Астронет > Геофизические методы исследования земной коры. Часть 1

Астронет: Геологический факультет МГУ Геофизические методы исследования земной коры. Часть 1
http://variable-stars.ru/db/msg/1173309/page24.html

Геофизические методы исследования земной коры

7.3. Принципы решения прямых и обратных задач электроразведки

7.3.1. Общие подходы к решению прямых задач электроразведки.

В основе теории электроразведки лежат уравнения Максвелла, являющиеся постулатами макроскопической электродинамики. Они включают в себя все основные законы электромагнетизма (законы Ома, Ампера, Кирхгофа и др.) и описывают поля в разных средах. Из уравнений Максвелла получается дифференциальное уравнение, названное телеграфным. Решая его, можно получить электрическую ( $Е$ ) компоненту поля в средах вдали от источника с электромагнитными параметрами $\rho, \epsilon, \mu$ :

$\Delta E= \frac{\mu }{\rho } \frac{\partial E}{\partial t} +\epsilon\mu \frac{{\partial }^{2} E}{\partial {t}^{2} }$ , где $\Delta E= \frac{{\partial }^{2} E}{\partial {x}^{2} } + \frac{{\partial }^{2} E}{\partial {y}^{2} } + \frac{{\partial }^{2} E}{\partial {z}^{2}}.$

(3.5)

Дифференцирование ведется по декартовым координатам ( х, у, z) и времени ( $t$ ). Уравнение для магнитной ( $Н$ ) компоненты поля аналогично.

Если геоэлектрический разрез известен, то с помощью уравнения (3.5) и физических условий задачи, называемых условиями сопряжения, решаются прямые задачи электроразведки, т.е. получаются аналитические или численные значения $Е$ и $Н$ , которые соответствуют заданному геоэлектрическому разрезу. В теории электроразведки прямые задачи решаются для разных физико-геологических моделей (ФГМ) сред. Под ФГМ понимаются абстрактные геоэлектрические разрезы простой геометрической формы, которыми аппроксимируются реальные геолого-геофизические разрезы. Сложность решения прямых задач заключается в выборе моделей, близких к реальным, но таких, чтобы для избранного типа первичного поля удалось получить хотя бы приближенное решение для $Е$ или $Н$ . Для этого применяется математическое моделирование с использованием современных ЭВМ. В недалеком прошлом основным способом решения прямых задач для сложных ФГМ и разных по структуре типов полей являлось физическое моделирование на объемных или плоскостных моделях сред.

Наиболее простыми моделями сред являются:

однородное изотропное пространство или полупространство с одинаковыми электромагнитными свойствами (решения над ними называются соответственно первичным или нормальным полем источника);
анизотропное пространство или полупространство с электромагнитными свойствами, отличающимися в направлении и вкрест слоистости пород;
одномерные неоднородные среды, в которых свойства меняются в одном направлении. Такими ФГМ могут быть, например, вертикальные контакты двух сред, ряд вертикальных пластов или горизонтально слоистая среда с разными $\rho$ ;
двухмерные неоднородные среды, в которых электромагнитные свойства меняются в двух направлениях. Примером могут быть наклонные пласты или цилиндры, простирающиеся вдоль одного направления и отличающиеся по $\rho$ от вмещающих горных пород;
трехмерные неоднородные среды, в которых свойства меняются по трем направлениям. Самой простой из подобных моделей является шар с разными $\rho, \alpha$ или $\eta$ в однородном полупространстве.

В порядке увеличения сложности структуры первичных полей, а значит возрастания сложности решения прямых задач, используемые для электроразведки поля можно расположить в следующей последовательности: точечных и дипольных источников постоянного тока, плоских гармонических электромагнитных волн, сферических волн дипольных гармонических или импульсных источников, цилиндрических волн длинного кабеля и т.п.

Существуют различные подходы к решению прямых задач с помощью уравнения (3.5). Любое правильное решение, удовлетворяющее всем физическим требованиям, единственно и корректно. Под корректностью понимается такое решение, в котором малым изменениям исходных данных соответствуют малые приращения расчетных параметров.

7.3.2. О нормальных полях в электроразведке.

Как отмечалось выше, под нормальным полeм понимается электромагнитное поле того или иного источника над однородным изотропным полупространством с неизменными электромагнитными свойствами.

Из простейшей прямой задачи о поле точечного источника постоянного тока на земной поверхности (см. 7.1.3) можно получить нормальные поля постоянных электрических токов для разных установок или разных комбинаций питающих ( АВ) и приемных ( МN) электродов (см. рис. 3.2).

В практике электроразведки часто применяются четырехэлектродные установки АМNВ (см. рис. 3.2).

Рис. 3.2. План расположения питающих (А и В) и приемных ( М и N) электродов в разных установках метода сопротивлений: а - четырехэлектродной, б - срединного градиента, в - симметричной четырехэлектродной, г - трехэлектродной, д - двухэлектродной, е - дипольной радиальной, ж - дипольной азимутальной

К одному питающему электроду (например, А) подключается положительный полюс источника тока, к другому ( В) - отрицательный. Разность потенциалов на приемных электродах ( МN) от электрода А, определенная по полученной выше формуле (3.1), равна:

$\Delta U_{A} = \frac{J\rho }{2\pi} \left ( \frac{1}{AM} - \frac{1}{AN}\right ).$

Аналогичным образом можно получить разность потенциалов от отрицательного полюса В, но величину тока следует принять равной ( $-J$ ).

Разность потенциалов от обоих электродов АВ равна суперпозиции $\Delta U_{ A}$ и $\Delta U_{ B }$ :

$\Delta U = \frac{J\rho }{2\pi} \left ( \frac{1}{AM} - \frac{1}{AN} - \frac{1}{BM} + \frac{1}{BN}\right).$

(3.6)

Если МN установить в центре АВ так, чтобы АМ = BN, АN = ВМ, то получим формулу для расчета $\rho$ симметричной четырехэлектродной установки (см. рис. 3.2):

$\rho = \pi \frac{AM\cdot AN}{MN} \cdot \frac{\Delta U}{J}.$

(3.7)

Потенциал двухэлектродной установки АМ ( А и N удалены в бесконечность) можно получить из (3.6), приняв $АN = ВМ = ВN = \infty$ , т.е. $U = Jr / 2 \pi AM$ .

В методах сопротивлений применяется и ряд других установок. Так, например, для глубинных исследований используются различные дипольные установки (рис. 3.2). Если приемный диполь ( МN) перпендикулярен радиусу ( $r$ ) между его центром и центром питающего диполя ( АВ), а угол между радиусом и питающей линией АВ ( $\theta$ ) находится в пределах $70^\circ\lt\theta\lt 110^\circ$ , то такая установка называется азимутальной. Частным случаем азимутальной является экваториальная установка ( $\theta = 90^\circ$ ). Если приемный диполь (МN) направлен вдоль $r$ , а $-30^\circ\lt\theta\lt +30^\circ$ , то такая установка называется радиальной. Частным случаем радиальной установки является осевая ( $\theta = 0^\circ$ ).

Для каждой установки можно получить формулы, по которым рассчитывается коэффициент установки. Так, для азимутальной установки $K = 2 \pi r^3/ AB\cdot MN\cdot q$ , для радиальной $K = \pi r^3/ AB\cdot MN\cdot p$ , где $p$ и $q$ - коэффициенты, мало отличающиеся от единицы и определяемые по специальным номограммам.

Таким образом, при работах любой установкой $\rho$ рассчитывается по формуле для нормального поля

$\rho = K \frac{\Delta U}{J},$

(3.8)

где $\Delta U$ - разность потенциалов на МN, $J$ - ток в АВ, а $K$ - коэффициент устaновки, зависящий лишь от расстояний между электродами.

Как отмечалось выше, по этим же формулам можно рассчитать некоторое \rho над реальным, неизвестным и практически всегда неоднородным полупространством. Тогда оно называется кажущимся (КС или $\rho_{ к}$ ).

Расчет нормальных полей для других источников (гармонических, импульсных) очень сложен, но в любом случае принято получать КС (см. 7.1.3 - 7.1.5).

7.3.3. Электрическое поле точечного источника постоянного тока над двухслойной средой.

Простейшей, но очень важной для практики электроразведки методом сопротивлений, одномерной прямой задачей является задача об электрическом поле и кажущемся сопротивлении на поверхности полупространства, верхнее из которых воздух, а нижнее - двухслойная горизонтально слоистая среда с мощностью верхнего слоя $h_{ 1}$ , нижнего $h_{ 2} = \infty$ , УЭС слоев $\rho_{ 1}, \rho_{ 2}$ и $\rho_{ 3} = \infty$ (воздух) (см. рис. 3.3).

Поставленная задача могла бы быть решена с помощью уравнения (3.2), которое при $f =0$ превращается в уравнение Лапласа $\Delta U = 0$ , где $U$ - потенциал в любой точке М с напряженностью электрического поля $Е = х\partial U / \partial r$ .

Рис.. 3.3. Решение прямой задачи о поле точечного источника постоянного тока над двухслойной средой методом зеркальных отражений

Однако ее можно быстро решить методом зеркальных отражений. Согласно правилам метода зеркальных отражений, урав-нение Лапласа и физические требования, в том числе граничные условия, выполняются, если потенциал в одномерной среде, где расположен точечный источник, принять равным сумме потенциалов этого источника ( $А$ ) и всех его многократных отражений от границ раздела ( $А_{ 1}, А_{ 2}, А_{ 3}, \ldots$ ) с коэффициентами отражений, равными на границе I $K_{ 12} = ( \rho_{ 2} - \rho_{ 1}) / ( \rho_{ 2} + \rho_{ 1})$ , а на границе II $K_{ 13} = ( \rho_{ 3} - \rho_{ 1}) / ( \rho_{ 3} + \rho_{ 1}) = 1$ (т.к. $\rho_{ 3} = \infty$ ).

На рис. 3.3 показано, как эти источники расположены. При этом обозначено

$АМ = r, R_{1} =R_{2} =\sqrt{r^{2} +(2h_{1})^{2} } , R_{3} =R_{4} =\sqrt{r^{2} +(4h_{1})^{2}} ,\ldots R_{n} = R_{n+1} = \sqrt{r^{2} + (2nh_{1})^{2} },$

где $n = 1, 2, 3,\ldots , \infty$ .

Таким образом, искомое выражение для потенциала получает вид:

$U = \frac{J{\rho }_{1} }{2\pi } \left [ \frac{1}{r} + 2\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{K^{n}_{12}}{\sqrt{r^{2} + (2n{h}_{1} )^{2} } } \right ] .$

(3.9)

Выражение для КС (3.1) можно записать в виде: $\rho_К = \frac{2\pi {r}^{2} }{J} \cdot \frac{\Delta U}{MN}$ , где $\Delta U / MN = Е$ - напряженность электрического поля. Но $Е = х\partial U / \partial r$ , поэтому $\rho_К = \frac{2\pi {r}^{2} }{J} \cdot\left (\frac{\partial U}{\partial r} \right )$ . Подставив в эту формулу производную $\partial U / \partial r$ из (3.9), получим

${\rho }_{К} = \frac{2\pi {r}^{2} }{J} \left ({ \frac{J{\rho }_{1} }{2\pi } }\right ) \cdot \left \{ { \frac{1}{{r}^{2} } + 2\sum\limits_{n=1}^{\infty }\frac{K^n_{12} r}{\left [r^2 + (2nh_1)^2\right]^{3/2}}}\right\}.$

Откуда

${\rho }_{К} = {\rho }_{1} \left \{ {1 + 2\sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{K^n_{12} {r}^{3} }{[{r}^{2} + (2n{h}_{1})^{2}]^{3/2} } }\right \}.$

(3.10)

Анализируя эту формулу, можно найти асимптотические выражения $\rho_{ к}$ , равные $\rho_{ 1}$ и $\rho_{ 2}$ . В самом деле, при $r \rightarrow 0$ $\rho_{ к} = \rho_{ 1}$ , при $r \rightarrow \infty$
$\rho_K =\rho_1\left\{ 1+2\sum\limits_{n=1}^{\infty} K_{12}^n\right\} = \rho_1\left\{ 1+2\frac{K_{12}}{1-K_{12}}\right\} =\rho_2$

(т.к. $K_{ 12} = ( \rho_{ 2} - \rho_{ 1}) / ( \rho_{ 2 }+ \rho_{1})$ , а $\sum K_{12}^{n}$ равна $K_{ 12 }/ (1- K_{ 12})$ как сумма членов геометрической прогрессии).

С помощью формулы (3.10), справедливой для трехэлектродной и симметричной четырехэлектродной градиент-установок, принято строить теоретические двухслойные кривые - графики зависимости $\lg ( \rho_{ K }/ \rho_{ 1}$ ) от $\lg ( r / h_{ 1})$ . Они называются двухслойными теоретическими кривыми ВЭЗ (вертикальное электрическое зондирование) (см. 8.2), или двухслойной палеткой ВЭЗ (см. рис. 3.4).

Рис. 3.4. Двухслойная палетка ВЭЗ: 1 и 2 - теоретические и полевая кривые

Более громоздкое решение получается в задаче о поле точечного источника над многослойной горизонтально слоистой средой, а еще сложнее решение для такой же среды, но при возбуждении поля дипольными гармоническими или импульсными источниками.

Одномерные прямые задачи электроразведки для многослойных горизонтально слоистых сред для любых первичных полей все-таки сводятся к аналитическим формулам для расчета КС. В результате принято строить кривые КС, аналогичные приведенным на рис. 3.4.

Двухмерные и трехмерные прямые задачи электроразведки сводятся к аналитическим формулам лишь для тел простой формы (шар, пласт, цилиндр) в однородной среде. В более общих случаях получаются лишь приближенные численные решения, получаемые с помощью ЭВМ.

Назад| Вперед