Астронет > Механика твердого тела. Лекции.

Астронет: Физический факультет МГУ Механика твердого тела. Лекции.
http://variable-stars.ru/db/msg/1175788/page7.html

Механика твердого тела. Лекции.

В.А.Алешкевич, Л.Г.Деденко, В.А.Караваев (Физический факультет МГУ)
Издательство Физического факультета МГУ, 1997 г. Содержание

Момент импульса твердого тела относительно оси. Момент инерции относительно оси.

В тех случаях, когда твердое тело вращается вокруг неподвижной оси, обычно оперируют с понятиями момента импульса и момента инерции относительно оси. Момент импульса $L_{\parallel}$ относительно оси - это проекция на данную ось момента импульса L, определенного относительно некоторой точки О, принадлежащей оси, причем, как оказывается, выбор точки О на оси значения не имеет.

Действительно, при вычислении $L_{\parallel}$ существенно лишь плечо импульса $\Delta {\displaystyle \bf p}_{i} = \Delta m_{i} {\displaystyle \bf v}_{i}$ относительно оси вращения O'O'' (рис. 2.12), то есть кратчайшее расстояние $\rho _{i}$ массы $\Delta m_{i}$ до оси:

$\left( {\displaystyle L_{i} } \right)_{\parallel} = \Delta m_{i} (r_{i} ^{2}v_{i} )_{{\displaystyle \parallel}} = \Delta m_{i} \rho _{i} v_{i} = (\Delta m_{i} \rho _{i}^{2} )\omega$

(2.31)

Здесь учтено, что скорость массы $\Delta m_{i}$ при вращательном движении $v_{i} = \omega \rho_{i} ; v_{i} \bot \rho_{i} .$

Рис. 2.12.

Рассмотрим эту ситуацию более подробно. Пусть оси Ox, Oy, Oz на рис. 2.12 - главные оси инерции для точки O, O'O'' - неподвижная в лабораторной системе ось вращения, жестко связанная с телом. Вектор угловой скорости $\omega,$ направленный вдоль O'O'', можно разложить по осям системы координат xyz:

$\omega = {\displaystyle \left\{\displaystyle {\displaystyle \omega _{x} , \omega _{y} , \omega _{z} } \right\}} = {\displaystyle \left\{\displaystyle {\displaystyle \omega \cos \alpha , \omega cos\beta , \omega cos\gamma } \right\}},$

(2.32)

где $\cos \alpha , cos\beta , cos\gamma$ - направляющие косинусы оси O'O''. Вектор L не совпадает с $\omega$ и при вращении тела описывает коническую поверхность, симметричную относительно O'O''.Вектор L также можно разложить по осям системы xyz: ${\displaystyle \bf L} = {\displaystyle \left\{\displaystyle {\displaystyle L_{x} , L_{y} , L_{z} } \right\}},$ причем

$L_{x} = J_{x} \omega _{x} ; L_{y} = J_{y} \omega _{y} ; L_{z} = J_{z} \omega _{z} ,$

(2.33)

где $J_{x} , J_{y} , J_{z}$ - главные моменты инерции.

Проекция вектора L на ось вращения, или, что то же самое, момент импульса относительно оси

$L_{\parallel} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle \bf L}\omega}}{\displaystyle {\displaystyle \omega }}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle L_{x} \omega _{x} + L_{y} \omega _{y} + L_{z} \omega _{z} }}{\displaystyle {\displaystyle \omega }}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle J_{x} \omega _{x}^{2} + J_{y} \omega _{y}^{2} + J_{z} \omega _{z}^{2} }}{\displaystyle {\displaystyle \omega ^{2}}}} \cdot \omega = \left( {\displaystyle J_{x} \cos ^{2}\alpha + J_{y} \cos ^{2}\beta + J_{z} \cos ^{2}\gamma } \right)\omega = J\omega ,$

(2.34)

где

$J = J_{x} \cos ^{2}\alpha + J_{y} \cos ^{2}\beta + J_{z} \cos ^{2}\gamma$

(2.35)

- момент инерции относительно оси.

Последняя формула позволяет рассчитать момент инерции твердого тела относительно произвольной оси в том случае, если известны главные моменты инерции $J_{x} , J_{y} , J_{z}$ и ориентация оси вращения относительно главных осей инерции (углы $\alpha , \beta , \gamma$ ). Во многих случаях такое вычисление оказывается значительно проще, чем прямое расчет по формуле

$J = {\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle \Delta m_{i} } }\rho _{i}^{2}$

(2.35)

(см. (2.31)).

Отметим, что, в соответствии с данным выше определением, $L_{\parallel}$ - величина скалярная (проекция вектора L на ось вращения). Вместе с тем можно говорить и о векторе ${\displaystyle \bf L}_{\parallel} ,$ рассматривая его как составляющую вектора L, вдоль оси:

$L_{\parallel} = {\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle \rho_{i} } }\times\Delta p_{i}$

(2.37)

(вектор $\rho_{i}$ изображен на рис. 2.12, $\Delta p_{i} = \Delta m_{i} v_{i}$ ). В рекомендуемых учебных пособиях можно встретить обе трактовки понятия момента импульса относительно оси.

Эллипсоид инерции.

Формула (2.35) для момента инерции относительно оси допускает наглядную геометрическую интерпретацию.

Представим, что через точку О начала координат системы xyz мы проводим прямые во всевозможных направлениях и на них откладываем отрезки длиной $R = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle k}}{\displaystyle {\displaystyle \sqrt {\displaystyle J} }}}$ (рис. 2.13), где $k$ есть постоянная величина, имеющая размерность кг^1/2*м². Геометрическим местом концов этих отрезков будет некоторая поверхность. Получим уравнение этой поверхности.

Рис. 2.13.

Пусть оси Ox, Oy, Oz на рис. 2.13 - главные оси инерции. Проекции вектора R на оси координат составляют

$R_{x} \equiv x = R\cos \alpha = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle k}}{\displaystyle {\displaystyle \sqrt {\displaystyle J} }}}\cos \alpha ,$

(2.38)

$R_{y} \equiv y = R\cos \beta = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle k}}{\displaystyle {\displaystyle \sqrt {\displaystyle J} }}}\cos \beta ,$

(2.39)

$R_{z} \equiv z = R\cos \gamma = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle k}}{\displaystyle {\displaystyle \sqrt {\displaystyle J} }}}\cos \gamma ,$

(2.40)

откуда

$\cos \alpha = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle x\sqrt {\displaystyle J} }}{\displaystyle {\displaystyle k}}}; \quad \cos \beta = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle y\sqrt {\displaystyle J} }}{\displaystyle {\displaystyle k}}}; \quad \cos \gamma = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle z\sqrt {\displaystyle J} }}{\displaystyle {\displaystyle k}}};$

(2.41)

Подставляя (2.41) в (2.35), получим

$J = J_{x} {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle x^{2}J}}{\displaystyle {\displaystyle k^{2}}}} + J_{y} {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle y^{2}J}}{\displaystyle {\displaystyle k^{2}}}} + J_{z} {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle z^{2}J}}{\displaystyle {\displaystyle k^{2}}}},$

(2.42)

или

$J_{x} \cdot x^{2} + J_{y} \cdot y^{2} + J_{z} \cdot z^{2} = k^{2}.$

(2.43)

Это, как известно, уравнение эллипсоида, который в данном случае называют эллипсоидом инерции.

Центр эллипсоида инерции, как видно из его уравнения, находится в начале координат системы xyz (точке О). Постоянная $k$ может быть выбрана произвольно и определяет масштаб построения; изменяя $k ,$ мы будем получать подобные эллипсоиды. Главные оси эллипсоида инерции являются главными осями инерции тела для точки О.

Эллипсоид инерции жестко связан с телом, а его положение относительно тела зависит от выбора точки О. Эллипсоид инерции, построенный для центра масс тела, называется центральным. Если известно положение эллипсоида инерции, известно и положение всего тела в данный момент времени. Рассматривая вращательное движение твердого тела, в ряде случаев можно абстрагироваться от его формы и иметь дело с эллипсоидом инерции. Для куба и шара, например, центральные эллипсоиды инерции вырождаются в сферу, поэтому эти тела с точки зрения многих задач механики оказываются эквивалентными.

Для примера рассмотрим сплошное однородный куб с ребром $a$ и массой $m$ . Эллипсоид инерции для центра одной из граней куба (точка О) показан на рис. 2.14. Полуоси OA, OB, OС лежат на главных осях инерции для точки О, причем ОА = ОB лежат в плоскости боковой грани, а $OC \approx 1,6 OA$ - перпендикулярна боковой грани. Для сравнения: эллипсоид инерции для центра куба вырождается в сферу с радиусом, равным ОС.

Рис. 2.14.

Понятие эллипсоида инерции позволяет с помощью достаточно простого графического построения установить связь между угловой скоростью $\omega$ и моментом импульса L относительно точки О, принадлежащей оси вращения. Речь идет о так называемом построении Пуансо, которое мы приводим без доказательства: необходимо построить эллипсоид инерции с центром в точке О и в точке его пересечения с осью вращения (вектором угловой скорости $\omega$ ) ( провести плоскость, касательную к эллипсоиду. Перпендикуляр, опущенный из центра эллипсоида инерции на касательную плоскость, и даст направление вектора момента импульса L Пример подобного построения представлен на обсуждавшемся выше рис. 2.14.

Назад| Вперед