Астронет > Динамические системы

Астронет: СОЖ Динамические системы
http://variable-stars.ru/db/msg/1177411/text1.html

Динамические системы

В. С. Анищенко

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского
Содержание

Одной из важных научных проблем естествознания является решение задачи предсказания поведения изучаемого объекта во времени и пространстве на основе определенных знаний о его начальном состоянии. Эта задача сводится к нахождению некоторого закона, который позволяет по имеющейся информации об объекте в начальный момент времени t₀ в точке пространства x₀ определить его будущее в любой момент времени t > t₀. В зависимости от степени сложности самого объекта этот закон может быть детерминированным или вероятностным, может описывать эволюцию объекта только во времени, только в пространстве, а может описывать пространственно-временную эволюцию.

Предметом нашего анализа будут не объекты вообще, а динамические системы в математическом понимании этого термина [1].

Динамическая система и ее математическая модель

Под динамической системой понимают любой объект или процесс, для которого однозначно определено понятие состояния как совокупности некоторых величин в данный момент времени и задан закон, который описывает изменение (эволюцию) начального состояния с течением времени. Этот закон позволяет по начальному состоянию прогнозировать будущее состояние динамической системы, его называют законом эволюции. Динамические системы — это механические, физические, химические и биологические объекты, вычислительные процессы и процессы преобразования информации, совершаемые в соответствии с конкретными алгоритмами. Описания динамических систем для задания закона эволюции также разнообразны: с помощью дифференциальных уравнений, дискретных отображений, теории графов, теории марковских цепей и т.д. Выбор одного из способов описания задает конкретный вид математической модели соответствующей динамической системы [2].

Математическая модель динамической системы считается заданной, если введены параметры (координаты) системы, определяющие однозначно ее состояние, и указан закон эволюции. В зависимости от степени приближения одной и той же системе могут быть поставлены в соответствие различные математические модели.

Исследование реальных систем сводится к изучению математических моделей, совершенствование и развитие которых определяются анализом экспериментальных и теоретических результатов при их сопоставлении. В связи с этим под динамической системой мы будем понимать именно ее математическую модель. Исследуя одну и ту же динамическую систему (к примеру, движение маятника), в зависимости от степени учета различных факторов мы получим различные математические модели. В качестве примера рассмотрим модель нелинейного консервативного осциллятора:

$\ddot x + \sin x = 0,$ $\ddot x = \frac{d^2 x}{dt^2}.$ (1)

Как известно, функция $\sin x$ аналитическая, и ее разложение в ряд Тейлора выглядит так:

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - ... = \sum\limits^{\infty}_{n = 0} \frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!} - \biggl(\sum\limits^{\infty}_{n = 1}\frac{x^{4n-1}}{(4n-1)!} \biggr).$ (2)

При малых $x\ll 1 \sin x \simeq x$ . С увеличением x требуется учет второго, третьего и т.д. членов ряда, чтобы с заданной точностью аппроксимировать $\sin x$ . Поэтому в случае $x \ll 1$ мы получаем самую простую модель математического маятника:

$\ddot x + x = 0.$ (3)

Следующим приближением будет модель нелинейного маятника:

$\ddot x + x - \frac{x^3}{6} = 0$ (4)

и т.д. Для каждого конкретного значения n будем получать новую динамическую систему, в заданном приближении описывающую процесс колебаний физического маятника.

Кинематическая интерпретация системы дифференциальных уравнений

Рассмотрим динамические системы, моделируемые конечным числом обыкновенных дифференциальных уравнений. Применительно к таким системам сохранились представления и терминология, первоначально возникшие в механике. В рассматриваемом случае для определения динамической системы необходимо указать объект, допускающий описание состояния заданием величин x₁, x₂, ..., x_N в некоторый момент времени t = t₀. Величины x_i могут принимать произвольные значения, причем двум различным наборам величин x_i и $x^{'}_i$ отвечают два разных состояния. Закон эволюции динамической системы во времени записывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений [1, 2]

$\frac{dx_i}{dt} = \dot x_i = f_i(x_1, x_2, ..., x_N), i=1, 2, ..., N$ (5)

Если рассматривать величины x₁, x₂, ..., x_N как координаты точки x в N-мерном пространстве, то получается наглядное геометрическое представление состояния динамической системы в виде этой точки, которую называют изображающей, а чаще фазовой точкой, а пространство состояний — фазовым пространством динамической системы. Изменению состояния системы во времени отвечает движение фазовой точки вдоль некоторой линии, называемой фазовой траекторией. В фазовом пространстве системы уравнениями (5) определяется векторное поле скоростей, сопоставляющее каждой точке x выходящий из нее вектор скорости F(x), компоненты которого даются правыми частями уравнений (5):

$[f_1(x_1, x_2, ..., x_N), f_2(x_1, x_2 , ..., x_N), ..., f_N(x_1, x_2 , ..., x_N)].$ (6)

Динамическая система (5) может быть записана в векторной форме:

$\dot x = F(x),$ (7)

где F(x) — вектор-функция размерности N.

Необходимо уточнить взаимосвязь понятий числа степеней свободы и размерности фазового пространства динамической системы. Под числом степеней свободы понимается наименьшее число независимых координат, необходимых для однозначного определения состояния системы. Под координатами первоначально понимались именно пространственные переменные, характеризующие взаимное расположение тел и объектов. В то же время для однозначного решения соответствующих уравнений движения необходимо помимо координат задать соответствующие начальные значения импульсов или скоростей. В связи с этим система с n степенями свободы характеризуется фазовым пространством в два раза большей размерности (N = 2n).

Классификация динамических систем

Если динамическая система задана уравнением (7), то постулируется, что каждому x(t₀) в фазовом пространстве ставится в соответствие состояние x(t), t > t₀, куда за время t - t₀ переместится фазовая точка, движущаяся в соответствии с уравнением (7). В операторной форме (7) можно записать в виде [2]

x(t) = T_t x(t₀), (8)

где T_t — закон (оператор) эволюции. Если этот оператор применить к начальному состоянию x(t₀), то мы получим x(t), то есть состояние в момент времени t > t₀. Так как x(t₀) и x(t) принадлежат одному и тому же фазовому пространству динамической системы, то математики говорят в данной ситуации: оператор T_t отображает фазовое пространство системы на себя. В соответствии с этим можно называть оператор T_t оператором отображения или просто отображением.

Динамические системы можно классифицировать в зависимости от вида оператора отображения и структуры фазового пространства. Если оператор предусматривает исключительно линейные преобразования начального состояния, то он называется линейным. Линейный оператор обладает свойством суперпозиции: T[x(t) + y(t)] = Tx(t) + Ty(t). Если оператор нелинейный, то и соответствующая динамическая система называется нелинейной. Различают непрерывные и дискретные операторы и соответственно системы с непрерывным и дискретным временем. Системы, для которых отображение x(t) с помощью оператора T может быть определено для любых t > t₀ (непрерывно во времени), называют также потоками по аналогии со стационарным течением жидкости. Если оператор отображения определен на дискретном множестве значений времени, то соответствующие динамические системы называют каскадами или системами с дискретным временем.

Способы задания оператора отображения T также могут различаться. Оператор T можно задать в виде дифференциального или интегрального преобразования, в виде матрицы или таблицы, в виде графика или функции и т.д.

Колебательные системы и их свойства

Важную группу динамических систем представляют системы, в которых возможны колебания. Колебательные системы с точки зрения их математических моделей разделяют на определенные классы. Различают линейные и нелинейные колебательные системы, сосредоточенные и распределенные, консервативные и диссипативные, автономные и неавтономные. Особый класс представляют так называемые автоколебательные системы. Основные свойства указанных систем подробно обсуждаются в работах по теории колебаний.