Астронет > Астероид Эрос. Миссия космического аппарата NEAR-Shoemaker

Астронет: Е. М. Патрушев/УрГУ Астероид Эрос. Миссия космического аппарата NEAR-Shoemaker
http://variable-stars.ru/db/msg/1176983/node7.html

Астероид Эрос. Миссия космического аппарата NEAR

<< 4. Исследования и результаты | Оглавление | Заключение >>

5. Небесно-механические аспекты полета NEAR

5.1. Непростые маневры

Впервые за всю историю человечества рукотворный аппарат стал искусственным спутником астероида! Красивая фраза, однако, слова близкая к эллиптической требуют некоторого пояснения.

В учебниках по астрономии хорошо объясняется, как обращаются искусственные спутники по эллиптическим или почти круговым орбитам вокруг сферически симметричных тел, к числу которых можно отнести планеты и, в частности, нашу Землю. Однако взгляните на Эрос эту картофелеобразную глыбу размером 33*13*13 км. Гравитационное поле тела столь неправильной формы является весьма сложным, и чем ближе приближался к нему NEAR, тем сложнее становилась задача по его управлению. Совершив один виток вокруг Эроса, аппарат никогда не возвращался в точку его начала. Хуже того, не сохранялась даже плоскость орбиты зонда. Когда в коротких пресс-релизах сообщалось, что NEAR перешел на новую круговую орбиту, надо было видеть, какие замысловатые фигуры выписывал он в действительности!

Просто счастье, что в наше время на помощь людям пришли компьютеры. Сложная задача удержания аппарата на нужной орбите выполнялась программами автоматически. Если бы это делал человек, то ему можно было бы смело ставить памятник. Судите сами: во-первых, орбита аппарата никогда не должна была отклоняться более чем на 30^o от перпендикуляра к линии Солнце Эрос. Это требование определялось дешевой конструкцией аппарата. Панели солнечных батарей должны были всегда смотреть на Солнце (иначе смерть аппарата наступила бы в течение часа), главная антенна в момент передачи данных на Землю, а приборы во время их сбора на астероид. При этом все приборы, антенны и панели солнечных батарей были закреплены на NEAR неподвижно! 16 часов в сутки аппарату отводилось на сбор информации об астероиде и 8 на передачу данных через главную антенну на Землю [2].

Во-вторых, в большинстве экспериментов необходимы были как можно более низкие орбиты. А это, в свою очередь, требовало и более частых маневров, и большего расхода топлива. Тем ученым, которые производили картографирование Эроса, нужно было последовательно облететь на небольшой высоте все участки астероида, а тем из них, кто занимался получением изображений, вдобавок нужны были еще и различные условия освещения. Прибавьте к этому то, что на Эросе тоже существуют свои сезоны и полярные ночи. К примеру, южное полушарие открыло Солнцу свои просторы только к сентябрю 2000 года. Как в этих условиях угодить всем?

Помимо прочего, нужно было учесть еще и чисто технические требования к стабильности орбиты. В противном случае, потеряв связь с NEAR всего на неделю, можно было больше никогда его не услышать. И, наконец, ни при каких обстоятельствах нельзя было загонять аппарат в тень астероида. Он бы погиб там без Солнца! К счастью за окном компьютерный век, поэтому все эти задачи были возложены на электронику, люди же спокойно решали свои.

5.2. Орбиты небесных тел

Орбиты небесных тел траектории, по которым движутся в космическом пространстве Солнце, звезды, планеты, кометы, а также искусственные космические аппараты (искусственные спутники Земли, Луны и других планет, межпланетные станции и т.п.). Однако для искусственных космических аппаратов термин орбита применяют лишь к тем участкам их траекторий, на которых они движутся с выключенной двигательной установкой (так называемые пассивные участки траектории).

Формы орбит и скорости, с которыми движутся по ним небесные тела, определяются главным образом силой всемирного тяготения. При исследовании движения небесных тел в большинстве случаев допустимо не принимать во внимание их форму и строение, то есть считать их материальными точками. Такое упрощение возможно потому, что расстояние между телами обычно во много раз больше их размеров. Считая небесные материальными точками, мы можем при исследовании движения непосредственно применять закон всемирного тяготения. Кроме того, во многих случаях можно ограничиться рассмотрением движением только двух притягивающихся тел, пренебрегая влиянием других. Так, например, при изучении движения планеты вкруг Солнца можно с известной точностью предполагать, что планета движется толь под действием силы солнечного тяготения. Точно также при приближенном изучении движения искусственного спутника планеты можно принять во внимание лишь тяготения своей планеты, пренебрегая не только притяжением других планет, но и солнечной.

Указанные упрощения приводят к так называемой задаче двух тел. Одно из решений этой задачи было дано И. Кеплером, полное решение задачи было получено И. Ньютоном. Ньютон доказал, что одна из притягивающихся материальных точек обращается вокруг другой по орбите, имеющей форму эллипса (или окружности, которая является частным случаем эллипса), параболы или гиперболы. В фокусе этой кривой находится вторая точка.

Форма орбиты зависит от масс рассматриваемых тел, от расстояния между ними и от скорости, с которой одно тело движется относительно другого. Если тело массой m₁ (кг) находится на расстоянии r (м) от тела массой m₀ (кг) и движется в этот момент времени со скоростью V (м/с), то вид орбиты определяется величиной h = V²-2f(m₀+ m₁)/ r.

Постоянное тяготение G = 6.673 10^-11м³ кг^-1c^-2. Если h меньше 0, то тело m₁ движется относительно тела m₀ по эллиптической орбите; Если h равно 0 - по параболической орбите; Если h больше 0, то тело m₁ движется относительно тела m₀по гиперболической орбите [6].

Наименьшая начальная скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно, начав движение вблизи поверхности Земли, преодолело земное притяжение и навсегда покинуло Землю по параболической орбите, называется второй космической скоростью. Она равна 11.2 км/с. Наименьшая начальная скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно стало искусственным спутником Земли, называется первой космической скоростью. Она равна 7.91 км/с.

По эллиптическим орбитам движется большинство тел солнечной системы. Только некоторые малые тела Солнечной системы кометы, возможно, движутся по параболическим или гиперболическим орбитам. В задачах космического полета наиболее часто встречаются эллиптические и гиперболические орбиты. Так, межпланетные станции отправляются в полет, имея гиперболическую орбиту относительно Земли; затем они движутся по эллиптическим орбитам относительно Солнца по направлению к планете назначения.

Ориентация орбиты в пространстве, ее размеры и форма, а также положение небесного тела на орбите определяются шестью величинами, называемыми элементами орбиты. Некоторые характерные точки орбит небесных светил имеют собственные названия. Так, ближайшая к Солнцу точка орбиты небесного тела, движущегося вокруг Солнца, называется перигелием, а наиболее удаленная от него точка эллиптической орбиты афелием. Если рассматривается движение тела относительно Земли, то ближайшая к Земле точка орбиты называется перигеем, а самая далекая апогеем. В более общих задачах, когда под притягивающим центром можно подразумевать разные небесные тела, употребляют названия: перицентр (ближайшая к центру точка орбиты) и апоцентр (наиболее удаленная от центра точка орбиты).

Случай взаимодействия только двух небесных тел является простейшим почти не наблюдается (хотя и имеется много случаев, когда притяжением третьего, четвертого и т.д. тел можно пренебречь). В действительности все обстоит намного сложнее: на каждое тело действуют многие силы. Планеты в своем движении притягиваются не только к Солнцу, но и друг к другу. В звездных скоплениях каждая звезда притягивается всеми остальными. На движение искусственных спутников Земли оказывают влияние силы, вызываемые несферичностью фигуры Земли и сопротивлением земной атмосферы, притяжение Луны и Солнца. Эти дополнительные силы называют возмущающими, а эффекты, которые они вызывают в движении небесных тел, - возмущениями. Из-за возмущений орбиты небесных тел непрерывно медленно изменяются [6].

Исследованием движения небесных тел с учетом возмущающих сил занимается раздел астрономии небесная механика. Методы, разработанные в небесной механике, позволяют очень точно на много лет вперед определить положение любых тел Солнечной системы. Более сложные методы вычислений используются при исследовании движения искусственных небесных тел. Точное решение этих задач в аналитическом виде (то есть в виде формул) получить крайне сложно. Поэтому используются методы численного решения уравнений движения с применением быстродействующих электронных вычислительных машин. При таких вычислениях пользуются понятием сферы действия планеты. Сферой действия называют область околопланетного пространства, в которой при расчетах возмущенного движения тела (КА) удобно в качестве центрального тела считать не Солнце, а эту планету. В этом случае расчеты упрощаются вследствие того, что внутри сферы действия возмущающее влияние притяжения Солнца в сравнении с притяжением планеты меньше, чем возмущающее от планеты в сравнении с притяжением Солнца. Но нужно помнить, что и внутри сферы действия и за ее пределами всюду на тело действуют силы притяжения и Солнца, и планеты и других тел, хотя и в разной степени.

Радиус сферы действия зависит от расстояния между Солнцем и планетой. Орбиты небесных тел внутри сферы действия можно рассчитать на основе задачи двух тел. Если небесное тело покидает планету, то движение этого тела внутри сферы действия происходит по гиперболической орбите. Радиус сферы действия Земли равен около 1 млн. км; сфера действия Луны по отношению к Земле имеет радиус около 63 тысяч километров.

Метод определения орбиты небесного тела с использованием понятия сферы действия один из способов приближенного определения орбит. Зная приближенные величины элементов орбиты, можно с помощью других методов получить более точные значения элементов орбиты. Такое поэтапное улучшение определяемой орбиты является типичным приемом, позволяющим вычислить параметры орбиты с высокой точностью. В настоящее время круг задач по определению орбит значительно расширился, что объясняется бурным развитием ракетной и космической техники [9].

5.3. Упрощенная постановка задачи трех тел

Задача движения КА в гравитационном поле двух небесных тел является достаточно сложным и ее обычно исследуют численными методами. В ряде случаев оказывается допустимым упрощение этой задачи путем разделения пространства на две области, в каждой из которых учитывается притяжение только одного небесного тела. Тогда внутри каждой области пространства движение КА будет описываться известными интегралами задачи двух тел. На границы перехода из одной области в другую необходимо соответствующим образом пересчитать вектор скорости и радиус-вектор с учетом замены центрального тела.

Разделение пространства на две области можно осуществлять на основе различных допущений, которые определяют границу. В задачах небесной механики, как правило, одно небесное тело имеет массу существенно большую, чем второе. Например, Земля и Луна, Солнце и Земля или любая другая планета. Поэтому область, где предполагается движение КА по коническому сечению, в фокусе которого находится меньше притягивающее тело, занимает только небольшую часть пространства вблизи этого тела. Во всем оставшемся пространстве предполагается движение КА по коническому сечению, в фокусе которого находится большее притягивающее тело. Рассмотрим некоторые принципы разделения пространства на две области.

5.4. Сфера притяжения

Совокупность точек пространства, в котором меньшее небесное тело m₂ притягивает КА сильнее, чем большее тело m₁, называют областью притяжения или сферой притяжения меньшего тела относительно большего. Здесь по поводу понятия сфера справедливо замечание, сделанное для сферы действия [7].

Пусть m₁ масса и обозначение большого притягивающего тела, m₂ масса и обозначение меньшего притягивающего тела, m₃ масса и обозначение КА.

Их взаимное расположение определяется радиусами-векторами r₂и r ₃, которые соединяют m₁соответственно с m₂ и m₃.

Граница области притяжения определяется условием: |g₁|=|g₂|, где g₁ - гравитационное ускорение, сообщаемое КА большим небесным телом, а g₂ - гравитационное ускорение, сообщаемое КА меньшим небесным телом.

Радиус сферы притяжения рассчитывается по формуле:

$r_p = r_2 \sqrt{\frac{m_2}{m_1}\,}\,.$

5.5. Сферы действия

Областью действия, или сферой действия, меньшего тела m₂относительно большего тела m₁ называют область пространства, в которой выполняется условие:

$\frac{|\Delta g_2|}{|g_2|} < \frac{|\Delta g_1|}{|g_1|}\,,$

где g₁ - ускорение, которое получает КА при движении в центральном поле тело m₁, $\Delta g_1$ - возмущающее ускорение, которое получает КА из-за наличия притягивающего тела m₂, g₂ - ускорение, которое получает КА при движении в центральном поле тело m₂, $\Delta g_2$ - возмущающее ускорение, которое получает КА из-за наличия притягивающего тела m₁.

Заметим, что при введении этого понятия под словом сфера сначала имеем в виду не геометрическое место точек, одинаково удаленных от центра, а область преимущественного влияния меньшего тела на движение КА, хотя граница этой области действительно близка к сфере.

Внутри сферы действия меньшее тело рассматривают в качестве центрального, а большее тело как возмущающее. Вне сферы действия за центральное принимают большее тело, а возмущающее меньшее. В ряде задач небесной механики оказывается возможным пренебречь в первом приближении влиянием на траекторию КА большего тела внутри сферы действия и меньшего тела вне этой сферы. Тогда внутри сферы действия движение КА будет происходить в центральном поле, создаваемом меньшим телом, а вне сферы действия - в центральном поле, создаваемом большим телом. Границу области (сферы) действие меньшего тела относительно большего определяют по формуле:

$r_{\partial} = r_2 \left(\frac{m_2}{m_1}\right)^{2/5}\,.$

5.6. Сфера Хилла

Сферой Хилла называют замкнутую область пространства с центром в притягивающей точке m₂, двигаясь внутри которой тело m₃ всегда будет оставаться спутником тела m₂.

Сфера Хилла названа так по имени американского астронома Дж. В. Хилла, который в своих исследованиях движения Луны (1877 г.) впервые обратил внимание на существование областей пространства, куда не может попасть тело бесконечно малой массы, находящееся в гравитационном поле двух притягивающих тел.

Поверхность сферы Хилла может рассматриваться как теоретическая граница существования спутников тела m₂. Например, радиус селеноцентрической сферы Хилла в системе Земля Луна ИСЛ составляет r = 0.00039 а.е. = 58050 км, а в системе Солнце Луна ИСЛ r = 0.00234 а.е. = 344800 км.

Радиус сферы Хилла вычисляется по формуле:

$r_x = r_2 \left( U - \frac{1}{3}U^2 -\frac{1}{9}U^3\right)\,,$

где

5.7. Расчеты и выводы

В предыдущих разделах были описаны сфера тяготения, сфера действия и сфера Хилла. Теперь определим скорость КА NEAR и максимальное расстояние от астероида, на котором КА сможет выйти на орбиту вокруг Эроса.

В расчетах будем считать, что масса Солнца равна 1.9734*10³⁰ кг, масса Эроса 6.687*10¹⁵кг. Тогда радиус сферы тяготения вычисляется по формуле:

$r_t = r_2 \sqrt{\frac{m_{\textrm{эр}}}{m_c}\,}\,,$

радиус сферы действия по формуле:

а радиус сферы Хилла по формуле:

$r_x = R \cdot \left( U - \frac{1}{3}U^2 -\frac{1}{9}U^3\right)\,,$

где R - расстояние от Эроса до Солнца,

Т.к. все радиусы зависят от расстояния между Солнцем и астероидом, то вычислим их для трех разных случаев: перигелия (П, минимальное расстояние от Солнца равно 169 млн. км), афелия (А, максимальное расстояние от Солнца равно 266 млн. км.), для среднего расстояния (Ср, 218 млн. км.).

Первая космическая скорость вычисляется по формуле:

$V_1 = \sqrt{\frac{Gm_{\textrm{эр}}}{r}\,}\,,$

где G - гравитационная постоянная (G = 6.6732*10^-11 Н м²/кг²), r - расстояние до астероида; вторая космическая скорость равна:

$V_2 = \sqrt{2\,}\cdot V_2\,.$

Вычислим первую и вторую космические скорости для каждого значения радиуса сфер. Результаты занесем в табл.1, табл.2, табл.3.

Табл. 1. Радиусы сферы тяготения для разных расстояний Эроса от Солнца.

	R_t, км	V₁, м/с	V₂, м/с
П	9.837	6.735	9.524
А	15.484	5.368	7.591
Ср	12.69	5.929	8.386

Табл. 2. Радиусы сферы действия для разных расстояний Эроса от Солнца.

	R_d, км	V₁, м/с	V₂, м/с
П	275.355	1.273	1.8
А	433.399	1.014	1.435
Ср	355.191	1.12	1.585

Табл. 3. Радиусы сферы Хилла для разных расстояний Эроса от Солнца.

	R_х, км	V₁, м/с	V₂, м/с
П	1760	0.503	0.712
А	2770.2	0.401	0.567
Ср	2270.3	0.443	0.626

Радиусы сферы тяготения так малы по сравнению с размерами астероида (33*13*13 км), что в некоторых случаях граница сферы может находиться буквально на его поверхности. А вот сфера Хилла имеет настолько большие размеры, что в ней из-за влияния Солнца орбита КА будет очень неустойчивой. Получается, что КА будет искусственным спутником астероида только в том случае, если находится внутри сферы действия. Следовательно, радиус сферы действия равен максимальному расстоянию от астероида, на котором КА станет искусственным спутником. Причем значение его скорости должно быть в интервале между первой и второй космическими скоростями.

Табл. 4. Распределение космических скоростей по расстояниям от астероида.

R, км	V₁, м/с	V₂, м/с
100	2.11	2.98
75	2.43	3.44
60	2.72	3.85
50	2.98	4.22
40	3.34	4.72
30	3.85	5.45
20	4.72	6.68
10	6.68	9.44

Как видно из таблицы 4, при перемещении КА на более низкие орбиты его скорость должна увеличиться. При этом скорость должна быть все время перпендикулярной радиус-вектору.

Теперь вычислим скорость, с которой аппарат мог упасть на поверхность астероида под действием только ускорения свободного падения.

Ускорение свободного падения вычисляется по формуле:

Расстояние до поверхности возьмем равным 370 км., так как аппарат 14 февраля 2000 года вышел на эллиптическую орбиту с параметрами 323*370 км.

Итак, g = 3.25^.10^-6 м/с², скорость вычисляется по формуле: $V=\sqrt{2gR\,}$ , и она будет равна V = 1.55 м/с.

Реальные факты подтверждают наши расчеты: в момент посадки скорость аппарата относительно поверхности Эроса составила 1.9 м/с.

Надо заметить, что все расчеты являются приближенными, так как мы считаем Эрос однородной сферой, что очень отличается от действительности.

Оценим погрешность вычислений. Расстояние от центра масс до поверхности астероида изменяется от 13 до 33 км. Теперь пересчитаем ускорение свободного падения и скорость, но расстояние до поверхности возьмем равным 337 км. (370 - 33).

Итак, g' = 3.92^.10^-6 м/с², а скорость V' = 1.62 м/с.

Погрешность вычислений ускорения свободного падения равна $\Delta g = |g-g'|$ = 0.67^.10^-6 м/с², а погрешность вычислений скорости равна $\Delta V = |V-V'|$ = 0.07 м/с.

Итак, если бы астероид Эрос находился бы на среднем расстоянии от Солнца, то КА NEAR для выхода на орбиту потребовалось бы приблизиться к астероиду на расстояние менее 355.1 км со скоростью менее 1.58 м/с.

<< 5. Исследования и результаты | Оглавление | Заключение >>