Астронет > Векторное поле

Астронет: "Физическая Энциклопедия"/Phys.Web.Ru Векторное поле
http://variable-stars.ru/db/msg/1176273

Векторное поле
3.12.2001 0:00 | "Физическая Энциклопедия"/Phys.Web.Ru

Векторное поле - поле физическое, состоящее из трех независимых компонент, преобразующихся при поворотах координатных осей или Лоренца преобразованиях как компоненты вектора или 4-вектора. Примером векторного поля может служить поле скоростей в гидродинамике, электро-магнитное поле (описываемое четырехмерным вектор-потенциалом $A_{\mu}(x)$ , $\mu=0, 1, 2, 3$ , x-точка пространства-времени) и т. д.

В квантовой теории поля (КТП) квантами векторного поля являются векторные частицы (т. е. частицы со спином 1), например, фотон. При этом действительному векторному полю соответствует электрически нейтральная частица, а комплексному - заряженная частица (и ее античастица с зарядом противоположного знака).

По поведению относительно пространственной инверсии (замене координат $r \rightarrow -r$ ) векторные поля делят на собственно векторные, меняющие знак при инверсии, и аксиальные, или аксиально-векторные, не меняющие знака.

В релятивистской теории векторного поля $V_{\mu}(x)$ должно подчиняться дополнительному условию:

${\displaystyle{\partial {V_{\mu}}(x)} \over \displaystyle{\partial {x^{\mu}}}}=0$ , (1)

которое сводит число его независимых компонент до трех, соответствующих спину 1, и исключает часть, соответствующую спину 0.

Свободное комплексное векторное поле подчиняется Клейна-Гордона уравнению и в импульсном представлении имеет вид (в системе единиц $\hbar=c=1$ ):

$V_{\mu}(x)={\displaystyle{1} \over \displaystyle{(2\pi)^{3/2}}} \int {\displaystyle{d^{2}k} \over \displaystyle{\sqrt{2k_0}}}[e_{\mu}^{\lambda}a_{\lambda}(k)e^{i(k_{0}t-kr)}+e_{\mu}^{\lambda} \tilde{a}_{\lambda}^{+}(k)e^{-i(k_{0}t-kr)}]$ , (2)

где k и $k_0=\sqrt{k^2+m^2}$ - соответственно волновой вектор и частота плоской волны, m - параметр, играющий в КТП роль массы кванта поля, $e_{\mu}^{\lambda}$ - четырехмерный вектор поляризации ( $\lambda=1, 2, 3$ - поляризации индекс), $a_{\lambda}(k)$ , $\tilde{a}_{\lambda}(k)$ и эрмитово сопряженные им величины $a_{\lambda}^{+}(k)$ , $\tilde{a}_{\lambda}^{+}(k)$ - некоторые комплексные функции k. В силу условия (1) $k_{\mu}e_{\mu}^{\lambda}=0$ , или $e_0^{\lambda}-ke^{\lambda}/k_0$ , т. е. $e_{\mu}^{\lambda}$ имеет три независимые компоненты e¹, e², e³ при этом $e^3=(k/ \mid k \mid)(k_0/m)$ , a e¹, e² два единичных вектора (орта поперечной поляризации), перпендикулярные k и друг другу. Вместо них часто используют векторы так называемого спирального базиса $e_{\pm}=(e^1 \pm ie^2)/ \sqrt{2}$ , описывающего циркулярную поляризацию, или спиральность. В КТП величины $a_{\lambda}$ превращаются в операторы, подчиняющиеся перестановочным соотношениям:

$[a_{\lambda}^{+}(k), a_{\lambda'}(k')]_{-}=[\tilde{a}_{\lambda}^{+}(k), \tilde{a}_{\lambda'}(k')]_{-}=\delta_{\lambda \lambda'} \delta (k-k')$ , (3)

где $\delta_{\lambda \lambda'}$ - Кронекера символ, $\delta (k-k')$ - дельта-функция (Дирака) векторного аргумента, а все остальные коммутаторы равны нулю, что позволяет трактовать эти величины как операторы рождения частицы ( $a_{\lambda}^{+}(k)$ ) и античастицы ( $\tilde{a}_{\lambda}^{+}(k)$ ) с импульсом k, массой m и линейной поляризацией $e^{\lambda}$ , a $a_{\lambda}(k)$ , и $\tilde{a}_{\lambda}(k)$ - как операторы уничтожения частицы и античастицы в этих состояниях.