 |
Астронет: А. С. Расторгуев/ГАИШ Определение кривой вращения и шкалы расстояний в Галактике http://variable-stars.ru/db/msg/1172553/node6.html |
<< 4. Кинематическая модель: движение | Оглавление | 6. Наблюдаемый тензор ковариации >>
5. Основные формулы метода
Следуя Маррею [14], рассмотрим вначале поле пространственных скоростей объектов. Именно пространственные скорости дают возможность уточнить шкалу расстояний методом статистических параллаксов. Метод опирается на простую идею: требование согласованности остаточных тангенциальных и лучевых скоростей совокупности объектов, расстояния до которых вычисляются по известному модулю расстояния, т.е., как отмечено выше, на основании определенной гипотезы относительно их светимости. Так как тангенциальная скорость вычисляется по собственному движению и расстоянию, то она, в отличие от лучевой скорости, непосредственно зависит от принятого расстояния до объектов. Если расстояния до объектов систематически завышены, то их тангенциальные скорости будут систематически больше лучевых и наоборот. При правильном выборе шкалы расстояний компоненты остаточной скорости будут удовлетворять трехосному эллипсоидальному распределению во всей области, занимаемой выборкой.
Разность между наблюдаемой пространственной скоростью и скоростью движения, которую должна иметь звезда в рамках выбранной кинематической модели, имеет случайный характер. Обычно полагают, что вектор разности скоростей распределен по трехмерному нормальному закону [14]. Мерой его рассеяния является тензор ковариации, включающий как ошибки наблюдений, так и "космическую" дисперсию. Зная аналитический вид распределения, мы можем записать явное выражение для функции правдоподобия исследуемой выборки и, найдя ее максимум, определить неизвестные кинематические параметры.
Введем вначале вспомогательные матрицы
, которая, как легко понять, переводит компоненты скорости, вычисленные для среднего расстояния
в локальной системе
координат, в вычисленные для принятого расстояния 
по формуле
Первый диагональный элемент матрицы
равен 1, т.к.
лучевая скорость от расстояния не зависит. Представим наблюдаемые
(или измеренные) лучевую скорость и компоненты собственного
движения в виде
где индексом
помечены неизвестные нам истинные значения
величин, а 
, 
и 
- их
известные ошибки измерения. Очевидно, что значения
могли бы быть вычислены через
полную истинную скорость звезды:
где
включает все модельные систематические
движения - дифференциальное вращение и, если требуется,
некруговые движения. Для того чтобы явным образом отделить не
зависящую от расстояния лучевую скорость от тангенциальной, с
учетом (6) запишем тождественное соотношение
Вспомнив, что в п. 2 мы положили
,
после несложных преобразований представим вектор наблюдаемой
скорости
в виде суммы
с вектором ошибок
Поскольку истинное расстояние и скорость нам не известны, рассмотрим модельную систематическую скорость (не включающую, в отличие от (8), "космической" дисперсии!) для уточненного расстояния
:
В принятой шкале расстояний
эта скорость, по аналогии с
(7), была бы равна
Разность
включает, как уже говорилось, ошибки наблюдений и остаточную скорость и распределена по трехмерному нормальному закону. Чтобы найти для нее тензор ковариации, раскроем (12) с использованием выражений (8)-(11), ограничиваясь членами порядка
и 
:
где введенный для упрощения вектор
не содержит вариаций переменных и истинной остаточной скорости
.
<< 4. Кинематическая модель: движение | Оглавление | 6. Наблюдаемый тензор ковариации >>