Астронет > Колебания и волны

Астронет: Научная Сеть/НС Колебания и волны
http://variable-stars.ru/db/msg/1175791/page39.html

Колебания и волны. Лекции.

В.А.Алешкевич, Л.Г.Деденко, В.А.Караваев (Физический факультет МГУ)
Издательство Физического факультета МГУ, 2001 г. Содержание

В 1834 году шотландский инженер-кораблестроитель и ученый Дж. Рассел, наблюдая за движением баржи по каналу, которую тащила пара лошадей, обратил внимание на удивительное явление. При внезапной остановке судна масса воды вокруг баржи в узком канале не остановилась, а собралась около носа судна, и затем оторвалась от него и в виде большого уединенного водного холма стала двигаться со скоростью около 8 миль в час. Удивительно, что форма холма в процессе его движения практически не менялась. Рассел назвал это движущееся по поверхности воды образование "great solitary wave", что в переводе означает "большая уединенная волна".

Теоретическое объяснение уединенные волны получили впоследствии в работах французского ученого Ж. В. де Буссинеска и английского физика Дж. Рэлея. Они обосновали математически возможность существования уединенных волн в мелководных каналах.

После смерти Рассела в 1895 году голландский физик Д. Кортевег и его ученик Г. де Фрис вывели уравнение, описывающее уединенные волны. Это уравнение получило название уравнения Кортевега - де Фриса (уравнение КДФ) и имеет вид

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial s}}{\displaystyle {\displaystyle \partial t}}} + c_{0} \left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial s}}{\displaystyle {\displaystyle \partial x}}} + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 3}}{\displaystyle {\displaystyle 2H}}}s{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial s}}{\displaystyle {\displaystyle \partial x}}} + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle H^{2}}}{\displaystyle {\displaystyle 6}}}{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial ^{3}s}}{\displaystyle {\displaystyle \partial x^{3}}}}} \right) = 0.$

(6.65)

Оно описывает распространение поверхностных гравитационных волн на мелкой воде. Здесь $c_{0} = \sqrt {\displaystyle gH}$ - скорость волн мелкой воды, $H$ - глубина водоема. Отметим сразу, что по виду уравнение КДФ отличается от нелинейного уравнения (6.50) наличием дополнительного члена ${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle H^{2}}}{\displaystyle {\displaystyle 6}}}{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial ^{3}s}}{\displaystyle {\displaystyle \partial x^{3}}}},$ ответственного за дисперсию гравитационных волн (хотя и небольшую на мелкой воде).

Рассмотрим несколько подробнее влияние нелинейности и дисперсии на распространение поверхностных гравитационных волн. По аналогии с нелинейными акустическими волнами сразу можем сказать, что скорость различных участков поверхностной волны будет различна:

$c = c_{0} \left( {\displaystyle 1 + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 3s}}{\displaystyle {\displaystyle 2H}}}} \right).$

(6.66)

Из-за различия скоростей (гребень волны движется быстрее впадины) происходит превращение гармонической волны в пилообразную. Крутой фронт под действием силы тяжести опрокидывается, и на поверхности воды появляются пенистые гребешки. Опрокидывание фронта легко наблюдать при движении волны по мелководью вблизи берега (рис. 6.12). Однако в ряде случаев нелинейное искажение волны может компенсироваться дисперсией. В самом деле, пилообразная волна представляет собой набор гармонических волн с разными частотами. Из-за дисперсии эти волны движутся с разными скоростями, и поэтому пилообразный фрагмент волны, подобно импульсу, стремится расшириться. При определенной форме фрагмента оба конкурирующих механизма могут компенсировать друг друга, и тогда по поверхности воды побежит устойчивая структура в виде уединенной волны (солитона). Выясним некоторые свойства этой уединенной волны.

Рис. 6.12.

Предположим, что солитон имеет амплитуду $s_{0},$ протяженность вдоль оси Ox, равную $\ell,$ и представляет собой некоторый холмик, изображенный на рисунке 6.13. Оценим величины нелинейного и дисперсионного членов в уравнении КДФ:

$\begin{array}{l} {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 3}}{\displaystyle {\displaystyle 2H}}}s{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial s}}{\displaystyle {\displaystyle \partial x}}}\sim {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle H}}}s_{0} {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle s_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle \ell }}}; \\ {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle H^{2}}}{\displaystyle {\displaystyle 6}}}{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial ^{3}s}}{\displaystyle {\displaystyle \partial x^{3}}}}\sim - H^{2}{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle s_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle \ell ^{3}}}}. \\ \end{array}$

(6.67)

В (6.67) учтено, что на переднем и заднем фронтах холмика ${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial ^{3}s}}{\displaystyle {\displaystyle \partial x^{3}}}} \lt 0.$ Естественно, что оба механизма будут компенсировать друг друга при условии

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle H}}}s_{0} {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle s_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle \ell }}} - H^{2}{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle s_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle \ell ^{3}}}} \approx 0.$

(6.68)

Последнее накладывает связь на амплитуду $s_{0}$ и длину $\ell$ солитона:

$\ell ^{2} \approx {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle H^{3}}}{\displaystyle {\displaystyle s_{0} }}}.$

(6.69)

Таким образом, чем больше амплитуда солитона $s_{0},$ тем меньше должна быть его длина $\ell.$ Скорость солитона c возрастает с ростом амплитуды, что характерно для нелинейного распространения волн.

Рис. 6.13.

Точное решение уравнения КДФ, описывающее солитон, имеет вид

$s(t,x) = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle s_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle ch^{2}\left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle x - ct}}{\displaystyle {\displaystyle \ell }}}} \right)}}}.$

(6.70)

При этом длина солитона $\ell$ связана с амплитудой $s_{0}$ соотношением

$\ell ^{2} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 4H^{3}}}{\displaystyle {\displaystyle 3s_{0} }}},$

(6.71)

а скорость

$c = c_{0} \left( {\displaystyle 1 + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle s_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle 2H}}}} \right).$

(6.72)

Если $s_{0} \ll H,$ то последнее выражение можно переписать в виде

$c = \sqrt {\displaystyle gH} \left( {\displaystyle 1 + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle s_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle H}}}} \right) \approx \sqrt {\displaystyle g(H + s_{0} )}.$

(6.73)

Эту формулу мы уже записывали при качественном обсуждении поведения гравитационных волн по мере их приближения к берегу.

Важно подчеркнуть, что солитон является устойчивой структурой. Если первоначально соотношение (6.71) не выполняется и амплитуда $s_{0}$ слишком велика, то водяной холм распадается на несколько меньших холмиков, из которых сформируются солитоны. Напротив, если $s_{0}$ слишком мала, то такой низкий холм расползется вследствие дисперсии.

По современным представлениям большинство волн цунами образуются, когда достаточно крупный, но безвредный в океане солитон выбрасывается на берег. При подходе к берегу он становится выше и короче, и его высота становится сравнима с глубиной океана вблизи берега.

В заключение этой темы отметим, что в настоящее время обнаружены солитоны для волн различной природы. Так, например, существуют солитоны при распространении акустических волн в кристаллах, световых импульсов в волоконных световодах, ионно-звуковых волн в плазме и др. Во всех случаях существование солитонов обусловлено взаимной компенсацией нелинейных и дисперсионных эффектов. Естественно, что энергия, переносимая уединенной волной любой природы, будет диссипировать в тепло, поэтому по мере распространения амплитуда солитона будет стремиться уменьшиться, что, естественно, рано или поздно приведет к его исчезновению.

Колебания и волны. Лекции.

Уединенные волны (солитоны).