Астронет: Л.А. Василевская, Н. В. Михеев, А.Я. Пархоменко Задания по квантовой теории поля в сильном внешнем магнитном поле http://variable-stars.ru/db/msg/1176430/node4.html

Задания по квантовой теории поля

---

<< Древесные процессы | Оглавление | Литература >>

Однопетлевые двухточечные процессы

(Задание 6, Задание 7, Задание 8, Задание 9)

Задание 6. Вычислить поляризационный оператор фотона в сильном магнитном поле.

Решение. Поляризационный оператор фотона может быть получен из амплитуды перехода фотона в фотон. В низшем порядке теории возмущений данный процесс описывается двухточечной петлевой диаграммой, изображенной на рис. 3.

Основной вклад в амплитуду будет давать электрон - частица, обладающая наибольшим удельным зарядом. Будем считать, что напряженность магнитного поля является самым большим параметром задачи , . Наличие внешнего поля не меняет локального лагранжиана взаимодействия: , где  - электронный ток. -матричный элемент есть:

Поскольку фотон - нейтральная частица, то внешнее магнитное поле не меняет вида его волновой функции, и при вычислениях можно воспользоваться ее стандартным вторично квантованным представлением в виде разложения по плоским волнам. После свертки волновых функций электрона в пропагатор  (3.15) -матричный элемент приводится к виду:

Следует отметить, что для двухточечной петли с циркулирующим зарядом неинвариантный фазовый множитель (3.20) в электронном пропагаторе (3.15) обращается в единицу, поскольку

В результате -матричный элемент (6.2) оказывается трансляционно инвариантным. Переход от переменной интегрирования  к новой переменной позволяет легко проинтегрировать по , что дает четырехмерную -функцию, соответствующую закону сохранения энергии-импульса и отражающую тот факт, что начальное и конечное состояния образованы электрически нейтральными частицами. Отмеченное свойство амплитуды перехода фотона в фотон позволяет воспользоваться стандартным определением инвариантной амплитуды:

что приводит к следующему результату:

Как было указано выше, амплитуда перехода фотона в фотон позволяет получить поляризационный оператор фотона :

Воспользовавшись явным видом амплитуды (6.5), для поляризационного оператора получим:

Подставляя пропагаторы электронов в виде (3.15) и интегрируя по , поляризационный оператор фотона можно привести к виду:

Получившийся интеграл по двумерному псевдоевклидову пространству идентичен по виду (за исключением проекционного оператора ) интегралу по четырехмерному пространству, возникающему при вычислении поляризационного оператора в вакууме. Поэтому в дальнейшим естественно воспользоваться методикой, используемой при вычислениях в вакууме. Вводя параметризацию Фейнмана и вычисляя шпур в двумерном пространстве, поляризационный оператор можно привести к виду:

где введены скалярный , векторный и тензорный интегралы:

Из введенного набора интегралов скалярный и векторный конечны и хорошо определены:

в то время как тензорный имеет логарифмическую расходимость и должен быть регуляризован, т. е. каким-либо образом доопределен.

Анализ показывает, что в поляризационный оператор (6.9) тензорные интегралы входят в такой комбинации, что имеет место "случайное" сокращение логарифмической расходимости. Однако результат вычислений существенным образом зависит от метода регуляризации, поскольку имеет место неопределенность типа "бесконечность минус бесконечность", порождающая произвол в остающихся конечных членах. Такое поведение поляризационного оператора фотона отражает недостаток двумерной КЭД, эффективно возникающей в случае сильного магнитного поля, в ее применении к вычислению двухточечных петлевых амплитуд. Наиболее корректный подход для получения правильного результата состоит в вычислении поляризационого оператора фотона в магнитном поле произвольной напряженности и взятии предела сильного поля. Однако такой же результат может быть получен и при использовании метода размерной регуляризации, которым мы и воспользуемся.

Тензорный интеграл, вычисленный методом размерной регуляризации, равен:

где введен вспомогательный параметр - размерность подпространства импульсов, который следует положить только в конце вычислений. Как было отмечено ранее, разность двух слагаемых в (6.9), содержащих тензорные интегралы, конечна и в пределе двумерного пространства () есть:

где учли, что в -мерном подпространстве .

Подставляя в поляризационный оператор (6.9) значения скалярного и векторного интегралов (6.11), а также разность (6.13) тензорных интегралов, получим следующий результат:

Интеграл по  зависит от соотношения между массой и импульсом фотона. При у интеграла в (6.14) появляется мнимая часть, т. е. фотон становится нестабильным и может распадаться на электрон-позитронную пару.

В заключение следует отметить, что вычисление поляризационного оператора методом размерной регуляризации автоматически приводит к калибровочно инвариантному результату:

в соответствии с общими требованиями квантовой электродинамики.

Задание 7. Найти собственные функции и собственные значения поляризационного оператора фотона в сильном магнитном поле.

Решение. Задача о нахождении собственных функций и собственных значений поляризационного оператора фотона (6.14) существенно упрощает дальнейший анализ этого тензора. Из условия калибровочной инвариантности поляризационного оператора (6.15) следует, что 4-импульс фотона является собственной функцией с нулевым собственным значением. При этом 4-импульс фотона можно считать "четвертым" базисным вектором из набора (1.17). Легко проверить, что и три других базисных вектора () также являются собственными функциями поляризационного оператора (6.14):

причем первый и третий - с нулевыми собственными значениями. Только второй базисный вектор имеет ненулевое собственное значение:

Это означает, что в разложении тензора по базису в соответствии с (1.20) "выживает" только одно слагаемое, так что поляризационный оператор (6.14) принимает вид:

Только фотон "второй" поляризации c дает вклад в поляризационный оператор в сильном магнитном поле.

Перейдем к вычислению собственного значения . Для этого в формуле (7.2) удобно перейти к новой переменной интегрирования и ввести параметр :

где учли, что интеграл берется в комплексной плоскости и бесконечно малое слагаемое в знаменателе определяет смещение положения полюсов с вещественной оси в верхнюю или нижнюю полуплоскость. Воспользуемся теперь формулой Сохоцкого из теории функций комплексной переменной:

и представим интеграл по в виде:

Мнимая часть этого интеграла будет отлична от нуля, если , так, чтобы аргумент какой-либо из -функций обратился в нуль. Пусть для определенности параметр будет неотрицательным, т. е. , и в мнимой части "сработает" только одна -функция - . Такое ограничение на  приводит к ограничению снизу на продольную составляющую квадрата 4-импульса фотона: , что эквивалентно введению -функции - . Окончательно собственное значение можно записать как:

где введена вещественная функция:

в которой интеграл понимается в смысле главного значения. Функция имеет различные значения в зависимости от знака .

Отрицательные . Этому случаю соответствует следующее значение квадрата продольной составляющей 4-импульса фотона: . В этой кинематической области вещественна и равна:

Положительные . В этом случае , и в соответствии с формулой (7.7) для получим:

где . Появление мнимой части у означает, что при таких значениях квадрата продольной составляющей 4-импульса фотон становится нестабильным и может распадаться на электрон-позитронную пару. Вероятность распада может быть определена по мнимой части :

Это выражение в точности совпадает с вероятностью (4.13), полученной непосредственным вычислением в задании 4.

Задание 8. Вычислить массовый оператор аксиона в сильном магнитном поле.

Решение. Массовый оператор аксиона может быть получен из амплитуды перехода аксиона в аксион, который в низшем порядке теории возмущений описывается двухточечной петлевой диаграммой, изображенной на рис. 4.

Как и в случае поляризационного оператора фотона, основной вклад в амплитуду будет давать электрон - частица, обладающая наибольшим удельным зарядом. Для корректного вычисления амплитуды воспользуемся локальным лагранжианом взаимодействия аксиона с электроном: , где  - аксиально-векторный ток. -матричный элемент есть:

Так же, как и для фотона, для волновой функции аксиона воспользуемся стандартным вторично квантованным представлением в виде разложения по плоским волнам. Сворачивая волновые функции электрона в пропагаторы  (3.15), запишем -матричный элемент в виде:

Неинвариантный фазовый множитель обращается в единицу в соответствии с (6.3), что приводит к трансляционной инвариантности -матричного элемента (8.2). В полной аналогии с фотоном можно ввести инвариантную амплитуду перехода в соответствии со стандартным определением (6.4):

Подставим пропагатор электрона в форме (3.15) и проинтегрируем амплитуду перехода по :

C учетом антикоммутационных свойств матрицы амплитуда перехода может быть записана в форме:

где - поляризационный оператор фотона (6.14). Второе слагаемое обращается в нуль в силу калибровочной инвариантности поляризационного оператора (6.15). Шпур в первом слагаемом равен , а интеграл по после введения параметризации Фейнмана сводится к скалярному интегралу со значением (6.11). Результат для амплитуды следующий:

Получившийся интеграл по , вообще говоря, комплексный, и его реальная часть с точностью до множителя совпадает с функцией , определенной в формуле (7.8), а мнимая часть становится отличной от нуля при .

Индуцированная внешним полем поправка к массе аксиона, с точностью до знака совпадающая с амплитудой перехода , равна:

где . Как и в случае собственного значения поляризационного оператора фотона, поправка к массе аксиона существенно различна при и .

Отрицательные . Этому случаю соответствует . В этой кинематической области поправка вещественна и равна:

Положительные . В этом случае , и в соответствии с формулой (8.7) получим:

Возникновение мнимой части у при таких значениях квадрата продольной составляющей 4-импульса аксиона указывает на его нестабильность в рассматриваемой кинематической области, т. е. существует ненулевая вероятность распада аксиона на электрон-позитронную пару. Вероятность распада может быть определена по мнимой части квадрата массы аксиона:

Этот результат в точности совпадает с вероятностью (5.5), полученной ранее непосредственным вычислением в задании 5.

Задание 9. Вычислить амплитуду перехода аксиона в фотон в сильном магнитном поле.

Решение. Амплитуда перехода аксиона в фотон, запрещенного в вакууме из-за различий в спине частиц, становится отличной от нуля в присутствии внешнего электромагнитного поля. В низшем порядке теории возмущений этот процесс описывается двухточечной петлевой диаграммой, изображенной на рис. 5, как и в предыдущих заданиях 6 и 8.

Основной вклад в амплитуду будет давать электрон. В соответствии с диаграммой, -матричный элемент перехода может быть записан:

Воспользуемся стандартным вторично квантованным представлением в виде разложения по плоским волнам для волновых функций аксиона и фотона. После свертки электронных волновых функций в пропагаторы -матричный элемент принимает вид:

Неинвариантный фазовый множитель обратился в единицу в соответствии с (6.3), что приводит к трансляционной инвариантности -матричного элемента (9.2). После перехода к новой переменной интегрирования интеграл по  легко берется и дает четырехмерную -функцию, соответствующую закону сохранения энергии-импульса. Воспользуемся стандартным определением инвариантной амплитуды (6.4) для перехода :

Подставляя пропагатор электрона в форме (3.15) и интегрируя амплитуду перехода по , получим:

Значения двух отличных от нуля шпуров в интеграле вычисляются с помощью формул (1.15) и равны:

После введения параметризации Фейнмана амплитуда перехода в терминах скалярного, векторного и тензорного интегралов (6.10) имеет вид:

Скалярный и векторный интегралы имеют значения, приведенные в (6.11), а два тензорных интеграла, имеющих логарифмические расходимости, входят в виде точно такой же разности , что и в поляризационном операторе фотона . Напомним, что в этой разности расходимости "случайным" образом сокращаются, и результат существенно зависит от способа регуляризации тензорного интеграла. Воспользуемся выражением (6.13) для разности, полученным методом размерной регуляризации, и получим для амплитуды перехода следующее выражение:

Интеграл по в точности такой же, как и в собственном значении  (7.2) поляризационного оператора фотона, поэтому с учетом анализа этого интеграла в задаче 7 выпишем здесь только окончательный результат:

где , и функция определена в (7.8). Следует обратить внимание на общий псевдоскалярный множитель , пропорциональный свертке тензора электромагнитного поля фотона и дуального тензора внешнего магнитного поля и отражающий специфику взаимодействия аксиона с фотонами. С учетом псевдоскалярной природы аксиона эффективный лагранжиан, который может быть восстановлен по этой амплитуде, будет скалярной величиной.

Как и в случае собственного значения поляризационного оператора фотона, амплитуда перехода аксиона в фотон различна при и . Рассмотрим каждый из указанных случаев по отдельности.

Отрицательные . Этому случаю соответствует . В этой кинематической области амплитуда перехода чисто мнимая и равна:

Положительные . В этом случае , и в соответствии с формулой (9.8) получим:

Возникновение вещественной части у амплитуды перехода аксиона в фотон при таких значениях квадрата продольной составляющей 4-импульса аксиона (а значит, и фотона в соответствии с законом сохранения энергии-импульса) указывает на нестабильность этих частиц в рассматриваемой кинематической области, т. е. дополнительно у аксиона появляется возможность распадаться на электрон-позитронную пару.

Следует отметить, что полученная нами амплитуда перехода аксиона в фотон может быть неверна из-за аномалии Адлера-Белла-Джакива. Чтобы получить корректный результат для амплитуды, следует применить следующую процедуру: вычесть из амплитуды (9.8) линейное по внешнему полю слагаемое при нулевом переданном 4-импульсе (, ) и к полученному выражению прибавить корректное выражение, соответствующее аномалии. В пределе сильного магнитного поля амплитуда перехода аксиона в фотон (9.7) пропорциональна и обращается в нуль в пределе . Это означает, что вычисленная нами амплитуда (9.8), вообще говоря, является правильной только с точностью до аномального члена.

---

<< Древесные процессы | Оглавление | Литература >>