Астронет > Принцип Гюйгенса-Френеля

Астронет: "Физическая Энциклопедия"/Phys.Web.Ru Принцип Гюйгенса-Френеля
http://variable-stars.ru/db/msg/1177410/text

Принцип Гюйгенса-Френеля
11.06.2002 14:09 | "Физическая Энциклопедия"/Phys.Web.Ru

Гюйгенса-Френеля принцип - основной постулат волновой теории, описывающий и объясняющий механизм распространения волн, в частности световых.

Принцип Гюйгенса-Френеля является развитием принципа, который ввёл Х.Гюйгенс (Ch. Huygens) в 1678; в соответствии с последним каждый элемент поверхности, достигнутый в данный момент световой волной, является центром одной из элементарных волн, огибающая которых становится волновой поверхностью в следующий момент времени. При этом обратные элементарные волны во внимание не принимались. Принцип Гюйгенса объясняет распространение волн, согласующееся с законами геометрической оптики, но не может объяснить явлений дифракции. О.Ж.Френель (A.J.Fresnel) в 1815 дополнил принцип Гюйгенса, введя представления о когерентности и интерференции элементарных волн, что позволило рассматривать на основе принципа Гюйгенса-Френеля и дифракционные явления. Г.Р.Кирхгоф (G.R.Kirchhoff) придал принципу Гюйгенса-Френеля строгий математический вид, показав, что его можно считать приближенной формой теоремы, называемой интегральной теоремой Кирхгофа (см. Кирхгофа метод).

Рис. 1.

Согласно принципу Гюйгенса-Френеля, волновое возмущение в точке P (рис.1), создаваемое источником P₀, можно рассматривать как результат интерференции вторичных элементарных волн, излучаемых каждым элементом dS некоторой волновой поверхности S с радиусом r₀. Амплитуда вторичных волн пропорциональна амплитуде первичной волны, приходящей в точку Q, площади элемента dS и убывает с возрастанием угла $\chi$ между нормалью к поверхности S и направлением излучения вторичной волны на точку P. Амплитуда E_Q первичной волны в точке Q на поверхности S даётся выражением $E_{\mathrm{Q}} = \displaystyle{\frac{A}{{r}_{0}}}\exp i (\omega t - k{r}_{0})$ , где A - амплитуда волны на расстоянии единицы длины от источника, k - волновой вектор, $\omega$ - циклическая частота. Вклад в волновое возмущение в точке P, вносимый элементом поверхности dS, запишется в виде

$dU(P) = \displaystyle{\frac{{E}_{\mathrm{Q}}}{\rho}}\exp (-ik\rho)K(\chi)dS$ ,

(1)

где $\rho$ - расстояние от точки Q до P, $K(\chi)$ - функция, описывающая зависимость амплитуды вторичных волн от угла $\chi$ . Полное поле в точке наблюдения P представляется интегралом

$U(\mathrm{P}) = \int dU(\mathrm{P})dS = \int \displaystyle{\frac{AK(\chi)}{{r}_{0}\rho}} \exp i(\omega t - k \rho -k{r}_{0})dS$ .

(2)

Если за элемент поверхности взять площадь кольца, вырезаемого из волнового фронта S двумя бесконечно близкими концентрическими сферами с центрами в точке наблюдения P, и выразить dS через приращение $d\rho$ , то получим

$\displaystyle{\frac{2\pi A \exp i(\omega t -k{r}_{0})}{{r}_{0} + R}} \int_{R}^{{R}_{\mbox{max}}} K(\rho) \exp (-ik \rho)d \rho$ .

(3)

Верхний предел интеграла R_max=R+2r₀. Функция теперь рассматривается как функция от $\rho$ . Точное вычисление (3) невозможно без знания $K(\rho)$ , однако Френель дал метод приближённого его вычисления, используя разбиение поверхности S на так называемые зоны Френеля. Вид функции $K(\rho)$ в принципе Гюйгенса-Френеля остается неопределенным, но при $\chi = 0$ $K(0) = ik/2 \pi$ ; множитель i означает, что фазы вторичных волн отличаются на $\pi/2$ от фазы первичной волны в точке Q. Из математически точного определения принципа Гюйгенса-Френеля, данного Кирхгофом, следует и определение функции $K(\chi) = \displaystyle{\frac{ik}{4\pi}}(1 + \cos\chi)$ .

Строгое решение задач дифракции обычно связано с очень большими математическими трудностями, поэтому задачи, имеющие практический интерес, часто решаются приближенными методами с использованием принципа Гюйгенса-Френеля. Принцип Гюйгенса-Френеля позволяет описывать все оптические явления, относящиеся к распределению интенсивности света по разным направлениям (прямолинейное распространение света, отражение, преломление, двулучепреломление, дифракцию и т. д.). Приближённость решения с помощью принципа Гюйгенса-Френеля состоит в том, что при этом не рассматриваются реальные граничные условия электродинамики Максвелла. Например, при рассмотрении распространения волн через отверстия в экране амплитуда волны в точках, закрытых экраном, полагается равной нулю, а на отверстии - такой, как если бы экрана не было (т. е. допускается разрыв волнового поля).

Глоссарий Astronet.ru