Астронет > Механика твердого тела. Лекции.

Астронет: Физический факультет МГУ Механика твердого тела. Лекции.
http://variable-stars.ru/db/msg/1175788/page5.html

Механика твердого тела. Лекции.

В.А.Алешкевич, Л.Г.Деденко, В.А.Караваев (Физический факультет МГУ)
Издательство Физического факультета МГУ, 1997 г. Содержание

Лекция 2.

Динамика абсолютно твердого тела Момент импульса. Тензор инерции. Момент импульса тела относительно оси. Эллипсоид инерции. Вычисление моментов инерции относительно оси. Теорема Гюйгенса-Штейнера. Момент импульса относительно движущегося центра масс.

Задача динамики абсолютно твердого тела - изучить движение тела в зависимости от действующих на него сил. Как следует из предыдущего рассмотрения, произвольное движение твердого тела можно свести к поступательному и вращательному. При поступательном движении траектории всех точек тела одинаковы, и для описания этого движения используются такие понятия, как масса, импульс, сила. При изучении вращательного движения тела этих понятий оказывается недостаточно.

Рассмотрим два цилиндра одинаковой массы и одинаковых размеров, причем один цилиндр, изготовленный из болей легкого материала, пусть будет сплошным, а другой, изготовленный из более тяжелого материала, - полым. Опыт показывает, что при соскальзывании с достаточно гладкой наклонной плоскости цилиндры не вращаются и ведут себя совершенно одинаково (рис. 2.1а) в частности, они одновременно достигают основания этой наклонной плоскости. Иное дело, если плоскость шероховатая, и цилиндры скатываются, вращаясь вокруг своей оси (рис. 2.1б) - в этом случае быстрее скатывается сплошной цилиндр. Таким образом, при вращательном движении существенно распределение массы относительно оси вращения.

Рис. 2.1.

Об этом же свидетельствуют и другие опыты: чем дальше от оси вращения сосредоточена масса тела, тем труднее его раскрутить при воздействии постоянной силой, имеющей одно и то же плечо (рис. 2.2аб). Для раскручивания стержней с грузами до угловой скорости $\omega _{0}$ в случае рис. 2.2б требуется большее время, чем в случае рис. 2.2а. В этих же опытах можно показать, что при вращательном движении тела существенную роль играет не сама сила, а ее момент: если перебросить нить на шкив большего радиуса, то раскрутить эти тела будет легче (рис. 2.2в). Таким образом, для описания вращательного движения тела необходимо ввести новые понятия: момент инерции, момент импульса, момент силы.

Рис. 2.2.

Момент импульса. Тензор инерции.

Момент импульса тела относительно неподвижной точки - важнейшее понятие в динамике вращательного движения твердого тела. Он определяется так же, как и для системы материальных точек:

${\displaystyle \bf L} = {\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle {\displaystyle \bf r}_{i}} }\times {\displaystyle \bf p}_{i} = {\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle \Delta m_{i} } }{\displaystyle \bf r}_{i} \times v_{i} .$

(2.1)

Здесь $\Delta {\displaystyle \bf p}_{i} = \Delta m_{i} {\displaystyle \bf v}_{i}$ - импульс элементарной $\Delta m_{i}$ в лабораторной системе XYZ, а $\bf r}_{i$ - радиус-вектор массы $\Delta m_{i}$ с началом в той неподвижной точке, относительно которой вычисляется момент импульса тела.

С учетом постоянства расстояний между точками абсолютно твердого тела вектор момента импульса L удается связать с вектором угловой скорости $\omega.$

Рассмотрим, к примеру, две одинаковые точечные массы $m,$ укрепленные на концах невесомого стержня АВ (рис. 2.В). Стержень с массами вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня и перпендикулярной ему. В этом случае

${\displaystyle \bf L} = m{\displaystyle \bf r}_{1} \times {\displaystyle \bf v}_{1} + m{\displaystyle \bf r}_{2}\times {\displaystyle \bf v}_{2} = 2mr^{2}\omega$

(2.2)

Здесь учтено, что $r_{1} = r_{2} = r,$ а $v_{1} = v_{2} = \omega r.$

Рис. 2.3.

Существенно, что в этом примере вектор L, направлен так же, как и $\omega.$ К сожалению, так бывает не всегда. В этом можно убедиться на примере, показанном на рис. 2.4. Здесь невесомый стержень АВ с двумя массами $m$ на концах жестко закреплен на вертикальной оси (в точке О) под некоторым углом $\alpha$ к ней и лежит в плоскости Oyz. При вращении стержня вокруг вертикальной оси с угловой скоростью $\omega$ вектор L, определенный по (2.1), будет находиться в плоскости Oyz и составит угол ${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi }}{\displaystyle {\displaystyle 2}}} - \alpha$ с осью z. Система xyz, введенная в начале лекции 1, жестко связана со стержнем и поворачивается вместе с ним. При этом вектор L остается в плоскости Oyz, а в лабораторной системе движется по конической поверхности с углом полураствора ${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi }}{\displaystyle {\displaystyle 2}}} - \alpha$

Рис. 2.4.

Получим выражение для L в случае твердого тела произвольной формы, закрепленного в некоторой точке О.

Пусть $\bf r}_{i$ - радиус-вектор элементарной массы $\Delta m_{i}$ твердого тела, а $\omega$ - угловая скорость. Тогда

$\bf L} = {\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle \Delta m_{i} } }{\displaystyle \bf r}_{i} \times {\displaystyle \bf v}_{i} = {\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle \Delta m_{i} } }{\displaystyle \mathop {\displaystyle {\displaystyle \bf r}_{i} }\limits_{a} }\times {\displaystyle \mathop {\displaystyle (\omega}\limits_{b} }\times {\displaystyle \mathop {\displaystyle {\displaystyle \bf r}_{i} )}\limits_{c} } = {\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle \Delta m_{i} } }{\displaystyle \left\{\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle \mathop {\displaystyle \omega}\limits_{b} }({\displaystyle \mathop {\displaystyle {\displaystyle \bf r}_{i} }\limits_{a} }{\displaystyle \mathop {\displaystyle {\displaystyle \bf r}_{i} }\limits_{c} }) - {\displaystyle \mathop {\displaystyle {\displaystyle \bf r}_{i} }\limits_{c} }({\displaystyle \mathop {\displaystyle {\displaystyle \bf r}_{i} }\limits_{a} }{\displaystyle \mathop {\displaystyle \omega}\limits_{b} })} \right\}} = {\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle \Delta m_{i} } }{\displaystyle \left\{\displaystyle {\displaystyle \omega r_{i}^{2} - r_{i} (r_{i} \omega)} \right\}$

(2.3)

Векторы $r_{i} , \omega$ и L можно проектировать как на оси лабораторной системы XYZ, так и на оси системы xyz, жестко связанной с твердым телом (поскольку точка О неподвижна, начала обеих систем можно совместить). Преимущество системы xyz заключается в том, что в ней проекции $\bf r}_{i$ являются постоянными величинами (в системе XYZ они зависят от времени), и выражения для компонент L, оказываются проще.

Итак, в системе xyz

${\displaystyle \bf r}_{i} = {\displaystyle \left\{\displaystyle {\displaystyle x_{i} ,y_{i} ,z_{i} } \right\}}, \quad \omega = {\displaystyle \left\{\displaystyle {\displaystyle \omega _{x} ,\omega _{y} ,\omega _{z} } \right\}}.$

(2.4)

Тогда, продолжая (2.3), можно записать:

$\bf L} = {\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle \Delta m_{i} } }{\displaystyle \left\{\displaystyle {\displaystyle \omega r_{i}^{2} - r_{i} (x_{i} \omega _{x} + y_{i} \omega _{y} + z_{i} \omega _{z} )} \right\}$

(2.5)

Выражения для проекций момента импульса на оси системы xyz запишем в следующем виде:

$L_{x} = {\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle \Delta m_{i} \left( {\displaystyle r_{i}^{2} - x_{i}^{2} } \right)} }\omega _{x} + {\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle \left( {\displaystyle - \Delta m_{i} x_{i} y_{i} } \right)} }\omega _{y} + {\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle \left( {\displaystyle - \Delta m_{i} x_{i} z{\displaystyle }_{i}} \right)} }\omega _{z} ;$

(2.6)

$L_{y} = {\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle \left( {\displaystyle - \Delta m_{i} y_{i} x_{i} } \right)} }\omega _{x} + {\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle \Delta m_{i} \left( {\displaystyle r_{i}^{2} - y_{i}^{2} } \right)} }\omega _{y} + {\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle \left( {\displaystyle - \Delta m_{i} y_{i} z{\displaystyle }_{i}} \right)} }\omega _{z} ;$

(2.7)

$L_{z} = {\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle \left( {\displaystyle - \Delta m_{i} z_{i} x_{i} } \right)} }\omega _{x} + {\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle \left( {\displaystyle - \Delta m_{i} z_{i} y{\displaystyle }_{i}} \right)} }\omega _{y} + {\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle \Delta m_{i} \left( {\displaystyle r_{i}^{2} - z_{i}^{2} } \right)} }\omega _{z} ,$

(2.8)

или

$L_{x} = J_{xx} \omega _{x} + J_{xy} \omega _{y} + J_{xz} \omega _{z} ;$

(2.9)

$L_{y} = J_{yx} \omega _{x} + J_{yy} \omega _{y} + J_{xy} \omega _{z} ;$

(2.10)

$L_{z} = J_{zx} \omega _{x} + J_{zy} \omega _{y} + J_{zz} \omega _{z} ;$

(2.11)

где $J_{kl}$ - 9 компонент так называемого тензора инерции $\hat {\displaystyle J}$ твердого тела относительно точки О:

$\hat {\displaystyle J} = \left( {\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{*{20}c} {\displaystyle J_{xx} } \hfill & {\displaystyle J_{xy} } \hfill & {\displaystyle J_{xz} } \hfill \\ {\displaystyle J_{yx} } \hfill & {\displaystyle J_{yy} } \hfill & {\displaystyle J_{yz} } \hfill \\ {\displaystyle J_{zx} } \hfill & {\displaystyle J_{zy} } \hfill & {\displaystyle J_{zz} } \hfill \\ \end{array} }} \right)$

(2.)

Диагональные элементы тензора $J_{xx} , J_{yy} , J_{zz}$ называются осевыми моментами инерции, недиагональные элементы $J_{xy} , J_{yx} , J_{xz} , J_{zx} , J_{yz} , J_{zy}$ называются центробежными моментами инерции. Обратим внимание, что $J_{xy} = J_{yx} , J_{xz} = J_{zx} , J_{yz} = J_{zy} .$ Такой тензор называют симметричным.

Если координатам x, y и z присвоить номера 1, 2 и 3 соответственно, то (2.9-2.11) можно представить в виде

$L_{k} = {\displaystyle \sum\limits_{\ell = 1}^{3} {\displaystyle J_{kl} } }\omega _{l} ;\quad k, \ell = 1, 2, 3.$

(2.13)

В символическом виде можно записать так:

$L = \hat {\displaystyle J}\omega$

(2.14)

Самое главное, что стоит за приведенными выше формулами, заключается в следующем. Девять величин $J_{k\ell }$ (из них шесть независимых) определяют однозначную связь между L и $\omega,$ причем оказывается, что L, вообще говоря, не совпадает по направлению с $\omega$ (рис. 2.5)

Рис. 2.5.

Итак, мы столкнулись с новым типом величин, имеющим важное значение в физике - тензором. Если для задания скалярной величины необходимо одно число (значение скалярной величины), векторной - три числа (три проекции вектора на оси декартовой системы координат), то для задания тензора необходимы в общем случае 9 чисел. На языке математики тензор - это многокомпонентная величина, характеризующаяся определенным поведением при преобразованиях системы координат (в данном случае компоненты тензора инерции преобразуются как произведения соответствующих координат).

Назад| Вперед