Астронет > Трехмерен ли наш мир?

Астронет: И. П. Иванов/KFA-Juelich Трехмерен ли наш мир?
http://variable-stars.ru/db/msg/1174218

Трехмерен ли наш мир?

И.П.Иванов

Каждый ребенок с первых же дней своей жизни узнает, что окружающий мир - трехмерен. У предметов есть длина, ширина и высота. Из 8 маленьких кубиков можно составить кубик с ребром в два раза длиннее. Все это узнается с детства.

С точки зрения физика трехмерность нашего пространства может быть доказана экспериментальной проверкой закона Кулона: тот факт, что сила между двумя точечными зарядами падает с расстоянием по закону 1/r² - есть ни что иное, как проявление трехмерности нашего пространства. Действительно, для определения напряженности электрического поля (и, следовательно, силы взаимодействия зарядов) можно исходить из концепции силовых линий поля, густота которых как раз и дает напряженность поля. В случае одного точечного заряда, линии поля начинаются на заряде и изотропно уходят на бесконечность. Тогда, поскольку количество линий, пересекающих произвольную сферу радиусом r, постоянно, то плотность линий, а значит и напряженность поля, обратно пропорциональна площади поверхности сферы, то есть обратно пропорциональна квадрату расстояния от заряда.

Для проверки трехмерности пространства на очень малых расстояниях, на ядерных масштабах легко проверить трехмерность, сравнивая массы и радиусы разных ядер: масса должна быть пропорциональна r³.

На еще более малых масштабах можно измерять силу электрического взаимодействия в столкновениях электронов - просто измеряя их формфактор. То есть, закон Кулона тут - практически единственное средство проверки трехмерности.

Тут может возникнуть разумный вопрос: а зачем, собственно, надо проверять трехмерность пространства? Разве это и так не очевидно?

КОМПАКТИФИКАЦИЯ НА ПРЕДЕЛЬНО МАЛЫХ РАССТОЯНИЯХ.

Все дело здесь в том, что на предельно малых расстояниях структура нашего пространства-времени может быть совсем иная. В настоящее время имеется множество теоретических конструкций, которым удается вывести многие свойства нашего, "низкоэнергетического" мира, исходя из того, что при больших энергиях (на очень малых расстояниях) наше пространство-время не трехмерно, а 10-, 11- или еще более многомерно. Мы не будем здесь углубляться в суть этих теорий. Скажем только, что так получается из-за того, что геометрия таких многомерных пространств намного богаче привычной нам и иногда позволяет "естественным" путем вывести свойства всех фундаментальных взаимодействий (природа которых, как мы теперь уже понимаем, тоже во много чисто геометрическая).

Для нас более важно то, как эти теории объясняют отсутствие проявлений дополнительных измерений в обычной жизни. В этих теориях утверждается, что в силу некоторых причин "лишние" измерения компактифицировались, замкнулись сами на себя, свернулись на очень малых расстояниях. Чтобы понять это, представьте себе внешнюю поверхность тонкого резинового шланга: маленький светлячок, ползающий по нему, разумеется, передвигается по двумерной поверхности. Однако если мы будем наблюдать за огоньком издалека, то нам будет казаться, что он совершает только одномерное движения, только вдоль кривой (вдоль шланга). Второе измерение существует, но оно замкнуто само на себя. Микроскопически движение по нему возможно, но оно не будет отражаться ни на каких наблюдаемых явлениях.

Приблизительная такая же картина имеет место и в этих теориях. Однако типичный масштаб, на котором должны быть свернуты дополнительные измерения, неизбежно оказывается порядка планковской длины 10^-33 см. И поэтому, даже если эти теории правильно описывают мир, и такие дополнительные измерения и в самом деле существуют, их экспериментальное наблюдение, по-видимому, не представляется возможным, по крайней мере, в обозримом будущем. (Кто-то подсчитал, что для наблюдения этих эффектов надо построить ускоритель размером с галактику).

КОМПАКТИФИКАЦИЯ НА МИЛЛИМЕТРОВОМ МАСШТАБЕ.

На самом деле, идея введения дополнительных измерений и последующая их компактификация не нова - первые попытки построить объединенную теорию электромагнитных и гравитационных взаимодействий на основе 5-мерного пространства-времени были предприняты еще в начале нашего века. С тех пор многое было понято и наработано, но всегда оставалось одно - компактификация дополнительных измерений происходила на экспериментально недосягаемом масштабе порядка планковской длины.

В прошлом году было вдруг осознано, что это не единственная возможность. В двух работах ученых из Стэнфордского Университета была предложена теоретическая конструкция, в которую входили новые измерения, компактифицированные на вполне наблюдаемом масштабе. Схема, предложенная в этих работах, была настолько проста и прозрачна, и в то же время имела столь много последствий и применений, что сейчас, через год с лишним, количество работ, использующих эту идею, исчисляется уже сотнями.

Суть идеи такова: предположим, что существует n дополнительных пространственных измерений, компактицифированных на масштабе R. Предположим, что в силу каких-то причин, обычная материя (вещество, электромагнитные волны и другие переносчики взаимодействий) могут перемещаться не во всем (n+3)-мерном пространстве, а лишь в определенной 3-мерной "гиперповерхности", которая и есть "наш" мир. Таким образом, обычные частицы чувствуют только 3 пространственных измерения. Исключение составляет гравитационное взаимодействие - поскольку гравитация обуславливается искривлением самого пространства-времени, гравитационное взаимодействие может беспрепятственно проникать и в дополнительные измерения, как в виде статического поля, так и в виде гравитационных волн и гравитонов.

Очевидно, такие дополнительные измерения не повлияют на вид закона Кулона - электромагнитное взаимодействие их не чувствует. Однако его гравитационный аналог - закон всемирного тяготения - изменится. Если на больших расстояниях r > R сила будет по-прежнему F ~ 1/r², то на малых расстояниях r < R зависимость будет сильнее: F ~ 1/r²⁺ⁿ.

Давайте распишем формулы более аккуратно.

Начнем с закона Кулона и запишем силу электростатического отталкивания двух электронов (в гауссовой системе единиц):

F = e²/r² = (e²/hc) (hc/r²) = $\alpha$ hc/r². Здесь мы разбили выражение на произведение двух множителей: фундаментального, описывающего общую зависимость hc/r², и безразмерного коэффициента $\alpha$ характеризующего силу электромагнитного взаимодействия в целом. Этот коэффициент называется постоянной тонкой структуры и приблизительно равен 1/137 (здесь h = 1,05^.10^-34 Дж^.с - постоянная Планка, деленная на 2 $\pi$ , с - скорость света.)

Аналогичное выражение для силы гравитационного взаимодействия имеет вид:

F_гр = Gm²/r² = (Gm²/hc) (hc/r²) = $\alpha$ _гр hc/r². Здесь мы опять разбили выражение на произведение двух множителей. Численное значение $\alpha$ _гр (характеризующего силу гравитационного взаимодействия) для двух электронов очень мало, порядка 10^-45. Именно поэтому, когда исследуют взаимодействие элементарных частиц, то их взаимной гравитацией всегда пренебрегают: при уменьшении r электрическое и гравитационное взаимодействия растут по одинаковому закону, но их относительная сила отличается на 40 с лишним порядков.

Однако, давайте теперь учтем то, что при r < R "включаются" новые измерения. Из естественного условия непрерывности, мы получаем:

F_гр = $\alpha$ _гр (R/r)ⁿ hc/r².

Мы видим, что относительная сила гравитационного взаимодействия растет по сравнению с электромагнитным! Это значит, что когда-то, при энергиях, вполне доступных на ускорителях, гравитация между двумя элементарными частицами будет так же сильна, как и другие взаимодействия! Совершенно потрясающая возможность!

Осознав это, давайте взглянем на то, для чего была собственно предложена эта теория (пока что мы только анализировали ее последствия, игрались с ней).

Ученых давно озадачивало, почему в физике высоких энергий имеется, по крайней мере, два фундаментальных масштаба энергий. Один из них (энергии порядка 1 ТэВ) - характерный масштаб объединения электромагнитного и слабого взаимодействий, другой - порядка 10¹⁵ ТэВ - планковский масштаб: энергия, при которой эффекты квантовой гравитации становятся сильны. Такое сильное различие двух фундаментальных величин одинаковой размерности не давало физикам покоя.

Однако, если электрослабый (тэвный) масштаб - экспериментальный факт, то планковский масштаб - есть просто экстраполяция закона всемирного тяготения на 33 порядка вниз по шкале расстояний! Действительно, минимальные расстояния, на которых производилась прямая экспериментальная проверка закона всемирного тяготения - это сантиметры, десятки сантиметров. Так что может случиться, что планковский масштаб окажется фикцией!

Поэтому ничто нам не мешает сделать предположение о том, что на самом деле в природе имеется всего ОДИН фундаментальный энергетический масштаб - тэвный; что при энергиях порядка 1 ТэВ. ВСЕ взаимодействия становятся одинаковыми по силе, возможно даже объединяются в единое взаимодействие. С уменьшением энергии (увеличением расстояния) все взаимодействия начинают ослабевать, но гравитационное убывает гораздо быстрее других из-за того, что оно чувствует дополнительные измерения.

Так происходит вплоть до расстояний порядка радиуса компактификации; после него, при еще больших расстояниях, гравитация уже подчиняется привычному нам закону. За это время, однако, константа гравитационного взаимодействия успевает уменьшиться на много порядков, что приводит к наблюдаемой слабости гравитации по сравнению с другими взаимодействиями.

Из этих соображений можно легко получить формулу для радиуса компактификации новых измерений:

R = 10^{30/n - 17} см. Напомним, что n - это количество дополнительных измерений.

Видно, что всего одним новым измерением не обойдешься, радиус компактификации тогда будет 10¹¹ м, то есть мы тогда бы жили в 4-мерном пространстве и конечно чувствовали бы это.

Но если взять n = 2, то R становится порядка долей миллиметра. Это очень интересная ситуация, поскольку сейчас как раз готовятся опыты по проверке закона тяготения Ньютона на субмиллиметровом масштабе.

Случай n>2 вряд ли будет доступен эксперименту в виде прямой проверки закона Ньютона. Однако надо понимать, что самое главное в этой конструкции - это сильное проявление квантовых гравитационных эффектов на тэвном масштабе. Оно имеет место "по построению", при любом числе новых измерений. Эти эффекты будут проявляться в огромном числе разнообразных высокоэнергетических реакций столкновения элементарных частиц (расчет этих реакций с учетом сильных эффектов гравитации и был предметом сотен публикаций, хлынувших сразу после первоначальной статьи).

Таким образом, не исключено, что строящиеся сейчас ускорительные комплексы, которые достигнут, наконец, тэвного диапазона энергий, смогут наблюдать не только электрослабые явления, но и эффекты квантовой гравитации! Если это так, то это было бы совершенно неожиданным и бесценным подарком природы!

А МОЖНО ЛИ БЕЗ КОМПАКТИФИКАЦИИ?

Наконец, затронем еще одну гипотезу, на этот раз совсем новую - соответствующие статьи вышли буквально в течение последнего месяца. В этих работах было замечено, что все предыдущие теории, включающие дополнительные измерения, базировались на гипотезе факторизуемой метрики, то есть того, что свойства нашей трехмерной "гиперповерхности" не зависят от новых, дополнительных координат. В общем случае, такая зависимость, конечно, может быть.

Принципиально новым результатом в этом случае является то, что теперь дополнительные измерения не обязательно свернуты, они могут быть и бесконечными. Роль радиуса компактификации в этом случае играет локальный радиус кривизны этих новых измерений. Наш мир тогда получается как бы "пойман" геометрическими, топологическими искажениями новых измерений. Интересно, что в этой теории безмассовые гравитоны появляются сами собой, и они тоже оказываются "пойманы" теми же топологическими дефектами. Закон Ньютона в этой теории все же модифицируется за счет массивных партнеров гравитона (так называемых массивных возбуждений типа Калуцы-Клейна), но эта модификация крайне незначительна. Кроме всего прочего, эта теория также дает объяснение происхождению двух очень разных фундаментальных энергетических масштабов.

Эта теория пока что находится в зачаточном состоянии - имеется много вопросов, которые пока еще не получили ответа. Однако нельзя не признать, что это очень интересная альтернатива компактификации.

Из всего сказанного следует важный урок: структура нашего пространства-времени может оказаться гораздо хитрее и интереснее, чем мы подозревали еще пару лет назад. Проверка так ли это - является уделом совсем недалекого будущего.

ЛИТЕРАТУРА:

Г.Е.Горелик "Почему пространство трехмерно?", М., Наука, 1982,
Г.Е.Горелик "Размерность пространства", издательство МГУ, 1983,
N.Arkani-Hamed, S.Dimopoulos, G.Dvali, Phys.Lett.B429:263-272,1998 e-Print Archive: hep-ph/9803315 - новые измерения на миллиметровом масштабе и эффекты квантовой гравитации в тэвном диапазоне.
L.Randall, R.Sundrum, Phys.Rev.Lett.83:3370-3373,1999; e-Print Archive: hep-ph/9905221; L.Randall, R.Sundrum, Phys.Rev.Lett.83:4690-4693,1999; e-Print Archive: hep-th/9906064 - альтернатива компактификации.
http://ParticleAdventure.org/news/news_98.html - коллекция заметок и статей про новые измерения, фундаментальные энергетические масштабы, теории Калуцы-Клейна и т.д.

(Данная статья была впервые опубликована в "Научной Лаборатории Школьников" в 1999 г. Перепечатана с разрешения автора.)