Астронет > Колебания и волны

Астронет: Научная Сеть/НС Колебания и волны
http://variable-stars.ru/db/msg/1175791/page15.html

Колебания и волны. Лекции.

В.А.Алешкевич, Л.Г.Деденко, В.А.Караваев (Физический факультет МГУ)
Издательство Физического факультета МГУ, 2001 г. Содержание

Если грузы, изображенные на рис. 3.5а, сместить на произвольные расстояния (например, в одну сторону на величины $s_{01}$ и $s_{02} ,$ как это изображено на рис. 3.5б), то это эквивалентно суперпозиции двух типов начальных смещений: в одну сторону на одинаковые величины (позиция в)

(3.10)

$s_{01}^{I} = s_{02}^{I} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}(s_{01} + s_{02} );$

и в разные стороны (позиция г) на величины

(3.11)

$- s_{01}^{II} = s_{02}^{II} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}(s_{02} - s_{01} ).$

Поскольку колебательная система линейна, то синфазные колебания, возникающие после отпускания грузов в позиции (в), будут происходить независимо от присутствия противофазных колебаний, возникающих при отпускании грузов в позиции (г). Смещения обоих грузов с течением времени будут описываться формулами (3.5), в которых амплитуды определяются равенствами (3.10) и (3.11), а начальные фазы $\varphi _{I} = \varphi _{II} = \pi / 2.$

Рис. 3.5.

Проанализируем более подробно колебания в системе, изображенной на рис. 3.5. Пусть мы сдвинули левую массу вправо на расстояние $s_{01} ,$ а правую массу оставим в несмещенном положении $(s_{02} = 0).$ После отпускания обоих грузов в системе возникнут колебания. Из (3.10) и (3.11) определяем амплитуды мод: $s_{01}^{I} = s_{02}^{I} = s_{01} / 2; - s_{01}^{II} = s_{02}^{II} = - s_{01} / 2.$ Поскольку фазы $\varphi _{I} = \varphi _{II} = \pi / 2$ (т.к. начальные скорости у грузов отсутствуют), то смещения

(3.12)

$\begin{array}{l} s_{1} (t) = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle s_{01} }}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}\cos \omega _{I} t + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle s_{01} }}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}\cos \omega _{II} t; \\ s_{2} (t) = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle s_{01} }}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}\cos \omega _{I} t - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle s_{01} }}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}\cos \omega _{II} t. \\ \end{array}$

Производя суммирование тригонометрических функций в (3.12), получим:

(3.13)

$\begin{array}{l} s_{1} (t) = s_{01} \cos {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \omega _{II} - \omega _{I} }}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}t \cdot \cos {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \omega _{II} + \omega _{I} }}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}t; \\ s_{2} (t) = s_{01} \sin {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \omega _{II} - \omega _{I} }}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}t \cdot \cos {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \omega _{II} + \omega _{I} }}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}t. \\ \end{array}$

Временные зависимости (3.13) изображены на рис. 3.6.

Рис. 3.6.

Видно, что колебания каждой из масс имеют форму биений. Период этих биений равен¹

(3.14)

$T_{б} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2\pi }}{\displaystyle {\displaystyle \omega _{II} - \omega _{I} }}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2\pi }}{\displaystyle {\displaystyle \Omega _{б} }}},$

где частота биений

(3.15)

$\Omega _{б} = \Delta \omega = \omega _{II} - \omega _{I} .$

Если ввести среднюю частоту

(3.16)

$\omega _{0} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \omega _{I} + \omega _{II} }}{\displaystyle {\displaystyle 2}}},$

то с этой частотой связан период колебаний $T = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2\pi }}{\displaystyle {\displaystyle \omega _{0} }}}.$

Если частота биений $\Omega _{б} \ll \omega _{0} ,$ как это изображено на рис. 3.6, то $T_{б} \gg T.$ В этом случае колебания обоих грузов будут почти гармоническими (квазигармоническими). Если переписать (3.13) с использованием средней частоты $\omega _{0}$ и частоты биений $\Omega _{б}$ в виде:

(3.17)

$\begin{array}{l} s_{1} (t) = s_{01} \cos {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \Omega _{б} }}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}t\cos \omega _{0} t = A_{1} (t)\cos \omega _{0} t; \\ s_{2} (t) = s_{01} \sin {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \Omega _{б} }}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}t\cos \omega _{0} t = A_{2} (t)\cos \omega _{0} t; \\ \end{array}$

то при $\Omega _{б} \ll \omega _{0}$ колебания (3.17) можно трактовать как колебания с частотой $\omega _{0}$ и медленно меняющейся амплитудой $A(t).$

В теории колебаний и в других разделах физики для анализа колебательного процесса используют спектральное представление, или спектр колебаний. Этот спектр изображают графически, где по оси абсцисс указывают частоты колебаний, а по оси ординат откладывают квадраты их амплитуд. Так, в частности, для колебаний, изображенных на рис. 3.6 ( $s_{1}$ или $s_{2}$ ) и описываемых формулами (3.17), легко нарисовать спектр, поскольку уже известно спектральное разложение этого колебания (представление в виде суммы гармонических колебаний), задаваемое формулами (3.12).

Такой спектр изображен на рис. 3.7.

Рис. 3.7.

Этот спектр содержит две спектральные компоненты. Его можно охарактеризовать средней частотой $\omega _{0}$ и шириной $\Delta \omega .$ В соответствии с формулой (3.14) произведение $\Delta \omega$ на период $T_{б}$ равно постоянной величине:

(3.18)

$\Delta \omega \cdot T_{б} = 2\pi .$

Формула (3.18) имеет глубокое физическое содержание. Так, если происходит некоторое квазигармоническое колебание вида

(3.19)

$s(t) = A(t)\cos [\omega _{0} t + \varphi (t)],$

для которого амплитуда $А$ и фаза $\varphi$ медленно меняются на масштабе времени $\tau$ (рис. 3.8а), то спектр такого колебания может состоять из большого числа частот.

Рис. 3.8.

Эти частоты группируются вблизи центральной (основной) частоты $\omega _{0} = 2\pi / T$ в пределах характерного интервала частот $\Delta \omega ,$ обратно пропорционального временному масштабу $\tau .$ На рис. 3.8б изображен этот спектр, где по оси ординат отложен квадрат амплитуды $s_{0}$ каждой из гармонических составляющих, причем между $\tau$ и $\Delta \omega$ существует связь: $\Delta \omega \cdot \tau \sim 2\pi .$

Количественная связь между колебательным процессом $s(t)$ и его спектром представляется (по аналогии с формулами (3.12)) в виде суммы конечного или бесконечного числа гармонических составляющих (в виде ряда или интеграла Фурье). Такое представление будет широко использоваться в курсе "Оптика".

¹Колебания (3.12), вообще говоря, не являются периодическими, т.е. нельзя указать такое время $T*,$ спустя которое они точно повторяются (отношение частот $\omega _{I} / \omega _{II}$ - чаще всего иррациональное число, а случаи их рационального отношения: $m\omega _{I} = n\omega _{II}$ будут исчезающе редки). Поэтому периодом биений $T_{б}$ мы называем период (3.14) повторения огибающей суммарного колебания, равный половине периода колебания с частотой ${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \omega _{II} - \omega _{I} }}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}, а \Omega _{б} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2\pi }}{\displaystyle {\displaystyle T_{б} }}} = \omega _{II} - \omega _{I} .$

Назад| Вперед