Астронет > Механика твердого тела. Лекции.

Астронет: Физический факультет МГУ Механика твердого тела. Лекции.
http://variable-stars.ru/db/msg/1175788/page1.html

Механика твердого тела. Лекции.

В.А.Алешкевич, Л.Г.Деденко, В.А.Караваев (Физический факультет МГУ)
Издательство Физического факультета МГУ, 1997 г. Содержание

Предисловие.

На кафедре общей физики ведется работа по подготовке и изданию оригинального курса "Общая физика", предназначенного для студентов физических специальностей вузов.

Курс будет охватывать четыре раздела: "Механика", "Молекулярная физика", "Электромагнетизм" и "Оптика", соответствовать новым учебным программам, разработанным на физическом факультете МГУ, и отражать современные тенденции и технологии физического образования.

Отличительной особенностью данного курса является то, что в нем наиболее последовательно в методическом отношении проводится точка зрения о существенном единстве основных форм обучения физике: лекций, лабораторных экспериментов и семинарских упражнений. Лекции по каждой теме начинаются с демонстрации основных экспериментальных фактов, которые затем анализируются и обобщаются в виде физических законов и соотношений. Такой "экспериментальный" подход к изложению материала закрепляется при выполнении лабораторных экспериментов, цель которых - научить студентов навыкам самостоятельной постановки и решения физических проблем, проведению экспериментальных исследований, включая компьютерное моделирование, а также методам интерпретации и анализа экспериментальных данных. Более глубокое понимание основных физических явлений и закономерностей достигается на семинарских занятиях.

В соответствии с поставленными задачами каждый раздел курса будет состоять из четырех пособий: "Лекции", "Лекционный эксперимент", "Лабораторный эксперимент", "Семинарские занятия". Пособия, написанные в едином методическом ключе, будут комплектоваться видеозаписями лекционных демонстраций и дискетами с описанием модельных экспериментов.

Лекции по кинематике и динамике твердого тела являются частью готовящегося к изданию курса "Механика" и могут рассматриваться как самостоятельное учебное пособие по данной теме. Лекции написаны на основе курсов, читаемых авторами на физическом факультете МГУ.

Авторы выражают глубокую благодарность М.В.Семенову за внимательное прочтение рукописи и ценные замечания, а также К.Б.Бегун, М.П.Виноградову и А.А.Якуте за подготовку рукописи к изданию.

Лекция 1.

Кинематика абсолютно твердого тела. Степени свободы. Углы Эйлера. Поступательное движение. Вращение вокруг неподвижной оси. Плоское движение. Движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Движение свободного твердого тела.

Механика твердого тела - один из наиболее трудных разделов курса. Как и механика материальной точки, он состоит из двух основных частей: кинематики и динамики.

Задача кинематики - дать способы описания движения твердого тела и, исходя из закона его движения, определить положение, скорость и ускорение любой точки в любой момент времени. В общем случае это довольно сложная задача - в этом можно убедиться, покрутив в руках, например, книгу или ручку. Конечно, всякое тело можно представить как систему материальных точек и попробовать применить к нему приемы, известные из кинематики точки. На первый взгляд, это не упрощает ситуацию - не выписывать же законы движения для всех физически малых частей, на которые можно разбить тело, пусть даже их будет и конечное число?

Облегчающее обстоятельство кроется в самих словах "твердое тело". Твердое - значит практически недеформируемое. Опыт показывает, что сели на какой-либо достаточно твердый предмет подействовать силой и заставить его двигаться, то расстояния между любыми его точками останутся неизменными. Хотя, конечно, под действием приложенных сил в теле возникнут внутренние напряжения, причина которых - деформации отдельных его частей. Но если мы говорим о твердом теле, то эти деформации оказываются настолько малыми, что незаметны для глаза, и от них можно отвлечься. В итоге мы приходим к идеализированной модели абсолютно твердого тела (в дальнейшем - просто твердого тела), которое совершенно не способно деформироваться, хотя под действием внешних сил в нем могут возникать определенные внутренние усилия.

Таким образом, твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек, относительные положения которых остаются неизменными. Другими словами, все макроскопические элементы такого тела неподвижны в системе координат, жестко связанной с телом. Именно это обстоятельство позволяет значительно упростить решение кинематических задач и конкретизировать многие общие понятия (импульс, момент импульса, энергия), введенные ранее при рассмотрении системы материальных точек.

Степени свободы. Углы Эйлера.

Двигаясь в пространстве, твердое тело обладает определенными степенями свободы.

Числе степеней свободы - это число независимых величин, которые необходимо задать для того, чтобы однозначно определить положение тела в пространстве. В разных ситуациях число степеней свободы твердого тела может быть различным. Если диск, не вращаясь, может скользить вдоль неподвижное в данной системе отсчета оси (рис. 1.1а), то в данной системе отсчета он, очевидно, обладает только одной степенью свободы - положение диска однозначно определяется, скажем, координатой x его центра, отсчитываемой вдоль оси. Но если диск, кроме того, может еще и вращаться (рис. 1.1б), то он приобретает еще одну степень свободы - к координате x добавляется угол $\varphi$ поворота диска вокруг оси. Если ось с диском зажата в рамке, которая может поворачиваться вокруг вертикальной оси (рис. 1.1в), то число степеней свободы становится равным трем - к x и $\varphi$ добавляется угол $\theta$ поворота рамки.

Рис. 1.1.

Коробка, которая может перемещаться по поверхности стола (рис. 1.2), также обладает тремя степенями свободы - для однозначного определения ее положения можно задать, например, координаты x, y ее центра и угол $\varphi$ между одним из ребер коробки и краем стола.

Рис. 1.2.

Каково же число степеней свободы твердого тела в самом общем случае?

Для того, чтобы однозначно задать положение твердого тела в пространстве, надо зафиксировать три его точки, не лежащие на одной прямой. Одна материальная точка имеет три степени свободы (три декартовы координаты x, y, z). Две материальные точки, жестко связанные между собой, имеют 3 + 3 - 1 = 5 степеней свободы. В этом случае координаты точек x₁, y₁, z₁ и x₂, y₂, z₂ не являются независимыми величинами, так как имеется уравнение связи

$\ell ^{2} = \left( {\displaystyle x_{2} - x_{1} } \right)^{2} + \left( {\displaystyle y_{2} - y_{1} } \right)^{2} + \left( {\displaystyle z_{2} - z_{1} } \right)^{2},$

(1.1)

где $\ell$ - расстояние между точками.

Таким образом, в общем случае для твердого тела получаем 3 + 3 + 3 - 3 = 6 степеней свободы. При этом имеются три уравнения связи, выражающие постоянство расстояний между каждой парой точек.

Шесть параметров, соответствующих шести степеням свободы твердого тела, можно задавать по-разному. В дальнейшем мы будем пользоваться тремя различными декартовыми системами координат:

Лабораторная система XYZ.
Система x₀y₀z₀, начало которой связано с некоторой точкой O твердого тела, а оси остаются параллельными осям лабораторной системы XYZ, то есть система x₀y₀z₀ движется вместе с точкой О твердого тела относительно системы XYZ поступательно.
Система xyz, начало которой находится в той же точке О, что и начало системы x₀y₀z₀, а оси жестко связаны с твердым телом.

Тогда шести степеням свободы тела будут соответствовать, во-первых, три координаты точки О (в лабораторной системе XYZ), а во-вторых, - три угла $\varphi, \psi, \theta$ однозначно определяющие положение системы xyz относительно x₀y₀z₀. Эти углы называются углами Эйлера. Их смысл ясен из рис. 1.3, где ОА - линия пересечения плоскостей Ox₀y₀ и Oxy, при этом нижнее основание твердого тела (прямоугольного параллелепипеда) лежит в плоскости Oxy. Обычно их называют так: $\varphi$ - угол собственного вращения (с изменением этого угла связан поворот твердого тела вокруг оси z), $\psi$ - угол прецессии (поворот вокруг z₀ с сохранением угла $\theta$ между осями z₀ и z), $\theta$ - угол нутации (отклонение тела от оси z₀).

Рис. 1.3.

Примеры с диском на оси и коробков (рис. 1.1, 1.2) показывают, что сложное движение того или иного тела может быть представлено как суперпозиция достаточно простых движений: поступательного перемещения и поворота (вращения) вокруг оси. В дальнейшем, следуя принципу "от простого к сложному", мы рассмотрим 5 типов движения твердого тела, исчерпывающие все встречающиеся на практике случаи:

поступательное движение;
вращение вокруг неподвижной оси;
плоское, или плоско-параллельное движение;
движение твердого тела с одной неподвижной точкой (такое движение иногда называют сферическим);
движение свободного, то есть незакрепленного твердого тела.

Назад| Вперед