Астронет > Механика сплошных сред

Астронет: В. А. Алешкевич, Л. Г. Деденко, В. А. Караваев, Научная Сеть/Физический факультет МГУ Механика сплошных сред
http://variable-stars.ru/db/msg/1173645/lect2-2.html

Механика сплошных сред

Жидкость в неинерциальных системах отсчета.

При ускоренном движении сосуда с жидкостью наряду с силой тяжести на частицы жидкости действуют силы инерции. Распределение давлений в покоящейся относительно сосуда жидкости легко определяется из (2.9), где под U следует понимать потенциальную энергию в поле сил тяжести и инерции, действующих одновременно. Если сосуд с водой движется поступательно с постоянным горизонтальным ускорением A (рис. 2.6), то потенциальная функция имеет вид

$U(x,y) = -\rho gx -\rho Ay + {\rm const}.$

(2.12)

Рис. 2.6.

Следовательно, двумерное распределение давлений p(x,y) с учетом нормировки p(0,0)=p0 получается равным

$p(x,y) = p_0 + \rho gx + \rho Ay$

(2.13)

Очевидно, что поверхности равного давления (включая поверхность жидкости), перпендикулярные вектору полной силы $F = \rho g - \rho A$ , будут наклонены к горизонту на угол

$\alpha = {\rm arctg} \frac{A}{g}.$

(2.14)

При свободном падении сосуда (в условиях невесомости) давление во всех точках объема, как это следует из закона Паскаля, одинаково и равно внешнему давлению p₀. Вследствие действия сил поверхностного натяжения жидкость приобретает шарообразную форму, при которой площадь поверхности становится минимальной. Пусть теперь цилиндрический сосуд с жидкостью равномерно вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси симметрии. Повседневный опыт показывает, что поверхность жидкости искривится так, как показано на рис. 2.7. Не представляет труда определить форму поверхностей равного давления. Поскольку наряду с силой тяжести в радиальном направлении действует и центробежная сила инерции $F_И = \rho\omega^2 r$ , являющейся также потенциальной, то потенциальная функция U имеет вид:

$U(x,r) = -\rho gx - \frac{1}{2}\rho\omega^2 r^2 + {\rm const}$

(2.15)

где r - цилиндрическая координата. Тогда распределение давлений с использованием (2.9) получается равным

$p(x,r) = p_0 + \rho gx + \frac{1}{2}\rho\omega^2 r^2.$

(2.16)

Рис. 2.7.

Легко видеть, что поверхности равного давления являются параболоидами вращения. В частности, поверхность жидкости, для которой p(x,r)=p₀, описывается уравнением

$x = - \frac{1}{2}\frac{\omega^2}{g}r^2.$

(2.17)

Если радиус сосуда равен R, то разность уровней на периферии и в центре составляет величину

$H = \frac{\omega^2 R^2}{2g} = \frac{v^2}{2g}$

(2.18)

где v - скорость вращающихся частиц, прилегающих к стенке сосуда. Замечание. Если сосуд вращать с угловым ускорением, то появится дополнительная составляющая сил инерции, перпендикулярная радиусу и равная $F'_И = \rho r\frac{d\omega}{dt}$ . Эта сила не будет потенциальной, поскольку ее работа, например, вдоль окружности радиуса r₀, отлична от нуля и равна

$A_И = F'_И \cdot 2\pi r_0 = 2\pi r_0^2 \rho\frac{d\omega}{dt}.$

(2.19)

В силу этого равновесие жидкости невозможно: последняя будет вращаться относительно цилиндра, причем распределение скоростей и давлений можно получить, рассматривая уравнения гидродинамики, в которых должны быть учтены силы вязкости.

Плавание тел. Закон Архимеда.

Из повседневной практики известно, что на тела, погруженные в жидкость, действует выталкивающая сила, направленная вертикально вверх. Эта сила является результатом действия сил давления f_i= -pn_i рис. (2.8) и равна

${\bf F_A}=\sum\limits_{i}^{}{\bf f_i}\Delta S_i=-\sum p_i\Delta S_i{\bf n_i}.$

(2.20)

Здесь $\Delta S_i$ - площадь элемента поверхности тела, n_i единичный вектор, перпендикулярный поверхности, суммирование производится по всем элементам поверхности.

Рис. 2.8.

Выталкивающая сила F_A , называемая силой Архимеда, может быть подсчитана при учете распределения давления по глубине (2.11) и оказывается равной весу вытесненной жидкости. Предоставляя читателю сделать такой подсчет самостоятельно, вычислим ее, исходя из более простых соображений. Извлечем из сосуда тело и дольем ту же жидкость, восстановив ее прежний уровень (рис. 2.9). Если затем мысленно выделить часть жидкости, замещающую извлеченное тело, то на нее действуют те же силы давления, что и на погруженное тело (см. формулу 2.20). Их сумма F_А не только уравновешивает силу тяжести (F_A=-mg, m - масса вытесненной жидкости), но и имеет равнодействующую, приложенную к центру масс вытесненной жидкости, или к центру объема O. Центр масс погруженного тела O₁ может не совпадать с центром объема O. Это несовпадение имеет большое значение для устойчивого плавания тел, погруженных в жидкость (в кораблестроении используется термин остойчивость). На рис. 2.10 схематично изображено поперечное сечение батискафа, погруженного в воду, при этом его центр тяжести, к которому приложена сила тяжести m₁g (m₁ - масса батискафа), находится ниже точки приложения Архимедовой силы. Естественно, что при боковом наклоне батискафа момент указанной пары сил будет возвращать его в вертикальное положение.

Рис. 2.9.

Рис. 2.10.

Для тел, плавающих на поверхности жидкости, центр их тяжести всегда будет расположен выше центра объема, погруженного в жидкость, и остойчивость плавания (корабля, например) достигается выбором подобающей формы корабля и его загрузки. Хорошо известно, что карандаш никогда не плавает на поверхности жидкости в вертикальном положении. Пара сил, возникающая при неизбежном случайном отклонении карандаша от вертикали, немедленно "укладывает" его на поверхность (рис. 2.11а). Устойчиво будет плавать "горизонтальный карандаш". При его малейшем наклоне (ситуация б) он будет возвращаться в исходное горизонтальное положение. В судостроении форму судна с учетом его загрузки рассчитывают таким образом, чтобы метацентр М находился выше центра масс судна в т. О. Этот метацентр является центром кривизны кривой O₁''O₁O₁', проходящей через центры объемов погруженных частей корпуса корабля, сменяющих друг друга при его боковой качке (рис. 2.12). Из рисунка видно, что метацентр находится на пересечении плоскости симметрии судна с линией действия Архимедовой силы. При строительстве судов добиваются того, чтобы расстояние OM в несколько раз превышало расстояние OO₁.

Рис. 2.11.

Рис. 2.12.

Рассмотрение гидростатики несжимаемой жидкости было бы не полным, если бы мы не коснулись вопроса о силах давления, действующих на дно и стенки сосуда с жидкостью. Удобно это сделать, обратившись непосредственно к примерам. Пример 1. Если в цилиндрический сосуд с площадью основания S налита вода, масса которой m, до уровня H (рис. 2.13а), то давление жидкости на дно сосуда (без учета силы атмосферного давления) приведет к возникновению силы $F=pS=\rho gHS=mg$ , равной весу налитой жидкости. Если на поверхность жидкости опустить плавающее тело массы m₁ , то давление на дно жидкости увеличится на величину $\Delta p=\rho g\Delta H$ , где $\Delta H$ - высота подъема уровня жидкости (рис. 2.13б). Дополнительная сила, приложенная ко дну, $\Delta F=\Delta p\cdot S=\rho g\Delta HS$ . Поскольку объем цилиндрического слоя $\Delta H\cdot S$ равен объему погруженной части тела, то величина $\Delta F$ равна силе Архимеда и, естественно, $\Delta F=m_1g$ . Показания весов, на которые поставлен сосуд с водой, при помещении в него плавающего тела возрастут на эту величину.

Рис. 2.13.

Пример 2. Если два легких конических сосуда одинаковой высоты наполнить водой и расположить их так, как показано на рис. 2.14 , то в ситуации (а) сила давления на дно сосуда с площадью сечения S₂ будет больше веса жидкости: $\Delta F_2 =\rho gHS_2\gt mg$ . В ситуации (б), наоборот, $\Delta F_1 =\rho gHS_1\lt mg$ . Между тем, при взвешивании сосудов весы покажут одинаковый результат. На первый взгляд, мы столкнулись с парадоксом. Парадокс, однако, разрешается просто, если мы примем во внимание, что весы измеряют силу давления сосуда на чашку весов, равную той силе, с которой жидкость действует на весь сосуд, включая действие на его наклонные боковые стенки. В обеих ситуациях сумма всех этих элементарных сил одинакова и равна весу жидкости mg.

Рис. 2.14.

Назад | Вперед