Астронет > Геофизические методы исследования земной коры. Часть 1

Астронет: Геологический факультет МГУ Геофизические методы исследования земной коры. Часть 1
http://variable-stars.ru/db/msg/1173309/page6.html

Геофизические методы исследования земной коры

1.3.4. Прямая и обратная задача над вертикальным уступом (сбросом).

1. Прямая задача. Пусть вертикальный уступ (сброс) простирается бесконечно вдоль оси y (рис. 1.5). Наблюдения производятся вдоль оси ( x), ( y=z=0), расположенной вкрест простирания сброса. Если глубина до кровли z₁ и z₂ , а амплитуда уступа $h$ , то, согласно (1.10),

$\Delta g=G(\sigma-\sigma_0) \int\limits_0^{+\infty}dx\int\limits_{-\infty}^{\infty}dy \int\limits_{z_1}^{z^2}\frac{dz}{\left[ (\bar x -x)^2+\bar y^2+\bar z^2\right]^{3/2}}.$

(1.13)

В общем случае выражение интеграла имеет громоздкий вид. В частности, полная максимальная аномалия над уступом (разность силы тяжести между поднятым и опущенным крылом) определится следующей формулой:

$\Delta {g}_{\max } = 2\pi G(\sigma - {\sigma}_{o} )({z}_{2} - {z}_{1} ).$

(1.14)

Над уступом (x=0) аномалия равна половине максимальной.

Рис.1.5 Гравитационное поле над уступом (сбросом)

2. Обратная задача. Из (1.14) можно определить $h = z _{ 2} - z _{ 1} = \Delta g _{ max } /2 \pi G( \sigma - \sigma _{0} ).$

В теории гравиразведки доказано, что примерная глубина расположения середины высоты уступа $(H = ( z _{2} + z _{ 1} ) / 2)$ равна $x_{ 1/2},$ т.е. абсциссе точки, в которой $\Delta g _{ 1/2}=\Delta g _{ 0 }/2=\Delta g _{ max} / 4,$ где $\Delta g _{ 0}$ - аномалия над уступом, а $\Delta g _{ max}$ - полная аномалия. Практически для определения $H$ на кривой $\Delta g$ находится местоположение сброса $( \Delta g _{ 0} ),$ и в масштабе профиля рассчитывается $x _{ 1/2}$ - расстояние от сброса до точки, в которой $\Delta g = \Delta g _{ 0 } / 2.$ Зная $H$ и $h$ , легко определить глубины до приподнятого $(z _{ 1} = H - h / 2)$ и опущенного $(z _{ 2} = H + h / 2)$ крыла.

1.3.5. Графическое определение аномалии силы тяжести двухмерных тел с помощью палетки Гамбурцева.

1. Прямая задача. Для тел более сложной формы расчет $\Delta g$ представляет большие трудности и выполняется либо на вычислительных машинах, либо графическим путем с помощью различных палеток. Для вычислений аномалий над телами с сечением любой произвольной формы и вытянутыми вдоль оси (двухмерные тела) применяется палетка Гамбурцева. Палетка имеет вид, показанный на рис. 1.6.

Рис.1.6 Палетка Гамбурцева для вычисления притяжения двухмерных тел

Здесь из точки О через один и тот же угол $\Delta \varphi$ проведены радиусы, а через равные расстояния $\Delta z$ - параллельные линии.

Сила тяжести $\Delta g$ в точке О за счет притяжения бесконечной горизонтальной призмой сечением в виде трапеции ABCD одинакова для любой из таких призм и равна

$\Delta {g}_{п} = 2G(\sigma - \sigma )\Delta \varphi\Delta z$

(1.15)

В самом деле, воспользуемся формулой притяжения бесконечно длинным цилиндром (1.12), в которую вместо \lambda подставим массу элементарной призмы сечением dxdz:

$\lambda = \pi {R}^{2} (\sigma - {\sigma }_{o} )$

Притяжение бесконечно длинной призмой любого сечения может быть рассчитано по формуле:

$\Delta g = 2G(\sigma - {\sigma }_{o} )\int\limits\int\limits \frac{z}{{x}^{2} + {z}^{2} } dx dz .$

Заменив $x = z\, \hbox{ctg} \, \varphi ,$ получим $dx = z(-1/\sin ^{ 2} \varphi ) d \varphi ,$ но $sin ^{ 2} \varphi = z ^{ 2} /(x ^{ 2} + z ^{ 2} )$ , поэтому

$\Delta g = 2G(\sigma - {\sigma }_{o} )\int\limits\int\limits dz d\varphi \approx 2G(\sigma - {\sigma }_{o} )\sum \Delta z \Delta \varphi \approx\sum\Delta {g}_{п},$

где $\Delta g _{ п }$ - цена одной трапеции (цена палетки), равная $\Delta {g}_{п} = 2G\Delta {\sigma }_{п}\Delta \varphi\Delta z.$

Подобрав $\Delta \sigma ,$ $\Delta \varphi$ и $\Delta z$ такими, чтобы $\Delta g _{п}$ равнялось какому-нибудь постоянному значению (например, 0,1 мГал), легко рассчитать в точке О аномалию от призмы любого сечения, для чего надо подсчитать число трапеций, покрывающих сечение исследуемого тела (n). Аномалия $\Delta g$ равна n, умноженному на цену палетки и масштабный коэффициент

$K = \frac{\Delta {\sigma }_{п} }{\sigma - {\sigma}_{o} } \cdot\frac{{M}_{п} }{{M}_{p} },$

где $\Delta \sigma _{ п}$ и $M _{ п}$ - избыточная плотность и масштаб палетки, а $\sigma - \sigma _{ 0}$ и $M _{ р}$ - избыточная плотность и масштаб разреза.

Таким образом, аномалия над двухмерным телом любого сечения с помощью палетки Гамбурцева рассчитывается по формуле:

$\Delta {g} = n\Delta {g}_{п} K.$

(1.16)

2. Обратная задача. Используя (1.16) с помощью палетки Гамбурцева, можно выяснить форму и положение сечения возмущающего двухмерного аномалосоздающего объекта. Для этого надо знать избыточную плотность $\sigma - \sigma _{0}$ , оценить аналитическим способом положение ее центра и для нескольких точек графика $\Delta g$ построить возможные сечения возмущающего тела. Среднее из них характеризует примерное сечение тела.

1.3.6. Численные методы решения прямых и обратных задач гравиразведки.

Для более сложных форм аномалосоздающих объектов прямые задачи гравиразведки решаются численными методами с помощью ЭВМ. За основу берется формула для гравитационной аномалии, созданной любым телом с постоянной или переменной избыточной плотностью (1.10). Практически численный метод сводится к разбиению объекта на элементарные массы, ячейки - например, шаровой или кубической формы. Гравитационный эффект таких масс рассчитывается по формуле (1.9), а затем ведется их суммирование по всему объему объекта. Счет можно реализовать с помощью ЭВМ.

Рис.1.7 К неоднозначности решения обратной задачи гравиразведки

Обратные задачи решаются методом сравнения полевой аномалии с теоретически рассчитанными, у которых геометрические параметры и избыточные плотности постепенно изменяются до получения наименьших расхождений между кривыми. Если прямые задачи, как и всякие прямые задачи математической физики, однозначны, то обратные задачи неоднозначны (см. 3). На рис. 1.7 приведен схематический пример того, как тела разного сечения и глубины залегания даже при постоянной избыточной плотности могут создать одинаковую аномалию силы тяжести.

2. Аппаратура, методика и обработка данных гравиразведки

2.1. Принципы измерений силы тяжести и аппаратура для гравиразведки

2.1.1. Измеряемые в гравиразведке параметры.

Основным измеряемым параметром в гравиразведке является ускорение силы тяжести $g$ , которое определяется либо абсолютно, либо относительно. При абсолютных измерениях получают полное (наблюденное) значение ускорения $g _{ н}$ , при относительных - его приращение относительно некоторой исходной точки $\Delta g _{ н} .$

Методы измерения ускорения силы тяжести и его приращения делятся на динамические и статические. Под динамическими понимаются такие методы, в которых наблюдается движение тела под действием силы тяжести (качание маятника, свободное падение тел и др.) В этом случае g определяется через параметры движения тела и параметры установки. В статических методах действие силы тяжести компенси\-руется (например, силой упругости пружины), а g определяется по изменению статического положения равновесия тела.

Реже в гравиразведке измеряются вторые производные гравитаци\-онного потенциала $W _{ xy} , W _{xz} , W _{ yz} , ( W _{ yy} -W _{ xx} ).$

2.1.2. Динамические методы.

а). Наиболее используемый динамический метод - маятниковый. Для абстрактного объекта - математического маятника - период колебаний

$T = \pi \sqrt{l/g} (1 + \frac{1}{4}{\sin }^{2} \alpha /2 + \frac{9}{64} {\sin }^{4} \alpha /2),$

где $l$ - длина маятника, $g$ - ускорение силы тяжести, $\alpha$ - максимальное значение угла отклонения маятника от вертикали. Эта формула остается справедливой и для реального объекта - физического маятника, если в качестве $l$ взять так называемую приведенную длину $l = Jma,$ где $J$ - момент инерции маятника, $m$ - масса, $a$ - расстояние от центра тяжести до оси вращения. При малых $\alpha$ формула для периода принимает вид $T \approx \pi \sqrt{l/g} .$ Точность определения периода возрастает при увеличении времени наблюдения за колебаниями маятника. Для абсолютных измерений ускорения силы тяжести необходимо измерять длину маятника. Зная $g _{ 0}$ и ${T}_{o} = \pi \sqrt{l/g}$ на исходной точке, а также ${T}_{i} = \pi \sqrt{l/{g}_{i} }$ на i-той точке, можно выполнить относительные измерения в двух точках: по формуле $g _{ i} = g _{ 0} ( T _{0} - T _{ i} ) ^{ 2} ,$ т.е. в относительных измерениях длину определять не надо.

Хотя маятниковые приборы и подвержены воздействию температуры, влажности и других факторов, они характеризуются очень медленным и плавным сползанием нуль-пункта (изменением зависимости показаний в одной и той же точке от времени, вызванным старением системы).

При измерениях маятниковыми приборами в движении, например, при морских съемках, влияние качки можно существенно снизить, если применять несколько маятников, закрепленных на одном основании. В этом случае их колебания обычно сводят к колебаниям одного эмпирического маятника, используя сложный математический аппарат.

Погрешность абсолютных измерений ускорения силы тяжести маятниковыми приборами можно довести до 1 - 3 мГал, а относительных - при наземных исследованиях - до 0.1 мГал, при морских съемках - до 5 - 10 мГал.

б). Определение абсолютного значения ускорения силы тяжести можно проводить методом свободного падения, когда измеряется время свободного падения тела и расстояние, пройденное телом. Измерения отличаются большой трудоемкостью и выполняются на обсерваториях, где точность в определении $g$ можно довести до 0,01 мГал.

в). В настоящее время известны методы абсолютных и относительных измерений силы тяжести, основанные на изучении колебаний струн. В них измеряется частота колебаний струны, ее длина и масса. В результате можно рассчитать $g$ или $\Delta g$ .

Назад| Вперед