Астронет > Колебания и волны

Астронет: Научная Сеть/НС Колебания и волны
http://variable-stars.ru/db/msg/1175791/page2.html

Колебания и волны. Лекции.

В.А.Алешкевич, Л.Г.Деденко, В.А.Караваев (Физический факультет МГУ)
Издательство Физического факультета МГУ, 2001 г. Содержание

Незатухающие гармонические колебания систем с одной степенью свободы.

Если положение системы может быть описано одним единственным параметром $f(t)$ , зависящим от времени, то такая система имеет одну степень свободы. Примерами таких систем являются хорошо известные из школьного курса математический и пружинный маятники, изображенные на рис. 1.1, если первый из них движется в одной плоскости, а второй - по прямой.

Рис. 1.1.

Для математического маятника $f(t)$ может характеризовать либо угловое смещение $(f(t) = \alpha (t))$ , либо линейное смещение вдоль траектории $(f(t) = s(t))$ точечной массы $m$ от положения равновесия, а для пружинного маятника $f(t) = s(t),$ где $s(t)$ - смещение массы m от ее равновесного положения, изображенного пунктиром.

Движение таких и подобных им систем можно описать на основе второго закона Ньютона:

$m{\displaystyle \bf a} = {\displaystyle \bf F}$

(1.1)

Если пренебречь вначале силами сопротивления (в дальнейшем мы учтем их действие), то на массу $m$ математического маятника будет действовать результирующая сила $\bf F} = {\displaystyle \bf N} + m{\displaystyle \bf g$ ( $\bf N$ - сила натяжения нити), направленная, вообще говоря, под углом к траектории, а на массу $m$ пружинного маятника, лежащего на гладкой горизонтальной поверхности, - горизонтальная сила $\bf F}_{\tau$ , являющаяся функцией смещения $s$ от положения равновесия.

Так как смещение $s(t)$ в случае математического маятника определяется тангенциальным ускорением, то уравнение (1.1) для обоих маятников запишется в виде

$m{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d^{2}s}}{\displaystyle {\displaystyle dt^{2}}}} = F_{\tau } (s) = - mg \sin {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle s}}{\displaystyle {\displaystyle \ell }}}; \quad m{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d^{2}s}}{\displaystyle {\displaystyle dt^{2}}}} = F_{\tau } (s),$

(1.2)

где $\ell$ - длина нити.

В первом уравнении использована проекция $F_{\tau } (s)$ результирующей силы $\bf F$ на направление скорости в виде $F_{\tau } = - mg \sin \alpha = - mg \sin {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle s}}{\displaystyle {\displaystyle \ell }}}.$

В рассматриваемых примерах возвращающая сила $F_{\tau } (s)$ является, вообще говоря, нелинейной функцией смещения $s$ . Поэтому точное решение уравнений (1.2), которые являются нелинейными, получить не удается. Далее мы рассмотрим некоторые примеры таких нелинейных колебаний.

Здесь же мы будем считать смещения малыми по сравнению с длиной нити или длиной недеформированной пружины. При таких предположениях возвращающая сила пропорциональна смещению:

$F_{\tau } (s) = - mg{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle s}}{\displaystyle {\displaystyle \ell }}}; \quad F_{\tau } (s) = - ks .$

(1.3)

Выражение слева записано при учете условия $\sin {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle s}}{\displaystyle {\displaystyle \ell }}} \approx {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle s}}{\displaystyle {\displaystyle \ell }}},$ а справа - с использованием закона Гука, справедливого при малых деформациях пружины с жесткостью $k$ .

С учетом (1.3) уравнения (1.2) примут одинаковый вид:

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d^{2}s}}{\displaystyle {\displaystyle dt^{2}}}} = - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle g}}{\displaystyle {\displaystyle \ell }}}s; \quad {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d^{2}s}}{\displaystyle {\displaystyle dt^{2}}}} = - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle k}}{\displaystyle {\displaystyle m}}}s.$

(1.4)

Различаются лишь коэффициенты в правых частях этих уравнений, которые численно равны отношению возвращающей силы при единичном смещении к массе колеблющегося тела и имеют размерность [с^-2]. Если использовать обозначения

$\omega _{0}^{2} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle g}}{\displaystyle {\displaystyle \ell }}}, \quad \omega _{0}^{2} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle k}}{\displaystyle {\displaystyle m}}},$

(1.5)

то уравнения (1.4) примут вид уравнения незатухающих гармонических колебаний, или уравнения гармонического осциллятора:

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d^{2}s}}{\displaystyle {\displaystyle dt^{2}}}} = - \omega _{0}^{2} s.$

(1.6)

Решением уравнения (1.6) является семейство гармонических функций

$s(t) = s_{0} \sin (\omega _{0} t + \varphi _{0} ),$

(1.7)

в чем легко убедиться, дважды продифференцировав функцию $s(t)$ по времени:

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle ds}}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = s_{0} \omega _{0} \cos (\omega _{0} t + \varphi _{0} ), \quad {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d^{2}s}}{\displaystyle {\displaystyle dt^{2}}}} = - s_{0} \omega _{0}^{2} \sin ^{2}(\omega _{0} t + \varphi _{0} ) = - \omega _{0}^{2} s.$

Заметим, что если уравнение движения приводится к виду (1.6), то его решением являются гармонические функции (1.7) с частотой $\omega _{0},$ равной корню квадратному из коэффициента при $s$ .

Значения этих гармонических функций в начальный момент времени (при $t = 0$ ) определяются начальной фазой $\varphi _{0}$ (см. ниже) и амплитудой колебаний $s_{0} .$ У одной и той же системы эти значения могут быть различными при разных способах возбуждения колебаний.

Чтобы возбудить собственные колебания, надо вначале (при $t = 0$ ) либо отклонить тело (задать начальное смещение $s(0)$ ), либо толкнуть его (задать начальную скорость ${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle ds}}{\displaystyle {\displaystyle dt}}}(0) = v(0)$ ), либо сделать и то, и другое одновременно. Знание начальных условий (смещения и скорости) позволяет определить амплитуду $s_{0}$ и начальную фазу колебаний $\varphi _{0}$ из очевидных уравнений:

$s(0) = {\displaystyle \left. {\displaystyle s(t)} \right|}_{t = 0} = {\displaystyle \left. {\displaystyle s_{0} \sin (\omega _{0} t + \varphi _{0} )} \right|}_{t = 0} = s_{0} \sin \varphi _{0} ;$

(1.8)

$v(0) = {\displaystyle \left. {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle ds}}{\displaystyle {\displaystyle dt}}}} \right|}_{t = 0} = {\displaystyle \left. {\displaystyle s_{0} \omega _{0} \cos (\omega _{0} t + \varphi _{0} )} \right|}_{t = 0} = s_{0} \omega _{0} \cos \varphi _{0} .$

(1.9)

Решение этих уравнений имеет вид:

$s_{0} = \sqrt {\displaystyle s^{2}(0) + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle v^{2}(0)}}{\displaystyle {\displaystyle \omega _{0}^{2} }}}} ; \quad \varphi _{0} = arctg{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \omega _{0} s(0)}}{\displaystyle {\displaystyle v(0)}}}.$

(1.10)

Важно отметить, что амплитуда колебаний $s_{0},$ равная величине максимального смещения тела от положения равновесия, может превосходить начальное смещение $s(0)$ при наличии начального толчка.

Наряду с круговой частотой $\omega _{0}$ колебания характеризуются циклической частотой $\nu _{0} = \omega _{0} / 2\pi ,$ равной числу колебаний за единицу времени, и периодом колебаний $T = 1 / \nu _{0},$ равным длительности одного колебания.

Период гармонических колебаний (равно как и частоты $\omega _{0}$ и $\nu _{0}$ ) не зависит от начальных условий и равен

$T = 2\pi \sqrt {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \ell }}{\displaystyle {\displaystyle g}}}}, \quad T = 2\pi \sqrt {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle m}}{\displaystyle {\displaystyle k}}}} .$

(1.11)

Другим примером являются колебания физического маятника - тела произвольной формы массы $m$ , закрепленного на горизонтальной оси {\displaystyle O}' так, что его центр масс находится в точке O, удаленной от оси на расстояние $а$ . При отклонении маятника от вертикали на небольшой угол $\alpha$ он будет совершать свободные гармонические колебания под действием силы тяжести, приложенной к центру масс (рис. 1.2).

Рис. 1.2.

Если известен момент инерции тела $J$ относительно оси вращения, то уравнение вращательного движения запишется в виде

$J{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d^{2}\alpha }}{\displaystyle {\displaystyle dt^{2}}}} = M = - mga\sin \alpha .$

(1.12)

Если считать, что при вращении, например, против часовой стрелки угол $\alpha$ увеличивается, то момент силы тяжести $М$ вызывает уменьшение этого угла и, следовательно, при $\alpha \gt 0$ момент $M \lt 0.$ Это и отражает знак минус в правой части (1.12).

Для малых углов отклонения уравнение (1.12) переходит в уравнение гармонических колебаний

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d^{2}\alpha }}{\displaystyle {\displaystyle dt^{2}}}} = - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle mga}}{\displaystyle {\displaystyle J}}}\alpha,$

(1.13)

из вида которого сразу ясно, что частота $\omega _{0}$ и период $Т$ колебаний соответственно равны

$\omega _{0}^{2} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle mga}}{\displaystyle {\displaystyle J}}}; \quad T = 2\pi \sqrt {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle J}}{\displaystyle {\displaystyle mga}}}} .$

(1.14)

Сравнивая выражения для периода колебаний физического (1.14) и математического (1.11) маятников, легко видеть, что оба периода совпадают, если

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle J}}{\displaystyle {\displaystyle ma}}} = \ell .$

(1.15)

Поэтому физический маятник характеризуется приведенной длиной (1.15), которая равна длине математического маятника с таким же периодом колебаний.

Период колебаний физического маятника (а, следовательно, и его приведенная длина $\ell$ ) немонотонно зависит от расстояния $а$ . Это легко заметить, если в соответствии с теоремой Гюйгенса-Штейнера момент инерции $J$ выразить через момент инерции $J_{0}$ относительно параллельной горизонтальной оси, проходящей через центр масс: $J = J_{0} + ma^{2}.$ Тогда период колебаний (1.14) будет равен:

$T = 2\pi \sqrt {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle J_{0} + ma^{2}}}{\displaystyle {\displaystyle mga}}}} .$

(1.16)

Изменение периода колебаний при удалении оси вращения от центра масс O в обе стороны на расстояние а показано на рис. 1.3.

Рис. 1.3.

Легко видеть, что один и тот же период колебаний может реализоваться относительно любой из четырех осей, расположенных попарно по разные стороны от центра масс. Можно показать, что сумма расстояний $a_{1}^{ + }$ и $a_{2}^{ + }$ равна приведенной длине физического маятника: $\ell = a_{1}^{ + } + a_{2}^{ + } .$ В силу симметрии графика ясно, что

$\ell = a_{2}^{ + } + a_{1}^{ - } .$

(1.17)

Это обстоятельство позволяет для любой оси вращения O⁺ определить сопряженную ось O^-. Период колебаний относительно этих осей одинаков, а расстояние между ними равно приведенной длине физического маятника.

На рис. 1.4 изображены положения осей O⁺ и O^-, при этом ось вращения, удаленная на расстояние $a_{2}^{ - },$ при такой форме маятника находится вне его.

Рис. 1.4.

Физический маятник применяется для измерения ускорения свободного падения. С этой целью измеряют зависимость периода колебаний маятника от положения оси вращения и по этой экспериментальной зависимости находят в соответствии с формулой (1.17) приведенную длину. Определенная таким образом приведенная длина в сочетании с измеренным с хорошей точностью периодом колебаний относительно обеих осей позволяет рассчитать ускорение свободного падения. Важно отметить, что при таком способе измерений не требуется определение положения центра масс, что в ряде случаев повышает точность измерений.

Назад| Вперед