Астронет > Колебания и волны

Астронет: Научная Сеть/НС Колебания и волны
http://variable-stars.ru/db/msg/1175791/page37.html

Колебания и волны. Лекции.

В.А.Алешкевич, Л.Г.Деденко, В.А.Караваев (Физический факультет МГУ)
Издательство Физического факультета МГУ, 2001 г. Содержание

Рассуждения, приведенные выше, носят качественный характер. Для количественного описания нелинейного распространения волн мы используем наиболее упрощенный подход к анализу системы нелинейных уравнений (6.40) - (6.41). Оговоримся сразу, что поскольку уравнения Эйлера описывают поведение невязкой среды, то мы сможем проанализировать распространение волны лишь на первых двух этапах.

Перепишем уравнения в (6.41) в виде:

$\begin{array}{l} \rho _{0} {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v}}{\displaystyle {\displaystyle \partial t}}} + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial \delta p}}{\displaystyle {\displaystyle \partial x}}} = - \delta \rho {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle dv}}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} - \rho _{0} v \cdot {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v}}{\displaystyle {\displaystyle \partial x}}} - \delta \rho \cdot v \cdot {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v}}{\displaystyle {\displaystyle \partial x}}}, \\ {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial \delta \rho }}{\displaystyle {\displaystyle \partial t}}} + \rho _{0} {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v}}{\displaystyle {\displaystyle \partial x}}} = - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial }}{\displaystyle {\displaystyle \partial x}}}(v \cdot \delta \rho ), \\ \end{array}$

(6.44)

где все нелинейные члены, по порядку величины меньшие линейных, перенесены в правые части уравнений.

С учетом малости нелинейных членов для этих уравнений в нелинейной акустике разработаны приближенные методы решения, смысл которых состоит в получении значительно более простых уравнений, имеющих в ряде случаев несложные аналитические решения. Одно из таких уравнений мы сейчас и получим, однако сделаем это предельно просто. Для этого, во-первых, мы ограничимся вначале лишь кинематической нелинейностью, а, во-вторых, будем предполагать, что между скоростью $v$ и возмущением $\delta \rho$ существует такая же связь, как и в линейном режиме:

$- \varepsilon = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \delta p}}{\displaystyle {\displaystyle p_{0} }}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \delta \rho }}{\displaystyle {\displaystyle \rho _{0} }}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle v}}{\displaystyle {\displaystyle c_{0} }}},$

(6.45)

где $\varepsilon$ - относительная деформация элементарного объема газа ( $\varepsilon \lt 0$ при сжатии и $\varepsilon \gt 0$ при разрежении). Эта связь позволяет нам ограничиться одним из двух уравнений гидродинамики. Предпочтительнее, например, воспользоваться более простым уравнением непрерывности. При подстановке во второе уравнение (6.44) возмущения плотности $\delta \rho,$ пропорционального, согласно (6.45), гидродинамической скорости v, получаем нелинейное уравнение:

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v}}{\displaystyle {\displaystyle \partial t}}} + c_{0} {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v}}{\displaystyle {\displaystyle \partial x}}} = - 2v{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v}}{\displaystyle {\displaystyle \partial x}}}.$

(6.46)

Заметим, что в линейном режиме, когда правая часть уравнения равна нулю, его решением является любая функция вида:

$v(x,t) = f(t - x / c_{0} ),$

(6.47)

описывающая бегущую со скоростью $c_{0}$ без искажения вдоль оси Ox акустическую волну.

В нелинейном режиме ситуация усложняется. В самом деле, перепишем уравнение (6.46) в виде

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v}}{\displaystyle {\displaystyle \partial t}}} + (c_{0} + 2v){\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v}}{\displaystyle {\displaystyle \partial x}}} = 0.$

(6.48)

Отсюда видно, что скорость участка волны равна

$c = c_{0} + 2v$

(6.49)

и зависит от гидродинамической скорости частиц.

Для фрагмента гармонической волны гидродинамической скорости, изображенного на рис. 6.10, это означает, что синусоидальное распределение скорости вдоль оси Ox трансформируется в пилообразное. Следовательно, оба механизма нелинейности способствуют трансформации гармонической волны в пилообразную.

Рис. 6.10.

Если бы мы с самого начала учли действие обоих механизмов нелинейности, то из уравнений (6.44) и (6.40) мы бы получили уравнение

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v}}{\displaystyle {\displaystyle \partial t}}} + (c_{0} + \beta v){\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v}}{\displaystyle {\displaystyle \partial x}}} = 0,$

(6.50)

где $\beta = (\gamma + 1) / 2$ - нелинейный параметр, отражающий действие обоих механизмов нелинейности. Справедливости ради отметим, что формула (6.49) не является точной, поскольку в отсутствие физической нелинейности $(\gamma = 1)$ нелинейный параметр $\beta = 1,$ и на самом деле $c = c_{0} + v.$ Это связано с тем, что мы использовали связь в виде (6.45), которая для волн конечной амплитуды не является верной.

По аналогии с (6.47) мы можем записать решение уравнения (6.50) в виде:

$v(x,t) = f\left( {\displaystyle t - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle x}}{\displaystyle {\displaystyle c_{0} + \beta v}}}} \right).$

(6.51)

Это решение описывает эволюцию простых (Римановых) волн. Теперь не составляет труда количественно описать трансформацию гармонической волны в пилообразную.

Пусть на входе в среду (при $x = 0$ )

$v(0,t) = f(t) = v_{0} \sin \omega t.$

(6.52)

Тогда на расстоянии $x$

$v = v_{0} \sin {\displaystyle \left[ {\displaystyle \omega \left( {\displaystyle \tau + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \beta }}{\displaystyle {\displaystyle c_{0}^{2} }}}x \cdot v} \right)} \right]}.$

(6.53)

Здесь $\tau = t - x / c_{0}$ - так называемое локальное время, отсчитываемое наблюдателем, находящимся на расстоянии $x$ от начала координат, от момента времени $x/c_{0}.$

Для построения графика зависимости (6.53) перепишем ее в явном виде

$\omega \tau = \arcsin {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle v}}{\displaystyle {\displaystyle v_{0} }}} - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle x}}{\displaystyle {\displaystyle \ell _{нл} }}} \cdot {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle v}}{\displaystyle {\displaystyle v_{0} }}},$

(6.54)

где

$\ell _{нл} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle c_{0}^{2} }}{\displaystyle {\displaystyle \omega v_{0} \beta }}}$

(6.55)

характерное расстояние, на котором развивается значительное нелинейное искажение волны. Это расстояние сокращается с ростом амплитуды $v_{0}$ исходной волны и нелинейного параметра.

На рис. 6.11 изображены распределения скорости в пределах одного периода колебаний для волны на расстояниях $x = 0\, (1);\; x \lt \ell _{нл}\, (2);\; x \gt \ell _{нл}\, (3).$ Из этих кривых видно, что синусоидальная волна превращается постепенно в пилообразную, а при $x \gt \ell _{нл}$ в профиле волны появляется неоднозначность. Эта неоднозначность не имеет физического смысла и возникла лишь из-за пренебрежения вязкостью газа. В действительности при $\omega \tau = 0$ скорость испытывает скачок, или разрыв (от величины скорости в точке А до величины скорости в точке В). Положение ударного фронта задается линией АВ, которую проводят так, чтобы заштрихованные площади сверху и снизу от АВ были бы одинаковы (в рассматриваемом случае АВ совпадает с осью Oy). Таким построением автоматически учитывается нелинейное затухание волны. Расстояние $\ell _{нл} ,$ как нетрудно теперь понять, является расстоянием, на котором у волны появляются разрывы скорости $v,$ плотности $\rho$ и давления $\delta p.$ К сожалению, без учета вязкости ширина ударного фронта получилась равной нулю. В реальной ситуации она конечна и возрастает с увеличением вязкости.

Рис. 6.11.

Учет вязкости позволяет описать III этап распространения, однако это выходит за рамки нашего курса.

Говоря об образовании ударного фронта в конце I этапа и последующем нелинейном затухании на II этапе, мы не должны забывать о наличии обычного (линейного) поглощения волны вследствие вязкости среды. Это поглощение характеризуется коэффициентом $\alpha$ (см. формулу (5.19)) и зависит от частоты. Амплитуда волны при линейном поглощении уменьшается по экспоненциальному закону уже на I этапе: $v_{0} (x) = v_{0} e^{ - x / \ell _{з} },$ где $\ell _{з} = \alpha ^{ - 1}$ характерное расстояние, характеризующее поглощение звука. Естественно, что уменьшение амплитуды $v_{0}$ "притормаживает" процесс искажения профиля волны. Если поглощение таково, что $\ell _{з} \lt \ell _{нл},$ то нелинейное искажение может и не проявляться вовсе.

В акустике отношение

$\rm Re} = \ell _{з} / \ell _{нл$

(6.56)

называют акустическим числом Рейнольдса. Если ${\displaystyle \rm Re} \gt 10,$ то волна считается мощной, и для нее имеет место нелинейное искажение. При ${\displaystyle \rm Re} \lt 1$ волна слабая, и нелинейное искажение подавлено обычным линейным поглощением.

Если учесть далее, что амплитуда скорости $v_{0}$ связана с амплитудой возмущения давления $(\delta p)_{0}$ акустическим законом Ома, то нелинейная длина будет обратно пропорциональна величине $(\delta p)_{0}$ :

$\ell _{нл} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \rho \,c_{0}^{3} }}{\displaystyle {\displaystyle 2\pi \beta \nu (\delta p)_{0} }}}.$

(6.57)

Следовательно, выражение для акустического числа Рейнольдса примет вид:

${\displaystyle \rm Re} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \ell _{з} }}{\displaystyle {\displaystyle \ell _{нл} }}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2\pi \ell _{з} \beta \nu (\delta p)_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle \rho \,c_{0}^{3} }}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle D(\delta p)_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle \nu }}}.$

(6.58)

Здесь учтено, что в соответствии с формулой (5.21) $\ell _{з} = \alpha ^{ - 1}\sim \nu ^{ - 2},\; D$ - константа, характеризующая нелинейные и вязкостные свойства среды.

Назад| Вперед