Астронет > Вариационное исчисление

Астронет: СОЖ Вариационное исчисление
http://variable-stars.ru/db/msg/1173506

Вариационное исчисление
15.11.2001 0:00 | СОЖ, Москва

Вариационное исчисление - раздел математики, обобщающий элементарную теорию экстремума функций. В вариационном исчислении речь идет об экстремуме функционалов - величин, зависящих от выбора одной или нескольких функций f₁, f₂, . . . f_m, которые играют для функционала F[f₁, f₂, . . . f_m] роль аргументов. Аналогично тому, как в задаче об экстремуме функции f(x₁, x₂, ...., x_n) необходимо указать область G изменения ее аргументов, для функционала следует задать класс допустимых функциональных аргументов (например, класс функии, непрерывных вместе с первыми производными в области D и удовлетворяющих некоторым условиям на границе D). Если задача об экстремуме непрерывной функции всегда имеет решение (такая функция достигает экстремальных значений внутри G или на ее границе), то существование экстремума функционала для данного класса функциональных аргументов не гарантировано априори и требует каждый раз особого исследования. Одну из первых задач вариационного исчисления сформулировал И. Бернулли (J. Bernoulli) в 1696, окончательно вариационное исчисление сформировалось в 18 веке благодаря работам Л. Эйлера (L. Euler).

Необходимым условием экстремума функции f(x) в точке x⁽⁰⁾=(x₁⁰.. . , x_n⁰) является равенство нулю ее производной по любому направлению a=(a₁, .. .a_n):
$df(x+\varepsilon a)/d\varepsilon\mid_{\varepsilon=0}=(a \nabla{f})=0$ т.е. $\nabla{f}=0$
Малому смещению аргумента для функционала соответствует вариация (отсюда название вариационное исчисление) функций: $f_j\longrightarrow f_j+\varepsilon\eta_j$ где $\eta_j$ - функции из допустимого класса, обращающиеся в нуль на границе D. Аналогом производной по направлению служит первая вариация функционала:
$\delta{F}={\displaystyle{d} \over \displaystyle{d\varepsilon}}F[f_j + \varepsilon\eta_j]\mid_{\varepsilon=0}=\sum_j\int_D {\displaystyle {\delta {F}} \over \displaystyle{\delta {f_j}}}\eta_jdx_1...dx_n$ ,
где определяемая последней формулой вариационная, или функциональная производная ${\displaystyle{\delta{F}} \over \displaystyle{\delta{f_j}} }$ , является аналогом градиента $\nabla{f}$ . Необходимое условие экстремума функционала ${\displaystyle{\delta{F}} \over \displaystyle{\delta{f_j}} }=0$ следует из основной леммы вариационного исчисления: если для всех функций $\eta(x_1...x_n)$ из допустимого класса, обращающихся в нуль на границе D,
$\int_D\varphi(x_1, ..., x_n)\eta(x_1, ..., x_n)dx_1... dx_n=0$
то непрерывная функция $\varphi(x)=0$ .

На практике функционал F задается в виде интеграла по области D от некоторой комбинации функций f₁ ... f_n, и их производных; в простейших случаях
$F=\int_D \mathcal{L}(f_i, \partial {f_j}/\partial {x_i})dx_1...dx_n$

Вычисление функциональной производной приводит к Эйлера-Лагранжа уравнениям - системе дифференциальных уравнений
${\displaystyle{\partial {\mathcal{L}}} \over \displaystyle{\partial {f_j}}}-\sum_i{\displaystyle{\partial} \over \displaystyle{\partial {x_i}}}{\displaystyle{\partial \mathcal{L}} \over \displaystyle{\partial (\partial {f_j}/\partial {x_i})} } = 0$ , j=1, ...., m
с соответствующими граничными условиями.

Решения этой системы называется экстремалями функционала F. Экстремаль соответствует минимуму F при выполнении условия Лежандра [обобщающего требование неотрицательности квадратичной формы $\sum \limits_{i,j}a_{i}a_{j}\partial ^2{f}/\partial x_i \partial x_j$ , гарантирующего минимум функции f(x)] Согласно этому условию, всюду на экстремали должна быть неотрицательна квадратичная форма с коэффициентом $\partial ^2{\mathcal{L}}/\partial \dot{f_i} \partial \dot{f_j}$ (в простейшем случае одномерной области D, когда $f_j=df_j/dx$ ).

До сих пор шла речь о вариационных задачах, в которых допустимый функциональный аргумент подчинялся лишь граничным условиям. В более общей постановке задачи требуется найти экстремали функционала F с дополнительными условиями, налагаемыми на функциональные аргументы во всей области D их определения. Эти условия могут быть интегральными:
$K=\int_D C(f_j, \partial {f_j}/\partial {x_i})dx_1...dx_n=0$
или алгебраическими: $C(f_j, \partial {f_j}/\partial {x_i})=0$ . В обоих случаях задача сводится к обычной введением множителей Лагранжа $\lambda$ . В первом случае переходят к новому функционалу $\tilde{F}=F+\lambda{K}$ решают уравнения Эйлера-Лагранжа, а множитель $\lambda$ находят из условия К=0 на экстремали. Во втором случае вводят новый функционал
$\tilde{F}=F+\int_D{C}\lambda(x)dx_1....dx_n$
и неизвестную функцию $\lambda(x)$ находят из уравнений Эйлера-Лагранжа.

Вариационное исчисление используют в различных областях физики. Фактически все законы, формулируемые обычно в локальном дифференциальном виде, можно сформулировать на вариационном языке. Фундаментальным примером является наименьшего действия принцип в классической механике. Здесь роль переменной х играет время t, меняющееся в заданном интервале [а, b], функциональными аргументами являются обобщенные координаты q_j(t), а называемый действием функционал $S[q_j]=\int{^{b}_{a}}\mathcal{L}(q_f,\dot{q}_j)dt$ задается Лагранжа функцией $\mathcal{L}$ . Согласно принципу наименьшего действия, движение с заданными граничными условиями для q_j(a) и q_j(b) осуществляется по экстремали функционала S. В физике используют также другие вариационные принципы.

В задаче о движении материальной точки во внешнем поле можно интересоваться только формой траектории без детального знания временной зависимости q(t). В этом случае используется принцип минимизации укороченного действия, или принцип Мопертюи: при задании потенциальной энергии U, полной энергии Е, начальных и конечных точек траектории вся траектория определяется минимизацией функционала $S_0=\int^{q_f}_{q_i}\sqrt{2m(E-U(q))}dl$ где dl - элемент длины траектории, a q_i и q_f - начальная и конечная ее точки. Принцип Мопертюи является следствием принципа наименьшего действия и допускает обобщение на сложные механические системы.

Аналогом принципа Мопертюи в оптике служит принцип наименьшего времени Ферма: в среде с переменным показателем преломления n траектория луча света такова, что интеграл $\int^{q_f}_{q_i}fdl/n(q)$ минимален. Иначе говоря, луч света избирает себе траекторию, для прохождения которой требуется минимальное время.

Последний пример - вариационный принцип Ритца в квантовой механике. Задачу о решении уравнения Шpeдингера $\hat{H}\psi(q)=E\psi(q)$ можно сформулировать как задачу о минимизации функционала $J=\int\psi^{\ast} \hat{H}\psi dq$ при дополнительном условии $\int\psi^{\ast}\psi dq=1$ (здесь q-набор обобщенных координат). Принцип Ритца - незаменимое орудие расчета сложных атомов и ядер, когда точное решение уравнения Шредингера невозможно и задачу решают минимизацией функционала J на некотором классе пробных функций.