед. радиуса Солнца, а $\Delta v_r$ выражено в км/с. Это соотношение было проверено по тем белым карликам, к-рые входят в состав двойных систем. Для них были известны радиусы, массы и истинные лучевые скорости v_r, являющиеся проекциями орбитальной скорости.

Невидимые (тёмные) спутники, обнаруженные около нек-рых звёзд по наблюдённым колебаниям положения звезды, связанным с её движением около общего центра масс (см. Невидимые спутники звезд), имеют массы меньше 0,02 ${\mathfrak M}_\odot$ . Они, вероятно, не явл. самосветящимися телами и больше похожи на планеты.

Из определений масс звёзд выяснилось, что они заключены примерно в пределах от 0,03 ${\mathfrak M}_\odot$ до 60 ${\mathfrak M}_\odot$ . Наибольшее количество звёзд имеют массы от 0,3 ${\mathfrak M}_\odot$ до 3 ${\mathfrak M}_\odot$ . Ср. масса звезд в ближайших окрестностях Солнца $\approx 0,5 {\mathfrak M}_\odot$ , т.е. $\approx$ 10³³ г. Различие в массах звёзд оказывается много меньшим, чем их различие в светимостях (последнее может достигать десятков млн.). Сильно отличаются и радиусы звёзд. Это приводит к разительному различию их ср. плотностей: от $5\cdot 10^{-5}$ до $3\cdot 10^5$ г/см³ (ср. плотность Солнца 1,4 г/см³).

Массу рассеянного звёздного скопления можно определить, сложив массы всех его членов, светимости к-рых определяют по их видимому блеску и расстоянию до скопления, а массы - по зависимости масса-светимость.

Массу шарового звёздного скопления далеко не всегда можно оценить путём подсчёта звёзд, т.к. в центральной области большинства таких скоплений изображения отдельных звёзд на фотографиях, полученных с оптимальной экспозицией, сливаются в одно светящееся пятно. Есть методы оценки общей массы всего скопления, основанные на статистич. принципах. Так, напр., применение теоремы о вириале (см. Вириала теорема) позволяет оценить массу скопления ${\mathfrak M}_{ск}$ (в ${\mathfrak M}_\odot$ ) по радиусу скопления r (пк) и ср. квадратич. отклонению $\bar{(\Delta v)^2}$ лучевой скорости отдельных звёзд (в км/с) от ср. её значения (т.е. от лучевой скорости скопления как целого):
${\mathfrak M}_{ск}\approx 800 \bar{(\Delta v)^2}\cdot r$ .

Если же подсчёт звёзд - членов шарового скопления возможен, то общую массу скопления можно определить как сумму произведений ${\mathfrak M}_i \cdot \varphi(M_i)$ , где $\varphi(M_i)$ - функция светимости этого скопления, т.е. число звёзд, приходящихся на различные интервалы абс. звёздных величин M_i (обычно их подсчитывают в интервалах, равных 1^m), a ${\mathfrak M}_i$ - масса, соответствующая данной абс. звёздной величине M_i по зависимости масса-светимость. Т.о., общая масса скопления ${\mathfrak M}_{ск}=\sum\limits_i {\mathfrak M}_i\cdot \varphi(M_i)$ , где сумма взята от самых ярких до самых слабых членов скопления.

Метод определения массы Галактики ${\mathfrak M}_Г$ исходит из факта вращения Галактики. Устойчивость вращения позволяет предположить, что центростремит. ускорение для каждой звезды, в частности для Солнца, определяется притяжением вещества Галактики в пределах солнечной орбиты. Солнце притягивается к галактич. центру с силой $F_0=G{\mathfrak M}_0{\mathfrak M}_\odot/R_0^2$ , где R₀ - расстояние Солнца от ядра Галактики, равное $3\cdot 10^{22}$ см. Сила F₀ сообщает Солнцу ускорение $g_0=G{\mathfrak M}_0/R_0^2$ , к-рое равно центробежному ускорению Солнца $v_0^2/R_0$ (без учёта влияния внеш. части Галактики и при условии эллипсоидальности поверхностей равной плотности по внутр. её части). Собственная галактич. скорость Солнца (т.н. круговая скорость на расстоянии R₀ от центра) $v_0\approx$ 220 км/с, отсюда $g_0=v_0^2/R_0\approx 1,6\cdot 10^{-8}$ см/с². Масса Галактики, без учёта её частей, внешних по отношению к галактической траектории Солнца, ${\mathfrak M}_Г\approx g_0R_0/G\approx 2,2\cdot 10^{44}$ г. Масса Галактики в сферич. объёме с радиусом $\approx$ 15 кпк, согласно подобным расчётам, равна $\approx 1,5\cdot 10^{11} {\mathfrak M}_\odot$ . При этом учитывается также масса всей диффузной (рассеянной) материи в Галактике.

Масса спиральной галактики может быть определена по результатам изучения её вращения, напр. из анализа кривой лучевых скоростей, измеренных в различных точках большой оси видимого эллипса галактики. В каждой точке галактики центростремит. сила пропорциональна массе более близких к центру галактики областей и зависит от закона изменения плотности галактики с удалением от её центра. Спектроскопич. наблюдения в оптич. диапазоне позволили построить кривые вращения спиральных галактик до расстояний 20-25 кпк от центра (а у ряда галактик высокой светимости до 40 кпк и более). Вплоть до этих расстояний круговая скорость не уменьшается с увеличением R, т.е. масса галактики продолжает расти с расстоянием. Т.о., в галактиках имеется скрытая масса. Масса невидимого (несветящегося) вещества галактик может в 10 и более раз превосходить массу светящегося вещества; предположительно, скрытая масса может существовать в форме очень слабых маломассивных звёзд или чёрных дыр или в форме элементарных частиц (напр., нейтрино, если они обладают массой покоя).

Для медленно вращающихся галактик, какими явл., напр., эллиптич. галактики, трудно получить кривые лучевых скоростей, но зато можно по расширению спектр. линии оценить ср. скорость звёзд в системе и, сопоставив её с истинными размерами галактики, определить её массу. Чем больше ср. скорость звёзд, тем больше должна быть масса галактики (при одинаковых размерах). Зависимость между массой, размерами галактики и ср. скоростью звёзд вытекает из условия стационарности системы.

Ещё один способ оценки массы галактик-компонентов двойных систем аналогичен методу оценки масс компонентов спектрально-двойных звёзд (ошибка не превышает 20%). Используют также установленную статистич. зависимость между массой и интегр. светимостью галактик различного типа (своего рода зависимость масса-светимость для галактик). Светимость определяется по видимой интегр. звёздной величине и расстоянию, к-рое оценивается по красному смещению линий в спектре. Ср. масса галактик, входящих в скопление галактик, оценивается по числу галактик скопления и его общей массе, к-рую статистически определяют по дисперсии лучевых скоростей галактик, подобно тому как оценивается общая масса звёздного скопления на основе теоремы о вириале.

Известные ныне массы галактик заключены в пределах от ~10⁵ ${\mathfrak M}_\odot$ (т.н. карликовые галактики) до 10¹² ${\mathfrak M}_\odot$ (сверхгигантские эллиптич. галактики, напр. галактика М 87), т.е. отношение масс галактик доходит до 10⁷.

Точность определения масс астрономич. объектов зависит от точности определения всех величин, входящих в соответствующие ф-лы. Масса Земли определена с погрешностью $\pm$ 0,05%, масса Луны $\pm$ 0,1%. Погрешность определения массы Солнца также составляет $\pm$ 0,1%, она зависит от точности определения астрономической единицы (ср. расстояния до Солнца). Вообще, в значит. степени точность определения массы зависит от точности измерения расстояния до космического объекта, в случае двойных звёзд - от расстояния между ними, от линейных размеров тел и т.д. Массы планет известны с погрешностью от $\pm$ 0,05 до $\pm$ 0,7%. Массы звёзд определены с погрешностью от 20 до 60%. Неуверенность определения масс галактик можно характеризовать коэфф. 2-5 (масса может быть в неск. раз больше или меньше), если надёжно определено расстояние до них.

Лит.:
Струве О., Линде Б., Пилланс Э., Элементарная астрономия, пер. с англ., 2 изд., М., 1967; Сагитов М.У., Постоянная тяготения и масса Земли, М., 1969; Климишин И.А., Релятивистская астрономия, М., 1983.

(П.Г. Куликовский)

П. Г. Куликовский, "Физика Космоса", 1986
Глоссарий Astronet.ru