Астронет > Геофизические методы исследования земной коры. Часть 1

Астронет: Геологический факультет МГУ Геофизические методы исследования земной коры. Часть 1
http://variable-stars.ru/db/msg/1173309/page5.html

Геофизические методы исследования земной коры

1.3. Принципы решения прямых и обратных задач гравиразведки

В результате гравиразведки рассчитываются аномалии силы тяжести, обусловленные теми или иными плотностными неоднородностями, а влияние притяжения всей Земли и окружающего рельефа исключается вычитанием нормального поля и введением редукций (см. 1.2.3). Поэтому в математической теории гравиразведки расcчитываются аномалии от тел простых форм: шара, горизонтального цилиндра, вертикального уступа, вертикального цилиндра и т.д. без учета притяжения всей Землей.

Нахождение аномалий силы тяжести и вторых производных потенциала от тел известной формы, глубины залегания, размера и плотности носит название прямой задачи гравиразведки. Определение местоположения, формы, глубины залегания, размеров и плотности тел по известным аномалиям $\Delta g$ или вторых производных потенциала силы тяжести называется обратной задачей гравиразведки.

1.3.1. Аналитические способы решения прямых задач гравиразведки.

Аномалия силы тяжести, вызванная притяжением тел известной формы, размера и плотности, может быть вычислена на основании закона всемирного притяжения (закон Ньютона).

Пусть в координатной системе xyz ось z направлена вниз к центру Земли. Ставится задача определить в точке наблюдения А(x,y,z) аномальную силу тяжести ( $\Delta g$ ), т.е. вертикальную составляющую силы притяжения Землей единицы массы ( ) элементарной массой dm, находящейся в точке M (x',y',z') (рис. 1.2).

Рис.1.2 К определению аномалий силы тяжести от элементарной массы

По закону Ньютона притяжение единичной массы равно:

f=Gdm/r²,

где $G$ - гравитационная постоянная, $r$ - расстояние между точками (см. 1.4).

Аномалия $\Delta g$ является проекцией вектора f на ось z:
$\Delta g=f\cos\alpha =G \frac{dm}{{r}^{2}}\cdot\frac{({z'} -z)}{r},$ (1.6)

где из треугольника ABM $\cos\alpha=(z'-z)/r$ . Это же выражение можно получить с помощью потенциала W=Gdm/r. В самом деле:
$\Delta g=- \frac{\partial W}{\partial z} = \frac{Gdm({z'} -z)}{{r}^{3} }$ (1.7)

Обозначив плотность притягивающей массы через $\sigma$ , а ее объем через dV, можно записать
$\Delta g=G \frac{dv}{{r}^{3}} ({z'} -z)$ (1.8)

Такова будет аномалия силы тяжести, обусловленная массой, расположенной в пустоте. В природных условиях аномальные включения расположены во вмещающей среде с некоторой плотностью $\sigma_{0}$ , поэтому под массой dm надо понимать избыточную массу $dm = (\sigma - \sigma_{0} )dV$ .

Отсюда
$\Delta g=G(\sigma -{\sigma}_{o} ) \frac{dv}{{r}^{3} } ({z'} -z),$ (1.9)

где $(\sigma - \sigma_{0} ) = \Delta\sigma$ - избыточная плотность.

При $\sigma\gt\sigma_{0}$ $\Delta g$ имеет положительный знак, т.е. наблюдается увеличение притяжения и положительные аномалии $\Delta g$ . При $\sigma\lt\sigma_{0}$ $\Delta g$ имеет отрицательный знак, т.е. наблюдается уменьшение притяжения и отрицательные аномалии $\Delta g$ .

В принципе аномалия, созданная любым телом, может быть определена интегралом по объему тела:
$\Delta {g}_{v} =G(\sigma -{\sigma }_{o} ){\int }_{V} \frac{({z'} -z)dV}{{r}^{3} }$ (1.10)

т.е. суммой притяжений всех элементарных объемов, из которых состоит тело.

Рассмотрим несколько прямых и обратных задач для тел простой геометрической формы.

1.3.2. Прямая и обратная задачи над шаром.

1. Прямая задача. Пусть однородный шар радиуса $а$ и плотности $\sigma$ расположен на глубине $h$ в среде с плотностью $\sigma_{0}$ (для простоты центр находится на оси z, а наблюдения проводятся по оси x в точке P) (рис. 1.3).

Рис.1.3 Гравитационное поле шара

Формула для вычисления $g$ может быть получена из (1.6) - (1.9) путем замены элемента $dm$ массой шара в силу того, что притяжение однородным шаром происходит так, как если бы вся масса была сосредоточена в центре шара. Учтя, что x'=y'=0,z'=h,y=z=0, получим для шара
$\Delta g=GM \frac{h}{{r}^{3} } =G(\sigma -{\sigma }_{o} )V \frac{h}{{r}^{3} } =G(\sigma -{\sigma }_{o} )Vh/({x}^{2} +{h}^{2})^{3/2}$ (1.11)

График $\Delta g$ будет иметь максимум над шаром (x=0) и асимптотически стремиться к нулю при удалении от шара. В плане изолинии $\Delta g$ будут иметь вид концентрических окружностей.

Вторая производная (градиент аномалии по профилю наблюдений) равна:
${W}_{xz} = \frac{\partial (\Delta g)}{\partial x} =GMh\partial (1/{r}^{3} )/\partial x=-3GMhx/{r}^{5}$

Вид кривой W_xz может быть легко получен путем графического построения из кривой $\Delta g$ . График W_xz имеет перед шаром максимум, за шаром - минимум, над центром шара - ноль.

2. Обратная задача. Из (1.11) максимум $\Delta g$ над центром шара (x=0) равен $\Delta g_{ max} = GM/ h^{ 2}$ .

Для точки, удаленной от максимума на расстояние x_1/2, имеющей $\Delta g_{ 1/2}= 1/2 \Delta g_{ max}$ , можно записать следующее уравнение:
$\Delta {g}_{1/2} = \frac{GM}{2{h}^{2} } = \frac{GMh}{({x}_{1/2}^{2} +{h}^{2} )^{3/2} }\; \hbox{или} \; 2{h}^{3} =({x}_{1/2}^{2} +{h}^{2})^{3/2} .$

Решив последнее уравнение, получим формулу для определения глубины залегания центра шара h=1,3x_1/2. Зная $h$ , легко найти избыточную массу ( $M$ ): $M = \Delta g_{ max } h^{ 2}/G$ .

Так как $M=V ( \sigma - \sigma_{ 0}) = 4/3\pi a^{ 3} ( \sigma - \sigma_{0}),$ то, зная избыточную плотность $( \sigma -\sigma_{ 0})$ , можно рассчитать объем ( $V$ ) и радиус шара ( $a$ ). Так, радиус равен:
$a = \sqrt[3]{ \frac{3M}{4\pi(\sigma -\sigma_{0} )} } =0,01 \sqrt[3]{0,38\Delta {g}_{\max } {h}^{2}/(\sigma -{\sigma }_{0} )},$

где $\Delta g_{ max}$ - в миллигалах, $h$ - в метрах, $( \sigma - \sigma_{0})$ - в тоннах / куб. метр (г/см³).

1.3.3. Прямая и обратная задачи над горизонтальным бесконечно длинным круговым цилиндром.

1.Прямая задача. Рассмотрим бесконечно длинный круговой горизонтальный цилиндр радиуса $R$ , расположенный вдоль оси y (рис. 1.4). Ось наблюдений ( x) направим вкрест простирания цилиндра.

Рис.1.4 Гравитационное поле бесконечно длинного кругового горизонтального цилиндра

Притяжение однородным цилиндром происходит так же, как если бы вся его масса была сосредоточена вдоль вещественной линии, расположенной вдоль оси цилиндра, с массой единицы длины, равной $\lambda = dm / dy = \pi R^{ 2}( \sigma - \sigma_{0})$ . Используя (1.10), можно получить формулы для $\Delta g$ и $W _{ xz }$ :
$\Delta g = Gh\lambda {\int\limits }_{-\infty }^{+\infty } \frac{dy}{({x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} {)}^{3/2} } = \frac{2Gh\pi {R}^{2} (\sigma - {\sigma }_{o} )}{{x}^{2} + {h}^{2} } ,$ (1.12)

${W}_{xz} = \frac{\partial(\Delta g)}{\partial z}=-\frac{4Gh\lambda x}{(x^2+h^2)^2}.$

Графики $\Delta g$ и $W _{ xz}$ над цилиндром и шаром внешне похожи (см. рис. 1.3 и 1.4). В плане изолинии $\Delta g$ над цилиндром будут вытянутыми параллельными линиями.

2. Обратная задача. Из (1.10 и 1.12) можно при х=0 получить $\Delta g _{max} = 2 { G} \lambda / h$ . Отсюда
$\Delta {g}_{1/2} = \Delta {g}_{\max } /2 = \frac{G\lambda }{2} = \frac{2G\lambda h}{({x}_{1/2} + {h}^{2} )}$

и $h^{2} =x_{1/2}^{2}$ , $h = \pm x _{ 1/2}$ , т.е. глубина залегания цилиндра равна расстоянию от точки максимума $\Delta g _{ max}$ до точки, где $\Delta g= \Delta g _{ max } / 2$ .

Определив $h$ и зная избыточную плотность, можно рассчитать

$\lambda = \pi R ^{ 2} ( \sigma - \sigma _{ 0} ) = 0,0075 h \Delta g _{max}$

и радиус цилиндра:

$R = \sqrt{ \frac{0,0075h\Delta{g}_{max }}{\pi (\sigma - {\sigma }_{o} )} } .$

Зная $R$ , можно получить глубины залегания верхней h_в=h-R и нижней h_н=h+R кромок цилиндра. Нетрудно вычислить выражение и для $W _{ xz}$ .

Назад| Вперед