Астронет: А. В. Тунцов/Физический факультет МГУ Энтропия большого канонического ансамбля в расширяющейся Вселенной http://variable-stars.ru/db/msg/1176959/node3.html

Энтропия большого канонического ансамбля в расширяющейся Вселенной

---

<< 1. Вступление | Оглавление | 3. Модельный конфигурационный интеграл >>

2. Энтропия

Пусть есть плотность вероятности распределения галактик; здесь и - 3-N мерные векторы. Тогда величины

суть вероятности обнаружения в объеме интегрирования точно галактик. Соответствующие им частоты наблюдаются на эксперименте и по известной теореме дают сами величины при устремлении числа опытов к бесконечности. Константа Планка в этой формуле использована просто как величина размерности фазового объема и может быть заменена любой другой величиной этой размерности. Как обычно, она исчезнет при наложении условия на среднее число частиц.

Наша задача сейчас состоит в том, чтобы получить выражение для энтропии через величины . Определение энтропии следующее:

Введем величины , аналогичные функциям распределения канонических ансамблей с соответствующим средним числом частиц. Тогда энтропия есть

где

а величины

имеют вид, аналогичный энтропии соответствующего канонического ансамбля.

Здесь делается второе предположение. Релаксация по энергии уже произошла, а по числу частиц - нет. Это разумно, так как первое происходит на расстоянии, в то время как второе связано с физическим перемещением галактик. Характерное время релаксации по числу частиц поэтому порядка размера рассматриваемого объема, деленного на среднюю "тепловую" скорость частиц. Для релаксации же по энергии характерное время есть скорость частицы, деленная на вызываемое другими галактиками ускорение. Для скопления галактик, содержащего в объеме 5 Мпк несколько сотен галактик, с "тепловыми" скоростями около двух-трех сотен километров в секунду они оказываеются порядка соответственно 10 и 1 миллиардов лет, так что релаксация по энергии происходит значительно раньше.

Релаксация и максимизация энтропии для нас - одно и то же. Поэтому надо максимизировать величины . Теперь время вспомнить о налагаемых на ансамбль условиях. Обычно, учитывая уравнение Лиувилля, ищут зависимость от интегралов движения, и добавляя соображения о необходимости аддитивности последних, получают распредения Гиббса. Однако последние не кажутся очевидными для гравитационно связанных систем. Ни откуда не следует, что фиксируется суммарная энергия. Поэтому естественным кажется включение ограничений по отдельности на число частиц, кинетическую и потенциальную энергию, причем под последней имеется в виду именно энергия корреляций - то есть разница между реализуемой при данной конфигурации и средней в данном объеме. Запишем эти условия, которые, собственно и выделяют системы и условия полной нормировки:

и

Максимизируя стандартным способом при заданных условиях, имеем

с наборами констант , и определяемым по , и условиям нормировки. Для зависимости кинетической энергии от числа частиц естественно предположить прямую пропорциональность. О такой зависимости для потенциальной энергии несколько слов будет сказано ниже. При этом автоматически определится величина .

Далее из легко получить:

где есть конфигурационный интеграл:

Для имеем уравнение:

Итак, мы получили выражение для энтропии как функции и .

---

<< 1. Вступление | Оглавление | 3. Модельный конфигурационный интеграл >>