Astronet Астронет: СОЖ Вариационные принципы в физике
http://variable-stars.ru/db/msg/1176656/text1.html

Вариационные принципы в физике

Е. Д. Трифонов

Российский государственный педагогический университет им. А.И. Герцена, Санкт-Петербург

Введение

Многие законы физики могут быть выведены из утверждения, что для истинного развития исследуемого процесса определенная характеристическая величина достигает минимального (в более общем случае экстремального) значения по сравнению с ее значениями для некоторых других возможных течений этого процесса. Чтобы математически сформулировать это утверждение, необходимо ввести в рассмотрение уравнения, описывающие данный процесс, и с помощью изменения (вариации) их формы добиться достижения экстремального значения вычисляемой характеристической величины. Те уравнения, при которых это экстремальное значение достигается, и выражают истинные законы изучаемого явления. В таком случае данное утверждение принимают за исходное и называют вариационным началом или вариационным принципом.

Обычное изложение механики (например, как в школьном курсе) основывается на трех законах Ньютона. Как известно, И. Ньютон внес особенно значительный вклад в развитие механики. В своем труде "Математические начала натуральной философии" (1687) [1] он решил множество сложных задач о движении материальной точки в поле центральных сил и этим конструктивно подтвердил правильность закона всемирного тяготения. Что касается второго закона Ньютона, то, оценивая его значение, А. Эйнштейн называл его главным законом не только механики, но и всей физики. Ньютон (наряду с Г.В. Лейбницем) был создателем дифференциального и интегрального исчислений, однако при решении механических задач он почти не пользовался этим математическим методом. Он применял геометрический метод. В упомянутой выше книге много чертежей, а стиль решения задач напоминает доказательство геометрических теорем.

Другое направление в механике возникло после работ Л. Эйлера, в которых был использован метод дифференциального и интегрального исчислений в форме, предложенной Лейбницем. Особое развитие это направление получило в трудах Ж. Лагранжа. Лагранж гордился тем, что в его книге "Аналитическая механика" (1788) нет ни одного рисунка или чертежа. Именно с применением аналитических методов в механике связаны интенсивное развитие и применение вариационных принципов. Сам термин "вариационный принцип" был впервые предложен в работе Эйлера. Однако, поскольку дифференциальное и интегральное исчисления лежат на границе школьных знаний по математике, мы не будем злоупотреблять ими и постараемся пояснить физическую идею вариационных принципов с помощью элементарных средств, доступных школьникам. Это как раз и будет составлять методическую особенность нашего изложения. Наверное, этот простой взгляд на достаточно сложную проблему окажется полезным и для тех, кто будет изучать эти вопросы на более серьезном уровне. Мы также советуем заинтересованному читателю познакомиться со статьей [2], посвященной изложению оптико-механической аналогии.

В наши дни исполняется 300 лет с того момента, когда были опубликованы первые сообщения о вариационном принципе в механике. В коротком письме на полстраницы, опубликованном в июньском номере немецкого научного журнала "Ученые труды" ("Acta Eruditorum") за 1696 год (см. [3]), Иоганн Бернулли поставил следующую задачу: "В вертикальной плоскости даны две точки А и В. Определить путь, спускаясь по которому под влиянием собственной тяжести, тело, начав двигаться из точки А, дойдет до точки В за кратчайшее время". В конце письма говорилось, что эта кривая хорошо известна в геометрии и что если по истечении текущего года никто не опубликует решение, то это сделает сам автор. В этот срок откликнулся только Лейбниц. Сообщая, что уже решил поставленную задачу, он предложил продлить конкурс до Пасхи следующего года. И вот в майском номере того же журнала за 1697 год были опубликованы решения этой задачи, полученные Лейбницем, Якобом Бернулли (братом И. Бернулли), Г. Лопиталем и самим Иоганном Бернулли. В майском же номере английского журнала "Философские труды" ("Philosophical Transactions") было помещено решение Ньютона без подписи. Но И. Бернулли определил автора. История сохранила его слова: "Я узнал льва по его когтям".

Как будет показано ниже, идея вариационных принципов в механике была инициирована вариационным принципом в оптике - принципом Ферма.

Вариационный принцип геометрической оптики - принцип Ферма

Вариационный принцип геометрической оптики был предложен Пьером Ферма (1601-1665) несколько ранее описанных выше событий, а именно в 1662 году: Если две точки находятся в различных прозрачных (однородных) средах, то луч света, чтобы пройти от одной точки к другой, преломляется у плоской поверхности, по которой соприкасаются обе среды, таким образом, что употребляет возможно меньшее время, совершенно так же, как это происходит при отражении от плоской поверхности. Хотя сам Ферма исходил из довольно общего постулата - природа действует наиболее легкими и доступными путями, - его статья носила вполне конструктивный характер (см.[3]). Он доказал, что принцип наименьшего времени является следствием закона преломления.

Выше мы привели формулировку принципа Ферма, данную Христианом Гюйгенсом (1629-1695), современником Ферма, в его знаменитом "Трактате о свете" (1678) [4]. Мы воспроизведем здесь также почти дословно принадлежащее ему доказательство принципа Ферма, обладающее большей простотой по сравнению с доказательством самого Ферма.

Так же как и Ферма, Гюйгенс считал, что в плотной среде свет распространяется с меньшей скоростью, чем в вакууме. Пусть KF - плоскость, разделяющая две среды (рис. 1), и точка A находится в менее плотной среде (например, в воздухе), а точка C - в более плотной среде (например, в воде). Пусть луч проходит из точки A через точку B, лежащую на границе, в точку C в соответствии с законом преломления

$\frac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2}=\frac{n_2}{n_1}=\frac{c_1}{c_2},$ (1)

где n1, c1, n2, c2 - показатели преломления и скорости распространения света в верхней и нижней средах соответственно. По предположению, n1<n2, c1>c2.

Требуется доказать, что время прохождения света по такому лучу самое короткое по сравнению с временем прохождения по любому другому преломленному лучу. Применим доказательство от противного. Допустим, что свет прошел по другому лучу AFC, так что точка F отстоит от точки A дальше, чем точка B. Проведем прямую FO', параллельную AB, и построим перпендикуляры AO и BH к этим прямым. Опустим также перпендикуляр FG на прямую BC. Из того, что $\angle HBF$ равен $\angle PBA$, а $\angle BFG$ равен $\angle QBC$ (как углы с соответственно ортогональными сторонами), следует, что

$\frac{HF}{BG}=\frac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2}.$ (2)

Поэтому, согласно (1), время распространения света по отрезку HF равно времени распространения по отрезку BG:

$\frac{HF}{c_1}=\frac{BG}{c_2}$

Таким образом, время прохождения света по лучу OF было бы равно времени прохождения света по пути ABG. Далее очевидно, что так как гипотенуза FC больше катета GC, то время прохождения по пути OFC больше, чем по пути ABC. Наконец, поскольку гипотенуза AF больше катета OF, то время прохождения света по пути AFC больше времени прохождения света по пути OFC и тем более по пути ABC. К аналогичному заключению можно прийти и в случае, когда точка F лежит левее точки B. Таким образом, время прохождения света по ABC самое короткое из возможных, что и требовалось доказать.

Интересно, что доказательству Гюйгенса закона преломления на основании его гипотезы о волновой природе света (которое приводится в школьном курсе физики) предшествовало рассуждение патера Меньяна "О солдатском фронте" (1648) (см. [5]). Его использовал Исаак Барроу (1631-1667) в своих "Лекциях по математике и оптике" (1668), в подготовке к изданию которых участвовал Исаак Ньютон (1643-1727). (Ньютон был учеником и преемником Барроу по Лукасовской кафедре в Кембриджском университете.) Эти рассуждения очень просты и наглядны. Они сводятся к тому, что при переходе из одной среды в другую световой фронт меняет свое направление так же, как меняет направление шеренга солдат, когда луг, по которому идут солдаты, преграждается пашней и граница между пашней и лугом проходит под углом к шеренге. Скорость движения солдат по пашне меньше, чем по лугу. Для сохранения строя солдаты должны маршировать по параллельным линиям как при движении по лугу, так и по пашне. Рисунок, иллюстрирующий такое движение солдатского фронта, аналогичен тому, который использовал Гюйгенс для объяснения изменения волнового фронта при преломлении и который теперь воспроизводится во всех учебниках. Очевидно, что фронт солдат быстрее всего пересечет любое замеченное место на пашне, если направление шеренги будет подчиняться закону преломления (1). Таким образом, в этих рассуждениях фактически содержалось доказательство закона преломления на основании принципа Ферма.

Принцип Ферма справедлив для любой неоднородной оптической среды с непрерывно изменяющимся показателем преломления. Здесь только следует сделать существенную оговорку: в неоднородной оптической среде две точки могут быть соединены несколькими лучами (примером может служить ход лучей при возникновении нижнего миража) (см. [2]). Поэтому требуется уточнение формулировки принципа Ферма: время распространения света вдоль луча между двумя точками неоднородной оптической среды с непрерывно изменяющимся показателем преломления минимально по сравнению с временем распространения света вдоль любой бесконечно близкой траектории, соединяющей эти же точки. По поводу других уточнений формулировки принципа Ферма мы вынуждены отослать читателя к более детальному изложению этого вопроса [6].

Задача о брахистохроне

Теперь расскажем более подробно о том самом вариационном принципе, который был предложен Иоганном Бернулли (1667-1748). Поставленная им задача получила название задачи о брахистохроне, то есть о линии наибыстрейшего спуска. Предполагается, что материальная точка находится в однородном поле тяжести и может скатываться вниз по некоторой траектории (как бусинка, нанизанная на проволоку определенной формы). Трением при этом пренебрегают, а начальная скорость материальной точки равна нулю. Ответ, полученный И. Бернулли: этой кривой является циклоида - кривая, которую описывает точка на ободе колеса при его качении.

Рассмотрим одно важное для дальнейшего свойство циклоиды. Пусть задана окружность диаметра d, которая катится по прямой y = d в положительном направлении оси ОX, как это показано на рис. 2.

Пусть точка М окружности в начальный момент времени имела координаты x = 0, y = d. К моменту времени t окружность повернулась на угол $\phi$, и точкой касания окружности оси OX является точка N. Точка N имеет нулевую мгновенную скорость, и, как говорят, через нее проходит мгновенная ось вращения. Поэтому точка М в данный момент движется по окружности радиуса MN, а касательная к циклоиде в точке M перпендикулярна к мгновенному радиусу вращения MN.

Учитывая это, можно без большого труда определить, что угол $\alpha$, который касательная SMK образует с осью OY, равен $\phi/2$. Ординату y точки M можно представить в виде

$y=\frac{d}{2}+\frac{d}{2}\cos\phi.$ (3)

Отсюда с помощью элементарных тригонометрических формул получаем уравнение, связывающее ординату точки циклоиды с углом $\alpha$:

$\sin\alpha=\sqrt{1-\frac{y}{d}}.$ (4)

С помощью этого уравнения можно провести построение циклоиды. Заметим, что в точке A (x = 0, y = d), из которой исходит циклоида, a = 0 и, следовательно, касательная параллельна оси OY. Сместившись на малую величину D вдоль оси ОY, получим с помощью (4) новое направление касательной и, перемещаясь вдоль этого направления опять на малую величину D, найдем новую точку циклоиды, в которой таким же способом сможем определить следующее положение касательной и т.д.

Итак, мы привели ответ, не показав, как он был получен. Не будем в точности повторять доказательство Бернулли, но используем его основную идею. Он исходил из принципа Ферма. Ведь минимум времени прохождения света, как мы видели в предыдущем разделе, целиком определяется выполнением закона преломления, связывающего синусы углов падения и отражения со скоростями света в соответствующих средах. Рассмотрим слоистую плоскую среду, где в каждом слое свет имеет свою скорость. Закон преломления в этом случае может быть выражен соотношением

$\sin\alpha_i=ac_i,$ (5)

где $\alpha_i$ - угол падения на границу, разделяющую i-й и (i + 1)-й слои, ci - скорость света в i-м слое, a - некоторая константа, одинаковая для всех слоев.

Очевидно, что принцип минимума времени движения будет справедлив и для материальной точки, если для нее выполняется аналогичное соотношение между величиной скорости в данной точке траектории и синусом угла между направлением скорости и направлением, перпендикулярным к плоскости слоя, в котором абсолютное значение скорости одинаково. (Слова Бернулли: "Что мешает нам в этом случае поставить одно на место другого?")

Скорость тела при его движении в однородном поле тяжести, когда оно движется без трения по некоторой поверхности (например, по наклонной плоскости), зависит только от высоты падения: $v=\sqrt{2gh}$, где g - ускорение свободного падения, h - высота падения. Таким образом, слои, в которых скорости материальной точки одинаковы, расположены горизонтально, а направление, ортогональное к плоскости слоя, совпадает с направлением вертикали. Следовательно, задача о брахистохроне сводится к нахождению такой кривой, соединяющей две заданные точки, для которой синус угла между касательной к траектории и вертикалью удовлетворял бы соотношению (5)

$\sin\alpha=av=\sqrt{\frac{h}{b}},$ (6)

где b - пока произвольная константа. Сравнивая (6) с (4), мы видим, что уравнение совпадает с уравнением циклоиды, причем константа b имеет смысл диаметра окружности, а h=d-y.

Назад | Вперед

Rambler's Top100 Яндекс цитирования