Астронет > Автомодельность

Астронет: "Физическая Энциклопедия"/Phys.Web.Ru Автомодельность
http://variable-stars.ru/db/msg/1172228

Автомодельность
1.08.2001 0:00 | "Физическая Энциклопедия"/Phys.Web.Ru

Автомодельность - особая симметрия физической системы, состоящая в том, что изменение масштабов независимых переменных может быть скомпенсировано преобразованием подобия других динамических переменных. Автомодельность приводит к эффективному сокращению числа независимых переменных. Например, если состояние системы характеризуется функцией $u(х, t)$ , где х - координата, t - время, то условие инвариантности относительно изменения масштабов $x\prime =kx$ , $tprime =lt$ и преобразования подобия таково:
$u(x,t)=k^{1/ \alpha}l^\beta u(kx,lt)$ .
где $\alpha, \beta$ - числа. Выбор $k^{1/ \alpha}=l=m/t$ , где m - критерий подобия (параметр), придаёт первоначальной функции автомодельный вид
$u (x,t)=m^{(1+\beta)}t^{-(1+\beta)}u(m^\alpha t^{-\alpha}x,m$
Т. о., функция u при постоянном m зависит только от комбинации $x/t^\alpha$ . Автомодельность возможна, если набор параметров, определяющих состояние системы, не содержит характерных масштабов независимых переменных. Поскольку в большинстве задач форма преобразования подобия заранее неизвестна, автомодельную подстановку надо в каждом случае находить отдельно. Для этого имеются 3 способа:

Анализ размерностей. Состояние системы характеризуется набором размерных параметров и функций, зависящих от координат х, у, z и времени t. Если один из безразмерных критериев подобия имеет вид m = Х₀/b $Т_0^\alpha$ , где b - параметр, имеющий размерность [b] = $LT^{-\alpha}$ , X₀, Т₀ - характерные длина и промежуток времени, L, Т - единицы длины и времени соответственно, то в качестве автомодельных переменных можно выбрать безразмерные комбинации x/b $t^\alpha$ , y/b $t^\alpha$ , z/b $t^\alpha$ . В том случае, когда имеется не более двух определяющих параметров с независимыми размерностями, отличными от длины и времени, переход к автомодельным переменным превращает уравнение с частными производными в обыкновенное дифференциальное уравнение.
Непосредственный подбор. Формально вводится автомодельная замена переменных u=rf(x/ $t^\alpha$ ) или, в более общем виде, u= $\varphi(t)\psi(\chi)$ , $\chi=x/ \eta(t)$ . Уравнения, начальные и граничные условия должны иметь структуру, допускающую такую замену. Решение существует не для любых значений $\alpha$ , $\beta$ и не для любых функций $\varphi(t)$ и $\eta(t)$ . Для получения подходящих значений необходимо решить нелинейную задачу на собственные значения.
Исследование групповых свойств уравнений. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка f_j (х_i, u_k, p_ik) = 0, где х_i - независимые переменные, u_k - искомые функции, р_ik = $\partial u_k/ \partial x_i$ . Всевозможные замены переменных х_i, u_k, допускаемые системой, образуют группу Ли. Автомодельные замены являются ее однопараметрической подгруппой растяжений. В некоторых случаях найти такие замены позволяет следующая процедура.

В пространстве переменных х_i, u_k группа Ли задаётся своими генераторами, имеющими общий вид Х = $\xi_i{\displaystyle\partial\over\displaystyle\partial x_i}+\eta_k{\displaystyle\partial\over\displaystyle\partial u_k}$ , где $\xi_i, \eta_k$ - некоторые функции переменных х, и; по повторяющимся индексам производится суммирование. В пространстве переменных х_i, u_k, p_ik группа Ли задаётся генераторами $\tilde X = X+\xi_{ik}{\displaystyle\partial\over\displaystyle\partial p_{ik}}$ где $D_i\eta_k - p_{lk}D_i\xi_l, D_i=\partial/ \partial x_i + p_{ik}\partial/ \partial u_k$ . Система уравнений f_j = 0 определяет гиперповерхность в пространстве переменныхх_i, u_k, p_ik, которая является инвариантом группы при условии Хf_j = 0, когда f_j = 0; эти условия служат для определения функций \xi_i (х, и) и \eta_k (х, u). Комбинации переменных, дающие искомую замену, являются первыми интегралами уравнения . Например, для двух независимых переменных х, t и одной искомой функции u оператор растяжений имеет вид X = $\alpha x\partial/ \partial x+\beta \partial/ \partial t+\gamma u\partial/ \partial u, \alpha, \beta, \gamma$ - числа. Набор первых интегралов уравнения $Х\varphi = 0$ таков: $\mathcal{I}_1 = x/t^{\alpha/ \beta}, \mathcal{I}_2 = u/t^{\gamma/ \beta}$ , поэтому автомодельное решение уравнений, допускающих группу растяжений, будет иметь вид $u = t^{\gamma/ \beta}\psi(x/t^{\alpha/ \beta}), \psi$ - новая искомая функция.

Рассмотрим, например, уравнение Кортевега-де Фриса $\partial u/ \partial t + u \partial u/ \partial x + \mu \partial^3 / \partial x^3 = 0$ , где $\mu$ - постоянный параметр; оно инвариантно относительно преобразования $t\to kt, х\to k^{1/3}x, u\to k^{-2/3}u$ . Генератор $Х=x\partial/ \partial x + 3t\partial/ \partial t - 2u\partial/ \partial u$ - оператор растяжений, и автомодельное решение имеет вид
$u(x,t)=\mu(3\mu t)^{-2/3}\psi(z), z=(3\mu t)^{-1/3}x.$
Подставляя это решение в исходное уравнение, получаем обыкновенное дифференциальное уравнение для функции $\psi(z)$ :
$\psi^{\prime\prime\prime}-z\psi^\prime+ \psi\psi^\prime-2\psi=0$

Однопараметрическая группа растяжений абелева. Если система допускает решения, построенные на других однопараметрических абелевых подгруппах, то подходящей заменой этим решениям можно придать автомодельный вид, что является следствием подобия этих групп. В частности, автомодельные движения тесно связаны с нелинейными бегущими волнами, т. е. решениями вида $u=f(x-\lambda t+a)$ , для которых место преобразования подобия занимает преобразование сдвига. Замена $х = \ln \xi, t = \ln \tau, a=\ln b$ переводит волновое решение f в автомодельное:
$f[\ln{(\xi/bt^\lambda)}] =F(\xi/bt^\lambda).$

Автомодельность, отражающая внутреннюю симметрию, присуща многим явлениям и используется при решении различных физических задач, особенно в механике сплошных сред (см. Автомодельное течение).
Метод ренормализационной группы в квантовой теории поля, по существу, также основан на использовании автомодельного преобразования переменных. Интересно, что в автомодельных переменных уравнение ренормгрушгы оказывается тождественным одномерному уравнению переноса излучения. В физике элементарных частиц автомодельность выражается в том, что сечения некоторых процессов при высоких энергиях зависят лишь от безразмерных автомодельных комбинаций импульсов. Общие принципы квантовой теории поля допускают широкий класс таких автомодельных асимптотик.

Глоссарий Astronet.ru