Astronet Астронет: В. И. Шевченко,  "Физика Космоса", 1986 Ландау затухание
http://variable-stars.ru/db/msg/1188386

Ландау затухание

 - бесстолкновительное затухание колебаний и волн в плазме. Космич. плазму во многих случаях можно считать бесстолкновительной в том смысле, что ср. время между соударениями намного превышает характерные времена происходящих в ней процессов, а длина свободного пробега частиц больше размеров, на к-рых развиваются эти процессы. В качестве примеров такой бесстолкновительной плазмы можно назвать магнитосферную плазму, плазму солнечного ветра, плазму пульсаров и т.д. Для бесстолкновительной плазмы доминирующим явл. коллективное взаимодействие волн и частиц, приводящее, в частности, к затуханию или возбуждению эл.-магн. волн. Наиболее простое и вместе с тем важное явление в коллективных взаимодействиях - резонансное взаимодействие волн и частиц. Классич. пример такого взаимодействия - Л. з. ленгмюровских колебаний в плазме без магн. поля.

Пусть в равновесной плазме возбуждена ленгмюровская волна (см. Плазма) достаточно малой амплитуды, распространяющаяся вдоль оси x:
$E\sin(kx-\omega t)$ , (1)
где $E, k, \omega$ - соответственно амплитуда электрич. поля, волновое число и частота волны, t - время. Суть Л. з. состоит в том, что резонансное взаимодействие этой волны с электронами плазмы приводит к экспоненциальному затуханию амплитуды электрич. поля волны со временем:
$E(t)=E(0)\cdot e^{\gamma t}$ ,
где $\gamma$ < 0 - декремент затухания волны.

Рис. 1. Захваченные (1,2) и пролётные (3,4)
электроны (1,4 - догоняющие, 2,3 - отстающие).
Физ. механизм Л. з. сводится к обмену энергией между волной и группой резонансных электронов, скорости (v) к-рых в направлении распространения волны близки к её фазовой скорости $v_ф (v_ф=\omega k)$, т.е. удовлетворяют условию черенковского резонанса: $\omega\approx$kv. Рассмотрим движение электронов в системе координат, движущейся вместе с волной ($x'=x-v_ф t$). В этой системе волна (1) представляет собой квазистационарное возмущение электрич. поля с потенциалом $\varphi_0(t)\cos kx', \varphi_0$ - амплитуда потенциала. Электроны в таком поле можно разделить на две группы. Электроны, скорости к-рых удовлетворяют условию
$|v_x-v_ф|<\sqrt{e\varphi_0\over{m_e}}$ , (2)
совершают колебания в потенциальных ямах между точками с макс. потенциалом $\varphi_0$ и наз. захваченными ($v_x$ - компонент v вдоль направления распространения волны). Энергия остальных, т.н. пролётных, электронов достаточно велика для преодоления потенциального барьера (рис. 1). Для достаточно малых значений $\varphi_0$ (см. ниже) Л. з. обусловлено в основном пролётными электронами. При движении над профилем потенциала волны они периодически попадают то в ускоряющую, то в тормозящую фазу поля. Резонансными будут те электроны, скорости которых в этой системе отсчёта достаточно малы, так что время пролёта этими электронами расстояния порядка длины волны $\lambda$ больше или порядка характерного времени изменения амплитуды потенциала волны $1/\gamma$:
${\lambda\over {v_x-v_ф}}\ge {1\over{\gamma}}$ , или $|v_x-v_ф|\le 2\pi{\gamma\over k}$ . (3)
Тогда при ускорении в пределах одной половины длины волны и торможении в пределах другой такие частицы будут взаимодействовать с волной разной амплитуды и в среднем за период будут получать энергию от волны или же отдавать ей свою энергию. Соотношение (3) определяет (по порядку величины) интервал скоростей резонансных частиц (рис. 2). Согласно ур-нию движения, резонансные электроны с $v_x < v_ф$ (отстающие частицы) проводят больше времени в ускоряющих фазах и в среднем отбирают энергию у волны, ускоряясь за счёт её энергии, а резонансные частицы с $v_x > v_ф$ (догоняющие частицы) большую часть времени находятся в тормозящих фазах, они отдают энергию волне и тормозятся. Поскольку скорость затухания определяется балансом отстающих и догоняющих частиц, то величина декремента затухания существенным образом зависит от поведения функции распределения f0 электронов по $v_x$ в резонансной области. Это обстоятельство выражается в том, что декремент затухания пропорционален производной от f0 по $v_x$ при $v_x = v_ф$:
$\gamma={2\pi^2 e^2\over {m_e k^2}}\cdot \omega\cdot \left.{\partial f_0\over {\partial v_x}} \right|_{v_x = v_ф}$ . (4)

Рис. 2. Резонансные частицы на функции
распределения $f_0(v_x)$ электронов равновесной
плазмы. Площадь с наклонной штриховкой -
резонансные частицы с $v_x < v_ф$ (отстающие
частицы). Площадь с вертикальной
штриховкой - догоняющие резонансные частицы $v_x > v_ф$.
В равновесной плазме с распределением Максвелла по скоростям $\partial f_0/\partial v_x <0$ (число отстающих резонансных частиц больше числа догоняющих), поэтому волна в такой плазме затухает. При этом
$\gamma=-\left( {\pi\over 8}\right)^{1/2}\;{\omega_e e\over {(kD)^3}} \exp \left( -{1\over {2(kD)^2}} - {3\over 2}\right)$ . (5)
Если $kD\ll 1$, т.е. длина ленгмюровских волн намного больше дебаевского радиуса экранирования $D=v_{T_e}/\omega_{0e}$ ($v_{T_e}$ - ср. тепловая скорость электронов, $\omega_{0e}$ - ленгмюровская частота), то затухание мало (за характерное время затухания $1/\gamma$ успевает произойти много колебаний: $\omega/\gamma\gg 1$). Это объясняется (как видно из дисперсионного ур-ния для ленгмюровских волн $\omega=\omega_{0e}\sqrt{1+3(kD)^2}$ тем, что при $kD\ll 1$ частота $\omega\approx\omega_{0e}$ и фазовая скорость волн ($\omega/k\approx\omega_{0e}/k$) велика по сравнению с $v_{T_e} (\omega_{0e}/k=v_{T_e}/kD\gg v_{T_e})$. В результате число резонансных электронов мало (т.к. большинство электронов в равновесной плазме имеет скорости $\sim v_{T_e}$). При уменьшении $\lambda$ и $v_ф$ число резонансных частиц растёт, соответственно увеличивается $\gamma$. Если $\lambda$ становится порядка или меньше D, то декремент затухания сравнивается по порядку величины с $\omega_{0e}$, и из-за очень сильного Л. з. такие волны фактически не распространяются в плазме.

При возбуждении в плазме ленгмюровской волны достаточно большой амплитуды $\sqrt{e\varphi_0/m_e}>\gamma/k$ имеет место т.н. нелинейное Л. з. Для такой волны ширина резонансной области по скоростям [см. (3)] сравнима с шириной области захвата (2), поэтому динамика нелинейного Л. з. в основном определяется движением захваченных электронов. В системе отсчёта, связанной с волной, такие электроны совершают периодич. движения в потенциальных ямах, созданных волной, с характерным периодом порядка $\tau_в=k\sqrt{(e\varphi_0/m_e)^{-1}}$. Отражаясь от стенок потенциальной ямы и изменяя при этом свою скорость, электроны обмениваются энергией с волной. Догоняющие электроны отдают часть своей энергии волне, а отстающие получают энергию от волны. Для равновесного распределения электронов по скоростям отстающих частиц больше, чем догоняющих, поэтому, как и в случае волны малой амплитуды, происходит затухание волны с декрементом $\gamma$. После столкновения частиц со стенками потенциальной ямы ф-ция распределения по скоростям полностью перестраивается; при этом обе группы частиц "меняются" местами: если в начальном распределении преобладали частицы, отстающие от волны ($\partial f_0/\partial v_x|_{v_x = v_ф} < 0$), то теперь становится больше догоняющих частиц ($\partial f_0/\partial v_x|_{v_x = v_ф} > 0$). За счёт этого затухание волны сменяется её нарастанием. Через время $\sim\tau_в$ картина опять изменяется, т.е. амплитуда волны осциллирует во времени с характерным периодом $\sim\tau_в$. Периодич. осцилляции декремента и амплитуды будут происходить только в том случае, когда резонансные частицы синхронно колеблются в потенциальной яме. На самом деле из-за различия скоростей электроны в потенциальных ямах колеблются с разными периодами $\tau\sim(k|v_x - v_ф|)^{-1}\ge \tau_в$. Вследствие этого при достаточно больших временах $\tau\gg\tau_в$ произойдёт "фазовое перемешивание" резонансных частиц - число догоняющих и отстающих частиц сравняется. Декремент затухания обратится в нуль, и установится волна постоянной амплитуды. Ф-ция распределения резонансных частиц при таком перемешивании становится быстро осциллирующей функцией скорости.

Т.о., бесстолкновительное затухание волны возможно только в случае достаточно малых амплитуд волн, когда $\gamma\tau_в\gg 1$. В обратном предельном случае $\gamma\tau_в\ll 1$ после неск. колебаний амплитуды установится стационарный уровень амплитуды волны, отличающийся от начального на малую величину $\sim\gamma\tau_в$ (рис. 3).

При наличии в плазме пучка электронов производная от ф-ции распределения может быть положительной в определённом интервале скоростей. Тогда взаимодействие волны с резонансными частицами приводит к нарастанию со временем амплитуды волны, фазовая скорость к-рой лежит в этом интервале. Это явление наз. пучковой неустойчивостью (см. Неустойчивости плазмы), оно представляет собой обращение эффекта Л. з. при наличии инверсной ф-ции распределения ($\partial f_0/\partial v_x > 0$).

Рис. 3. Зависимость от времени амплитуды
потенциала волны: I - волна малой амплитуды
($\gamma\tau_в\gg 1$), II - волна большой амплитуды
($\gamma\tau_в\ll 1$).
Особенностью Л. з., как и всякого другого процесса, сохраняющего энтропию (отсутствуют соударения), явл. его обратимость. Обратимость, сохраняющаяся до тех пор, пока влиянием соударений можно пренебречь, имеет место и для волны малой амплитуды. В этом случае фазовая "память" о волне (быстрые осцилляции ф-ции распределения f электронов по $v_x$) остаётся даже после её затухания. Она не создаёт никаких макроскопически наблюдаемых эффектов (поскольку интеграл по скорости от быстрых осцилляции стремится к нулю с ростом времени). Если же в плазме возбудить ещё одну ленгмюровскую волну, то через нек-рое время после её затухания возникнет самопроизвольное возмущение плотности заряда и электрич. поля - плазменное эхо. Возникновение эха связано с интерференцией мелкомасштабных осцилляции f, создаваемых волнами. В нек-рый момент времени происходит компенсация фаз осцилляции (f перестаёт осциллировать), что и приводит к изменению макроскопич. параметров плазмы.

Необратимость возникает за счёт "сглаживания" мелкомасштабных осцилляции ф-ции распределения, обусловленного парными соударениями. Механизм "сглаживания" - диффузия частиц в пространстве скоростей - включается, когда масштаб осцилляции по скоростям на ф-ции распределения достигает малых размеров, причём время диффузии существенно меньше времени между соударениями. В результате диффузии на ф-ции распределения резонансных частиц образуется плато. Переход к "сглаженной" ф-ции распределения соответствует увеличению энтропии, т.е. такой переход необратим.

Рис. 4. Функции распределения электронов
f0e (широкая) и ионов f0i в неизотермической
плазме ($T_e\gg T_i$).
В отсутствие внеш. магн. поля в плазме помимо ленгмюровских волн могут распространяться эл.-магн. и ионно-звуковые волны. Эл.-магн. волны не испытывают Л. з., т.к. их фазовая скорость превышает скорость света. Ионно-звуковые колебания могут затухать за счёт резонансного взаимодействия как с электронами, так и с ионами плазмы. Л. з. на электронах всегда достаточно мало. Это связано с тем, что фазовая скорость ионного звука $v_ф\approx\sqrt{kT_e/M}$ (М - масса иона плазмы, Te - электронная темп-ра) мала по сравнению с тепловой скоростью электронов ($v_{T_e}=\sqrt{kT_e/m_e}$). В результате резонансная область по скоростям лежит вблизи максимума f0 (рис. 4), где разность числа отстающих и догоняющих электронов мала (т.е. мала $\partial f_0/\partial v_x$) и, следовательно, мал декремент затухания [см. (4)]. Его величина:
$\gamma_i=-\left( {\pi\over 8}\right)^{1/2}\;\left({m_e \over M} \right)^{1/2}\omega_s$ ,
где $\omega_s$ - частота ионно-звуковой волны. Л. з. ионно-звуковых волн из-за взаимодействия с резонансными ионами весьма велико в изотермич. плазме ($T_e\approx T_i, \quad T_i$ - темп-ра ионов). В этом случае декремент Л. з. сравним по порядку величины с частотой, т.е. ионно-звуковые волны в изотермич. плазме не распространяются. Условием существования слабозатухающего ионного звука в плазме явл. её неизотермичность ($T_e \gg T_i$). При этом фазовая скорость ионно-звуковой волны намного превышает тепловую скорость ионов и в резонанс с волной попадает малая группа ионов (рис. 4), в силу чего декремент затухания волны мал по сравнению с частотой волны
$\gamma_i=-\left( {\pi\over 8}\right)^{1/2}\;\left({T_e \over T_i} \right)^{3/2}\cdot \exp\left( -{T_e\over {2T_i}}\right) \cdot\omega_s$ . (8)

В плазме, помещённой в магн. поле, условие резонансного взаимодействия волн и частиц изменяется на следующее:
$k_{||}v_{||}=\omega-n\omega_H$ .
Здесь $k_{||}, v_{||}$ - проекции волнового вектора и скорости частицы на направление магн. поля, $\omega_H$ - частота ларморовского вращения резонансных частиц в магн. поле, n - целое число. В этом случае кроме обычного Л. з. (n = 0) возможно также циклотронное затухание (резонансы с $n=\pm 1, \pm 2, ...$). Лит.:
Арцимович Л.А., Сагдеев Р.3., Физика плазмы для физиков, М., 1979; Кадомцев Б.Б., Коллективные явления в плазме, М., 1976.

(В.И. Шевченко)


Глоссарий Astronet.ru

Rambler's Top100 Яндекс цитирования