Астронет > Механика сплошных сред

Астронет: В. А. Алешкевич, Л. Г. Деденко, В. А. Караваев, Научная Сеть/Физический факультет МГУ Механика сплошных сред
http://variable-stars.ru/db/msg/1173645/lect4-4.html

Механика сплошных сред

Тело в потоке вязкой жидкости. Лобовое сопротивление.

Из повседневной практики известно, что поток реальной жидкости газа действует с некоторой силой на тело, помещенное в этот поток. Для осесимметричного тела с осью симметрии, направленной вдоль потока, эта сила также будет направлена вдоль потока. Она получила название силы лобового сопротивления. Эта сила возрастает с увеличением скорости потока подобно возрастанию перепада давлений при увеличении скорости течения жидкости по трубе (см. рис. 4.12). Основные физические причины возникновения лобового сопротивления можно установить наиболее просто, если рассмотреть обтекание потоком шара радиуса r. На рис. 4.21. изображена сила лобового сопротивления как функция числа Рейнольдса ${\rm Re}= \frac{\rho v r}{\mu}$ . При малых скоростях движения, когда ${\rm Re}\le 10^2, F_\parallel \sim v$ . Это происходит потому, что на шарик действуют силы вязкости, возникающие из-за существования тонкого пограничного слоя вблизи поверхности шара. При таких скоростях в слое происходит ламинарное (слоистое) течение жидкости. В настоящее время хорошо развита теория пограничного слоя, которая, в частности, позволяет оценить его величину по формуле

$\delta\cong \frac{r}{\sqrt{{\rm Re}}}.$

(4.40)

В конце линейного участка кривой (рис. 4.21), где Re $\cong$ 10², толщина пограничного слоя с ламинарным течением на порядок меньше радиуса шара. Вне этого слоя реальная жидкость течет так же, как и идеальная, симметрично спереди и сзади обтекая шар.

Рис. 4.21.

Наоборот, при числах Re~1 говорить о пограничном слое некорректно, т.к. градиенты скорости присутствуют в окружающем пространстве, по размеру значительно большем радиуса шара. Такая ситуация, например, имела место при вязком течении жидкости по трубам при Re $\le$ 1. Тогда градиенты скорости (и силы вязкости) были распределены по всем сечениям трубы (см. ф-лу Пуазейля). При малых числах Рейнольдса сила лобового сопротивления подчиняется закону Стокса:

$F_\parallel= 6\pi\mu rv.$

(4.41)

Как уже упоминалось выше, можно измерить вязкость жидкости, наблюдая движение в ней тел. Так, при падении шарика в жидкости, его скорость изменяется в соответствии с уравнением:

$m\frac{dv}{dt}= mg - F_A - F_\parallel.$

(4.42)

Здесь m - масса шарика, F_A - выталкивающая сила и $F_\parallel$ - сила вязкого трения, даваемая формулой (4.41). По истечении некоторого промежутка времени шарик приобретет некоторую максимальную скорость, с которой он практически равномерно будет падать вниз. Легко подсчитать эту скорость, положив сумму сил в правой части (4.42) равной нулю:

$\frac{4}{3}\pi r^3 (\rho_ш-\rho_ж)-6\pi\mu rv =0.$

(4.43)

В эксперименте можно сначала измерить скорость падающего шарика и, пользуясь (4.43), определить вязкость жидкости $\mu$ . Так, например, скорость падения стального шарика r=1 мм в вязком глицерине при 40 $^\circ C$ v $\approx$ 0.5 см/с, и вязкость $\mu\approx 0.3 {\rm кг/(м\cdot с}$ . Этой скорости соответствует число Рейнольдса Re $\approx$ 0.02, поэтому здесь отсутствует пограничный слой. При скоростях потока, когда Re>10² симметрия обтекания нарушается - позади шара происходит отрыв линий тока (рис. 4.22).

Рис. 4.22.

При таких скоростях пограничный слой становится очень тонким, а поперечные градиенты скорости в нем - большими. Силы вязкости, которые при этом возрастают, тормозят движение частиц воздуха, движущихся вдоль поверхности шара настолько (пропущено слово), что они не в состоянии обогнуть полностью шар с обратной стороны. Хотя течение в тонком пограничном слое остается ламинарным, позади шара образуется завихренное пространство. Симметрия давления в т.А и в т.A' нарушается. Спереди шара течение такое, как и в отсутствие трения, поэтому давление в т. К $p_k=p_0 + \rho v^2 / 2$ . Однако в точке . Поэтому результирующая сила давления, действующая на шар в направлении потока, будет пропорциональна динамическому напору $\rho v^2 / 2$ и площади поперечного сечения шара $S=\pi r^2$ . На практике силу лобового сопротивления записывают в виде

$F_\parallel = C_X\cdot S\frac{\rho v^2 }{2},$

(4.44)

где C_X - коэффициент лобового сопротивления тела данной формы. Область квадратичной зависимости силы $F_\parallel$ от скорости v простирается вплоть до чисел Рейнольдса Re~10⁵. При больших скоростях постепенно турбулизируется пограничный слой и при Re=3*10⁵ пограничный слой полностью турбулентен. В области постепенной турбулизации пограничного слоя сила сопротивления с ростом скорости даже уменьшается, поскольку сокращается область срыва потока. Однако затем квадратичная зависимость (4.44) опять восстанавливается, правда, с несколько меньшим коэффициентом C_X.

Рис. 4.23.

Как мы делали это и раньше, для ламинарного и турбулентного обтекания тел можно использовать единую формулу для расчета силы лобового сопротивления

$F_\parallel = C_X({\rm Re})\cdot S\cdot \frac{\rho v^2 }{2},$

(4.45)

в которой коэффициент лобового сопротивления должен зависеть от скорости так, как это изображено на рис. 4.23. По своему виду эта зависимость очень похожа на зависимость безразмерного гидравлического коэффициента от числа Re(см. выше). Хорошей иллюстрацией к возникновению силы лобового сопротивления из-за несимметричного обтекания тела служат представленные в таблице величины коэффициентов лобового сопротивления тел различной формы.

	тело	С_x
	диск	1,11
	полусфера	1,35...1,40
	полусфера	0,30...0,40
	шар	0,4
	каплевидное	0,045
	каплевидное	0,1

Хорошо видно, что наименьшим коэффициентом лобового сопротивления обладает осесимметричное каплеобразное тело, у которого тупой нос и заостренная задняя часть. При обтекании этого тела поток хорошо смыкается позади него, препятствуя, тем самым, падению давления за телом.

Подъемная сила. Формула Жуковского.

Опыт показывает, что при обтекании идеальной жидкостью несимметричных тел, да еще произвольно ориентированных по направлению к потоку, на эти тела будет действовать сила F, направленная под некоторым углом к потоку (см. рис. 4.18). Составляющая этой силы $F_\parallel$ , параллельная потоку, является силой лобового сопротивления. Другая составляющая $F_\perp$ , направленная поперек потока, носит название подъемной силы. В качестве важнейшего примера рассмотрим возникновение подъемной силы при обтекании воздухом крыла самолета. Типичная картина безотрывного обтекания воздухом профиля крыла самолета при небольшом угле атаки $\alpha$ изображена на рис. 4.24а. Уже из одного только факта, что поток после обтекания приобрел составляющую импульса, направленную вниз, следует, что такой же импульс вверх приобретает крыло. Для ламинарного обтекания крыла исходя из структуры линий тока можно качественно проанализировать распределение сил давления $\sigma_p=p-p_0$ , получаемое с использованием уравнения Бернулли (рис. 4.24б). Сумма этих сил имеет равнодействующую F, направленную под небольшим углом к вертикали. Таким образом, создается подъемная сила $F_\perp$ значительно превосходящая силу лобового сопротивления.

Рис. 4.24.

Из диаграммы сил давления видно, что подъемная сила создается не столько повышением давления под крылом, сколько падением давления над крылом. Эта сила пропорциональна динамическому давлению, площади крыла S и вычисляется по формуле

$F_\perp =C_y S \frac{\rho v^2}{2},$

(4.46)

где С_y - коэффициент подъемной силы, зависящий от угла атаки $\alpha$ . Если бы воздух обтекал крыло безотрывно, то коэффициент С_y возрастал бы пропорционально $\alpha$ . Однако опыты показывают, что при углах атаки $\alpha=12^\circ \div 18^\circ$ (в зависимости от формы крыла) подъемная сила достигает максимума, а затем начинает падать (рис. 4.25).

Рис. 4.25.

Угол атаки, при котором коэффициент С_y максимален, называется посадочным или критическим, а соответствующий коэффициент также называется посадочным. У обычных крыльев $С_{y_{пос}}= 1,2 \div 1,6$ . На рис. 4.26 представлены фотографии потоков при углах атаки $\alpha<\alpha_{пос}$ и $\alpha>\alpha_{пос}$ . Хорошо видно, что срыв потока и образование завихрения приводит к повышению давления над крылом и уменьшению подъемной силы.

Рис. 4.26.

Коэффициент $С_{y_{пос}}$ определяет посадочную скорость самолета v_пос, определяемую из равенства подъемной силы (4.46) весу самолета. Для снижения скорости посадки необходимо предотвратить срыв потока при увеличении угла атаки. В современной авиации этого добиваются применением на крыльях посадочных приспособлений - подкрылков (1) и закрылков (2), выдвигаемых механически из крыла (3) при посадке самолета (рис. 4.27).

Рис. 4.27.

Выдающаяся роль в разработке теории обтекания тел потоком, сыгравшей исключительно важное значение для развития авиации, принадлежит Н.Е. Жуковскому. Он показал, что подъемная сила крыла связана с вихрями: около крыла существует вихрь, названный им присоединенным. Основная идея расчета подъемной силы сводится к следующему. Если бы в воздухе отсутствовали силы вязкости, то картина обтекания крыла была такой, как на рис. 4.28(а). Подъемная сила, однако, будет равна нулю, поскольку поток позади крыла не изменил направления движения. Обтекание крыла реальным воздухом, изображенное на рис. 4.28(в) может рассматриваться как суперпозиция невязкого обтекания (а) и вихревого движения воздуха вокруг крыла самолета по часовой стрелке (б).

Рис. 4.28.

Величина подъемной силы напрямую связана с наличием циркуляции скорости Г (4.24) по контуру, охватывающему крыло самолета. Этот контур должен находиться вне пограничного слоя (б), толщина которого для движущегося с дозвуковой скоростью самолета составляет несколько сантиметров. Из закона сохранения момента импульса следует, что позади крыла должны образовываться вихри с движением в них воздуха против часовой стрелки. На рис. 4.29 представлены фотографии вихревой дорожки, образующейся при обтекании уменьшенной модели крыла самолета.

Рис. 4.29.

Эта цепочка вихрей появляется потому, что при отрыве от крыла одного вихря циркуляция вокруг крыла Г из-за вязкости постоянно уменьшается. Поток стремится вернуться к конфигурации (а) на рис. 4.28, при которой частицы воздуха "норовят" обогнуть "снизу-вверх" заднюю кромку крыла. А это в свою очередь приведет к образованию нового вихря и появлению циркуляции Г вокруг крыла. При полете самолета вихри периодически отрываются от крыла и уносятся потоком воздуха. Таким образом, вязкость способствует формированию обтекания крыла, соответствующего ситуации (в). Расчет же подъемной силы может быть проведен на основе результирующей сил давления, исходя из теории течения идеальной жидкости. Распределение давлений вблизи пограничного слоя связано со скоростью потока формулой:

$p=p_0 + \frac{\rho v_0^2 }{2} - \frac{\rho v^2 }{2}.$

(4.47)

Сила, действующая на элемент поверхности крыла длиной L равна

$dF= (p_н - p_в) L d\ell.$

(4.48)

и зависит от разности давлений снизу и сверху элемента крыла (рис. 4.30). Эта разность давлений может быть выражена с помощью (4.47) через скорости:

$p_н - p_в=\frac{1}{2}\rho (v_в^2 - v_н^2 ) =\frac{1}{2}\rho (v_в - v_н ) (v_в + v_н ) .$

(4.49)

Скорости v_н v_в берутся в симметричных точках относительно хорды крыла длиной b (наибольшего расстояния между передней и задней кромкой крыла), элемент длины $d\ell$ в формуле (4.48) - это элемент длины хорды, поскольку сила dF направлена перпендикулярно хорде. Подставляя (4.49) в (4.47) в приближении, что v_н+v_в $\approx$ 2v и выполняя интегрирование, находим полную силу:

$F_\perp=\int dF= \rho v L \int\limits_0^b (v_в - v_н ) d\ell =\rho v L \Gamma.$

(4.50)

Эта формула получена Н.Е. Жуковским и носит его имя. Циркуляция Г, определяющая подъемную силу, пропорциональна углу атаки и для плоского крыла

$\Gamma=\frac{1}{2}\pi bv\alpha.$

(4.48)

Для профильного крыла, изображенного на рис. (4.30) подъемная сила существует и при нулевом угле атаки ( $\alpha$ =0) и исчезает, когда угол атаки достигает некоторой отрицательной величины.

Рис. 4.30.

Отметим, что при увеличении угла атаки растет и лобовое сопротивление. Отношение полезной подъемной силы к вредной силе лобового сопротивления определяет "качество крыла". Для легких спортивных самолетов и истребителей это качество находится в пределах 12-15, а для тяжелых грузовых и пассажирских самолетов оно достигает величин 17-25. Аэродинамическое качество повышается при улучшении обтекаемости (уменьшении С_x) и увеличении отношения размаха крыла L к длине его хорды b. Из диаграммы сил давления следует, что равнодействующая этих сил смещена к передней кромке крыла. Это необходимо принимать во внимание при определении моментов сил, действующих на крыло, определяющих устойчивость самолета. Весьма поучительным является опыт с тонким диском, находящимся в потоке воздуха. Если струю от вентилятора направить на диск, могущий свободно вращаться вокруг вертикальной оси (рис. 4.31), то диск займет устойчивое положение, когда его плоскость станет перпендикулярна потоку воздуха. Если диск случайно повернется, и кромка К₁ диска окажется ближе к вентилятору, чем кромка К₂, то возникнет подъемная сила, точка приложения которой будет расположена между кромкой K₁ и осью вращения диска. Момент этой силы повернет диск в исходное устойчивое положение. Отметим, что положение, при котором плоскость диска направлена по потоку, является также положением равновесия, однако это равновесие является неустойчивым.

Рис. 4.31.

Назад | Вперед