Astronet Астронет: М. В. Сажин/ГАИШ Теория относительности для астрономов
http://variable-stars.ru/db/msg/1170927/node8.html
Теория относительности для астрономов
<< 6. Анализ в неэвклидовой | Оглавление | 8. Уравнение движения в >>

Разделы

7. Тензор кривизны

Неэвклидова геометрия полностью характеризуется метрическим тензором. Однако помимо этого тензора существует еще несколько важных тензоров, которые тоже используются для характеристики важных соотношений неэвклидовой геометрии. Самой важной величиной после метрического тензора является тензор кривизны или, как для краткости говорят релятивисты, кривизна. Тензор кривизны можно вводить несколькими путями. Мы обсудим здесь два способа определения тензора кривизны. Первый способ - через вторые ковариантные производные от вектора, второй способ более традиционный - посредством сравнения ковариантного переноса вектора по двум путям, образующим замкнутую кривую.

7.1 Тензор кривизны

7.1.1 Вторые ковариантные производные

Пусть в нашем пространстве задано векторное поле $A_{\mu}(x^{\alpha})$. Рассмотрим первые производные этого векторного поля и вторые производные поля $A_{\mu}(x^{\alpha})$. Поскольку большинство уравнений математической физики - уравнения содержащие вторые производные от физической величины, то при обобщении уравнений описывающих какое - либо поле, например, электромагнитное, нам придется выводить уравнения, которые содержат вторые производные от полей по координатам. В эвклидовой геометрии порядок производных был неважен, производные обладали свойством коммутации. В неэвклидовой геометрии это свойство, вообще говоря, теряется.

Рассмотрим ковариантные производные второго порядка. Такую производную можно записать как

\begin{displaymath} A_{\mu; \alpha; \beta} ={\displaystyle\partial A_{\mu; \alph... ..._{\rho; \alpha} - \Gamma^{\rho}_{\alpha \beta} A_{\mu; \rho}, \end{displaymath} (7.1)

так как $A_{\mu; \alpha}$ является тензором второго ранга. Теперь подставим уравнение для первой ковариантной производной в (7.1) и получим уравнение вида:

\begin{displaymath} A_{\mu; \alpha; \beta} ={\displaystyle\partial^2 A_{\mu}\ove... ...rho}_{\alpha \beta} \Gamma^{\lambda}_{\mu \rho} A_{\lambda} , \end{displaymath}

в этой формуле, как и прежде, точка с запятой перед индексом означают ковариантное дифференцирование по координате именуемой этим индексом, запятая - частную производную по координате с одноименным индексом.

Теперь выпишем разность ковариантных производных меняя индексы по которым ведется дифференцирование.


$\displaystyle A_{\mu; \alpha; \beta} -A_{\mu; \beta; \alpha} =$ (7.2)
$\displaystyle \qquad$  
$\displaystyle \left({\displaystyle\partial^2 A_{\mu}\over\displaystyle\partial ... ...ial^2 A_{\mu}\over\displaystyle\partial x^{\alpha} \partial x^{\beta}}\right) -$  
$\displaystyle \qquad$  
$\displaystyle - \Gamma^{\rho}_{\mu \alpha} A_{\rho, \beta} - \Gamma^{\rho}_{\mu... ...ho}_{\mu \alpha} A_{\rho, \beta} + \Gamma^{\rho}_{\beta \alpha} A_{\mu, \rho} -$  
$\displaystyle \qquad$  
$\displaystyle - {\displaystyle\partial \Gamma^{\rho}_{\mu \alpha}\over\displays... ...artial \Gamma^{\rho}_{\mu \beta}\over\displaystyle\partial x^{\alpha}} A_{\rho}$  
$\displaystyle \qquad$  
$\displaystyle + \Gamma^{\rho}_{\mu \beta} \Gamma^{\lambda}_{\rho \beta} A_{\lam... ...mbda} - \Gamma^{\rho}_{\beta \alpha } \Gamma^{\lambda}_{\mu \rho} A_{\lambda} ,$  

Проанализируем полученное уравнение. Прежде всего обратим внимание, что в левой части уравнения первая строчка, которая содержит антикоммутатор от частным производных обращается в ноль. Таким образом антикоммутатор ковариантных производных понижает порядок дифференцирования. Вторая строчка содержит первые частные производные от векторного поля. Заметим, что первый и пятый члены взаимно сокращаются, также сокращаются поочередно второй и четвертый, а также третий и шестой члены. Таким образом антикоммутатор ковариантных производных второго порядка не содержит частных производных вообще. Однако, уравнение (7.2) не обращается в ноль тождественно.

Третья строчка полученного уравнения, которая содержит произведения частных производных от символа Кристоффеля на векторное поле не обращется в ноль тождественно. В последней строчке взаимно сокращаются второй и четвертый члены, но первый и третий члены не сокращаются. Таким образом, получается, что антикоммутатор ковариантных производных второго порядка равен произведению самого векторного поля на величину содержащую четыре индекса:

\begin{displaymath} A_{\mu; \alpha; \beta} -A_{\mu; \beta; \alpha} = \\ \qquad \\ R^{\rho}_{. \mu \alpha \beta} A_{\rho} \end{displaymath} (7.3)

Теперь легко доказать, что величина $R^{\rho}_{. \mu \alpha \beta}$ является тензором. Действительно, сделаем преобразование координат из одной системы (скажем, $\lbrace x^{\mu}\rbrace$) в другую $\lbrace \hat x^{\mu}\rbrace$. Слева в уравнении (7.3) стоит тензорная величина третьего ранга (напомним, что первая ковариантная производная от вектора является тензором второго ранга, соответственно вторая ковариантная производная от вектора является тензором третьего ранга). Справа в этом уравнении - произведение вектора на величину с четырьмя индексами. Сравнивая зависимость в двух системах координат получаем закон преобразования для $R^{\rho}_{. \mu \alpha \beta}$ в виде:

\begin{displaymath} \hat R^{\rho}_{. \mu \alpha \beta} = {\displaystyle\partial... ...e\partial \hat x^{\beta}} R^{\varrho}_{. \lambda \zeta \eta} \end{displaymath}

Это доказывает, что величина $R^{\rho}_{. \mu \alpha \beta}$ является тензором четвертого ранга.

Этот тензор называется тензором кривизны или тензором Римана7.1. Его можно записать в виде уравнения в частных производных символов Кристоффеля и бинарных произведений символов.

\begin{displaymath} R^{\rho}_{. \mu \alpha \beta} = {\displaystyle\partial \Gamm... ... \Gamma^{\rho}_{\lambda \beta} \Gamma^{\lambda}_{\mu \alpha}, \end{displaymath} (7.4)

Здесь знаки в определении тензора кривизны выбраны так, чтобы тензор совпадал с определением принятым в [8]. Некоторые авторы определяют тензор Римана с противоположным знаком.

7.2 Параллельный перенос вектора по замкнутой кривой

В этой части мы рассмотрим второй, традиционный вывод тензора кривизны. В классических книгах, посвященных неэвклидовой геометрии и общей теории относительности, тензор кривизны появляется при обсуждении параллельного переноса вектора по замкнутой кривой (см. например, [8], [10]).

Итак, рассмотрим параллельный перенос вектора вдоль замкнутой кривой. Для пояснения выкладок вначале выберем двумерную поверхность сферы, а в качестве вектора единичный вектор касательный к траектории переноса в начальной точке. Кривую нарисуем на поверхности сферы и будем считать, что эта кривая - параллель или линия широты.

7.2.1 Параллельный перенос вектора по линии широты на сфере

Метрику в координатах $\theta, \varphi$ можно записать как (5.9):

\begin{displaymath} ds^2=d\theta^2 +\sin^2\theta d\varphi^2, \end{displaymath}

а метрический тензор будет иметь вид

\begin{displaymath} g_{\alpha \beta}= \left( \begin{array}{cc} 1& 0 \\ 0& \sin^2 \theta\\ \end{array} \right) \end{displaymath}

Кроме того, выпишем вновь также компоненты символа Кристоффеля на поверхности единичной сферы:

\begin{displaymath} \Gamma^1_{22}=- \sin \theta \cos \theta \qquad \Gamma^2_{12}= \ctg \theta \end{displaymath}

Вектор $A$ переносится вдоль широты на сфере параллельно. Это значит, что ковариантная производная этого вектора вдоль выбранной кривой равна нулю. Поэтому формально условие параллельного перноса записывается как:

\begin{displaymath} D A^{a} =0. \end{displaymath}

Теперь напишем это формальное условие более детально:

\begin{displaymath} d A^{a} = \Gamma^{a}_{m n} A^{m} d x^{n} \end{displaymath} (7.5)

Пусть на параллели, которая характеризуется одним параметром - координатой $\theta=\theta_0$, задан вектор единичной длины:

$\displaystyle \vec A =(0, {\displaystyle 1\over\displaystyle\sin \theta_0})$ (7.6)
$\displaystyle (\vec A \vec A) = (A^1)^2 + \sin^2 \theta_0 (A^2)^2 =1$ (7.7)

Вектор переносится вдоль широты, а это значит, что изменение координаты $\theta$ отсутствует, $d \theta =0$. Уравнения (7.5) принимают вид:

$\displaystyle d A^1 = \sin \theta_0 \cos \theta_0 A^2 d \varphi$ (7.8)
$\displaystyle d A^2 = -\ctg \theta_0 A^1 d \varphi$ (7.9)

Вначале рассмотрим вспомогательный пример. Сдвинем вектор $A^a$ вдоль широты на расстояние $\Delta \varphi$. Его компоненты изменятся. Появится компонента направленная вдоль первой оси:

\begin{displaymath} \Delta A^1={1 \over 2}\sin 2\theta_0 \Delta \varphi, \end{displaymath}

а компонента вдоль второй оси останется неизменной (с точностью до малых величин второго порядка):

\begin{displaymath} A^2(\varphi +\Delta \varphi) = {1 \over \sin \theta_0} \end{displaymath}

Теперь видно, что вектор повернулся ( поскольку появилась компонента вдоль первой оси). Угол между параллельно перенесенным вектором и вектором, касательным к широте есть:

\begin{displaymath} \cos \psi =\cos \theta_0 \Delta \varphi. \end{displaymath}

Рассмотрим теперь математические операции более подробно и решим уравнения параллельного переноса вектора для вычисления его компонент после перенесения на конечное расстояние вдоль широты. Уравнения (7.8) становятся:

$\displaystyle {\displaystyle d A^1\over\displaystyle d \varphi} = \sin \theta_0 \cos \theta_0 A^2;$ (7.10)
$\displaystyle {\displaystyle d A^2\over\displaystyle d \varphi} = - \ctg \theta_0 A^1$ (7.11)

Теперь уравнения описывающие параллельный перенос вектора - это два обыкновенных дифференциальных уравнения. Продифференцируем второе из уравнений (7.10) по переменной $\varphi$ и подставим его в первое. Получим одно уравнение второго порядка:

\begin{displaymath} {\displaystyle d^2 A^2\over\displaystyle d \varphi^2} = - \cos^2 \theta_0 A^2. \end{displaymath}

Его решение - это решение уравнения колебаний, когда частота колебаний равна $\cos \theta_0$. Это решение имеет вид:

\begin{displaymath} A^2 (\varphi) = A_0 \cos (\varphi \cos \theta_0) + A_1 \sin( \varphi \cos \theta_0) \end{displaymath}

Естественно, что решение зависит от двух постоянных величин $A_0$ и $A_1$.

Соответственно решение для первой компоненты вектора получается дифференцированием по $\varphi$ и умножением на $- \tg \theta_0$:


\begin{displaymath} A^1 (\varphi) = A_0 \sin \theta_0 \sin (\varphi \cos \theta_0) - A_1 \sin \theta_0 \cos( \varphi \cos \theta_0) \end{displaymath}

Найдем теперь постоянные $A_0$ и $A_1$. В точке $\varphi =0$ компоненты вектора есть $A^1=0$, $A^2={\displaystyle 1\over\displaystyle\sin \theta_0}$. Подставим эти условия в найденные решения для компонент и получим, что $A_0={\displaystyle 1\over\displaystyle\sin \theta_0}$, а $A_1=0$. Поэтому решения для компонент вектора имеют вид:

\begin{displaymath} \begin{array}{l} A^1(\varphi) = \sin( \varphi \cos \theta_0)... ...rphi \cos \theta_0)\over\displaystyle\sin \theta_0} \end{array}\end{displaymath}

Найдем угол между вектором $\vec A$ и единичным вектором, касательным к линии широты $\vec u =(0, {\displaystyle 1\over\displaystyle\sin \theta_0})$. Этот угол будет определяться уравнением:

\begin{displaymath} \cos \psi = {\displaystyle(\vec A(\varphi) \vec u)\over\disp... ...rt^2}\sqrt{\vert\vec u\vert^2}} = \cos (\varphi \cos \theta_0) \end{displaymath}

Проекция вектора $\vec A$ на вектор $\vec u$ уменьшается по мере переноса $\vec A$ вдоль широты. В то же время проекция вектора $\vec A$ на единичный вектор вдоль меридиана, назовем его $\vec v =(1, 0)$ растет:

\begin{displaymath} \cos \iota = {\displaystyle(\vec A(\varphi) \vec v)\over\dis... ...rt^2}\sqrt{\vert\vec v\vert^2}} = \sin (\varphi \cos \theta_0) \end{displaymath}

Вектор, касательный к линии меридиана направлен от полюса. Посмотрим на сферу со стороны северного полюса. Пусть перенос осуществляется в направлении против часовой стрелки. Тогда поворот вектора $\vec A$ происходит по часовой стрелке.

Рассмотрим более подробно перенос вектора по широте расположенной близко к полюсу. Будем считать, что $\theta_0 \approx 0$, и будем пренебрегать членами квадратичными по широте. Тогда $A^1 \approx \sin(\varphi), \; \; A^2 \approx {\displaystyle\cos(\varphi)\over\displaystyle\theta_0}$. Рассмотрим значения компонент в точке $\varphi={\displaystyle\pi\over\displaystyle 2}$. При этом видно, что компонента, направленная вдоль $\vec u$ обращается в ноль, а компонента, направленная вдоль вектора $\vec v$ становиться почти единичной. При переносе вдоль широты значительно отстоящей от полюса, компонента $\vec A$ вдоль $\vec u$ обращается в ноль при значении угла $\varphi ={\displaystyle\pi\over\displaystyle 2 \cos \theta_0}$.

При дальнейшем переносе угол между $\vec A$ и $\vec u$ продолжает расти. После полного переноса вектора $\vec A$ и возвращения его в точку $\varphi =0$ угол между перенесенным вектором и вектором $\vec u$ есть:

\begin{displaymath} \psi =\arccos\left( {\displaystyle(\vec A(\varphi) \vec u)\o... ...\vert^2}\sqrt{\vert\vec u\vert^2}}\right) = 2\pi \cos \theta_0 \end{displaymath}

Отметим также, что угол между исходным положением вектора и его конечным положением есть

\begin{displaymath} 2\pi (1 - \cos \theta_0), \end{displaymath}

что в точности равно площади сегмента сферы единичного радиуса, ограниченного линией широты.

Если вектор переносится параллельно самому себе на плоскости вдоль замкнутой кривой, то после возвращения в исходную точку, вектор совпадает сам с собой. В неэвклидовой геометрии это не так. Следовательно геометрия на сфере неэквивалентна геометрии на плоскости. Чуть ниже мы увидим, что выведенные уравнения имеют отношение к кривизне поверхности.

Рассмотрим теперь параллельное перенесение вектора вдоль замкнутой кривой в произвольной неэвклидовой геометрии.

7.2.2 Перенос вектора по бесконечно малому параллелограмму

Прежде чем исследовать поведение вектора $\vec A$ при параллельном перносе вдоль замкнутой кривой произвольной формы, мы рассмотрим перенос этого вектора вдоль бесконечно малого параллелограмма построенного на отрезках соответствующих координат.

Рисунок 7.1: На рисунке изображен бесконечно малый параллелограмм. Вершины параллелограмма обозначены буквами $A, B, C, D$.
\begin{figure}\centerline{\epsfxsize=0.7\textwidth\epsfbox{fig7_1.ai}}\end{figure}

Итак, пусть у нас задан вектор $A^{\alpha}$. Вершины параллелограмма обозначим $A, B, C, D$ (см. рис. 7.1). Точку $A$ и точку $B$ соединяет бесконечно малый вектор $d x^{\mu}_2$. Точку $A$ и точку $C$ соединяет бесконечно малый вектор $d x^{\mu}_1$. Поскольку наша фигура - параллелограмм, то стороны, противоположные сторонам $AB$ и $AC$ соединяют вектора полученные параллельным переносом. Сторона, которая построена на векторе соединяющем точки $B$ и $D$, противоположна стороне построенной на векторе $d x^{\mu}_1$. Этот вектор, параллельно перенесенный на $d x^{\mu}_2$, есть $d x^{\mu}_1 - \Gamma^{\mu}_{\alpha \beta} d x^{\alpha}_1 d x^{\beta}_2$. Сторона, которая построена на векторе, соединяющем точки $C$ и $D$, противоположна стороне, построенной на векторе $d x^{\mu}_2$. Этот вектор, параллельно перенесенный на $d x^{\mu}_1$, есть $d x^{\mu}_2 - \Gamma^{\mu}_{\alpha \beta} d x^{\alpha}_2 d x^{\beta}_1$. Таким образом мы вычислили размер сторон параллелограмма.

Вычислим теперь изменение компонент вектора при перенесении. Пусть вектор $A^{\alpha}$ заданный в точке $A$ переносится параллельно самому себе вначале через точку $B$ в точку $D$, а затем из точки $A$ через точку $C$ в точку $D$.

Рассмотрим вначале перенос из $A$ в $D$ через точку $B$. Величина вектора, перенесенного в $B$ есть:

\begin{displaymath} A^{\alpha} - \Gamma^{\alpha}_{\mu \nu} A^{\mu} d x^{\nu}_2 \end{displaymath}

Теперь этот вектор должен быть перенесен из точки $B$ в точку $D$. Но в точке $B$ значения символов Кристоффеля уже другие:

\begin{displaymath} \Gamma^{\alpha}_{\mu \nu} +dx^{\xi} {\displaystyle\partial \Gamma^{\alpha}_{\mu \nu}\over\displaystyle\partial x^{\xi}} \end{displaymath}

После перенесения из точки $B$ в $D$ вектор вновь изменяется. Следовательно вектор, перенесенный из $A$ в $D$ через $B$ имеет вид:

\begin{displaymath} \begin{array}{l} A^{\alpha} - \Gamma^{\alpha}_{\mu \nu} A^{\... ...a}_{\lambda \rho} \Gamma^{\rho}_{\mu \nu }\right) \end{array} \end{displaymath}

Здесь мы пренебрегли величинами третьего порядка малости.

Для вектора перенесенного из $A$ в $D$ через точку $C$ получаем аналогичное выражение, в котором вектора $d x^{\mu}_1$ и $d x^{\mu}_2$ меняются местами. Теперь можно вычислить разность между двумя векторами, перенесенными в $D$ по двум траекториям. Эта разность равна:

\begin{displaymath} d x^{\mu}_1 d x^{\nu}_2 \lbrace {\displaystyle\partial \Gamm... ...ha}_{\mu \rho} \Gamma^{\rho}_{\nu \lambda}\rbrace A^{\lambda} \end{displaymath} (7.12)

Это выражение является вектором, так как построена как алгебраическая сумма векторов. Другими словами, выражение, которое стоит в фигурных скобках, является тензором четвертого ранга. Этот тензор:

\begin{displaymath} R^{\alpha}_{\mu \nu \lambda} = {\displaystyle\partial \Gamma... ...mbda} -\Gamma^{\alpha}_{\mu \rho} \Gamma^{\rho}_{\nu \lambda} \end{displaymath} (7.13)

называется тензором кривизны. Поэтому пространство является эвклидовым, если (7.13) равен нулю в каждой точке этого пространства.

Произведение двух векторов на которых построен параллелограмм есть площадь этого бесконечно малого параллелограмма.

7.2.3 Изменение вектора при переносе по замкнутой кривой

Рассмотрим теперь изменение вектора при параллельном переносе вдоль замкнутой кривой конечного размера. Разобъем ее на бесконечно малые параллелограммы, как показано на рис. 7.2

Рисунок 7.2: На рисунке изображена замкнутая кривая конечных размеров $L$. Разобъем ее на совокупность бесконечно малых параллелограммов так, чтобы перенос по соседним сторонам параллелограммов проходил в противоположных направлениях. Тогда, как легко видеть, полное изменение вектора при переносе вдоль $L$ складывается из интеграла по площади, стягиваемой этой кривой от произведения тензора кривизны на сам вектор.
\begin{figure}\centerline{\epsfxsize=0.7\textwidth\epsfbox{fig7_2.ai}}\end{figure}

Теперь можно получить изменение компонент вектора $A^{\alpha}$ при параллельном перносе вдоль замкнутой кривой конечных размеров в виде интеграла по поверхности, стягиваемой этой кривой:

\begin{displaymath} \Delta A^{\alpha} = -{1 \over 2} \int dS^{\mu \nu} R^{\alpha}_{\beta \mu \nu } A^{\beta} \end{displaymath}

7.3 Свойства тензора кривизны

Свойства тензора кривизны мы уже немного обсудили при анализе второй ковариантной производной от вектора. Обсудим алгебраические свойства тензора кривизны более подробно. Для этого опустим верхний индекс и будем работать только с ковариантным тензором четвертого ранга.

Из уравнения (7.4) следуют свойства симметрии тензора кривизны:


$\displaystyle R_{\alpha \beta \mu \nu}= -R_{\beta \alpha \mu \nu}$ (7.14)
$\displaystyle R_{\alpha \beta \mu \nu}= -R_{\alpha \beta \nu \mu}$ (7.15)
$\displaystyle R_{\alpha \beta \mu \nu}= R_{\mu \nu \alpha \beta }$ (7.16)
$\displaystyle R_{\alpha \beta \mu \nu} + R_{\alpha \nu \beta \mu} +R_{\alpha \mu \nu \beta } =0$ (7.17)

До сих пор мы рассматривали общий случай неэвклидовой геометрии, теперь вспомним, что нам нужено только четырехмерное пространство. В этом случае пары индексов $\alpha \beta$ и $\mu \nu$ пробегают 6 различных наборов значений. Поэтому есть 6 компонент тензора кривизны с одинаковыми и $6 \cdot {\displaystyle 5\over\displaystyle 2}= 15$ компонент с различными значениями индексов. Три компоненты с четырмя различными индексами связаны уравнением (7.17), поэтому всего имеется 20 независимых компонент.

Существует одно дифференциальное тождество, которое называется тождеством Бьянки:

\begin{displaymath} R^{\alpha}_{ \beta \mu \nu; \rho} + R^{\alpha}_{ \beta \rho \mu; \nu} + R^{\alpha}_{ \beta \nu \rho; \mu} =0 \end{displaymath} (7.18)

Из тензора кривизны четвертого ранга образуются дополнительно две величины. Одна является тензором второго ранга и образуется сверткой верхнему и второму нижнему индексам:

\begin{displaymath} R_{\mu \nu}=R^{\rho}_{. \mu \rho \nu} \end{displaymath} (7.19)

Тензор Риччи является симметричным тензором, поэтому в четырехмерном пространстве он имеет 10 независимых компонент (как и метрический тензор). Сверткой по оставшимся двум индексам можно получить скалярную величину, которая называется скалярной кривизной пространства:


\begin{displaymath} R= g^{\mu \nu} R_{\mu \nu} \end{displaymath} (7.20)

Поскольку (7.20) является скалярной величиной, то она является одновременно инвариантной относительно координатных преобразований и называется также скалярной кривизной пространства.

Из тождеств Бьянки можно получить важное равенство. Для этого свернем тождество (7.18) по индексам $\alpha \rho$. Тогда получим уравнение вида:

\begin{displaymath} R^{\alpha}_{\mu \nu \lambda; \alpha} + R_{\nu \lambda; \mu} - R_{\mu \lambda; \nu} =0 \end{displaymath}

Свернем это уравнение еще раз с метрическим тензором, получим равенство:

\begin{displaymath} \left( R_{\mu \nu} -{\displaystyle 1\over\displaystyle 2} g_{\mu \nu}R\right)^{;\mu}=0 \end{displaymath} (7.21)

В этом уравнении четырехмерная дивергенция некоторого тензора второго ранга равна нулю. Этот тензор:

\begin{displaymath} G_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} - {\displaystyle 1\over\displaystyle 2} g_{\mu \nu} R \end{displaymath} (7.22)

играет важную роль в общей теории относительности. Иногда его называют тензором Эйнштейна.

7.4 Вариации тензора кривизны

Рассмотрим теперь изменение символов Кристоффеля, а также тензоров кривизны, Риччи и скалярной кривизны при вариациях метрики. Полученные уравнения мы будем использовать в дальнейшем как для вывода уравнений гравитационного поля, так и для анализа слабого гравитационного поля и слабого гравитационного поля на фоне сильного поля.

Пусть у нас есть метрика $g_{\alpha \beta}$, на которую наложены небольшие изменения, которые мы будем обозначать $\delta g_{\alpha \beta}$ и которые являются вариациями метрики. Отметим, что эти две величины по отдельности образуют тензора. Тем не менее сейчас мы будем рассматривать как один тензор, который состоит из "фоновой" метрики и малых поправок:

\begin{displaymath} g_{\alpha \beta} = g^b_{\alpha \beta} + \delta g_{\alpha \beta} \end{displaymath} (7.23)

Все величины, которые мы будем вычислять ниже, будем вычислять только до первого порядка малости по вариациям, пренебрегая вкладом вариаций более высокой степени.

Рассмотрим как связаны вариации контравариантных компонент метрического тензора с вариация ковариантных компонент. Контравариантные компоненты метрического тензора удовлетворяют равенству вида:

\begin{displaymath} g^{\alpha \rho} g_{\beta \rho} =\delta^{\alpha}_{\beta} \end{displaymath}

Подставляя сюда ковариантный метрический тензор с вариациями $g_{\alpha \beta} +\delta g_{\alpha \beta}$ и конравариантные компоненты $g^{\alpha \beta} +\delta g^{\alpha \beta}$ получаем связь между контравариантными и ковариантными вариациями:

\begin{displaymath} \delta g^{\alpha \beta}= -g^{\alpha \mu} g^{\beta \nu} \delta g_{\mu \nu} \end{displaymath} (7.24)

Отсюда видно, что конравариантные вариации отличаются от ковариантных знаком, а индексы поднимаются метрическим тензором, как и у любых других тензоров.

Для вычисления вариации определителя метрического тензора введем абсолютно антисимметричный единичный тензор четвертого ранга $e^{\alpha \beta \gamma \delta}$ [8]. Так называется тензор, компоненты которого меняют знак при перестановке любых двух индексов, причем отличные от нуля компоненты равны $\pm 1$. Тогда можно записать определитель метрического тензора как:

\begin{displaymath} g= {\displaystyle 1\over\displaystyle 24} e^{\alpha \beta \g... ... \epsilon} g_{\beta \zeta} g_{\gamma \eta} g_{\delta \theta} \end{displaymath}

Теперь можно легко вычислить вариации определителя метрического тензора.

Вариации определителя с точностью до линейных по $\delta g^{\alpha \beta}$ членов есть:

\begin{displaymath} \delta g= -g^{\alpha \beta} \delta g_{\alpha \beta } \end{displaymath}

Приведем также одну полезную формулу, содержащую вариации плотности метрического тензора:

\begin{displaymath} \delta \sqrt{-g}= {\displaystyle 1\over\displaystyle 2} {\di... ...a \beta} \delta g_{\alpha \beta}\over\displaystyle\sqrt{-g}} \end{displaymath}

В этих двух уравнениях опущен индекс $b$ в символах фоновой метрики, но поскольку мы договорились оставлять только линейные члены по вариациям, легко определить величины содержащие этот индекс.

Рассмотрим теперь вариации символов Кристоффеля. Вновь оставляя только линейные члены по $\delta g_{\alpha \beta}$ получаем уравнение для вариаций символов Кристоффеля:

\begin{displaymath} \delta \Gamma^{\mu}_{\alpha \beta}= {1 \over 2} g^{\mu \nu} ... ...beta})_{; \alpha} - (\delta g_{\alpha \beta})_{; \nu} \rbrace \end{displaymath} (7.25)

Отметим, что вариации символов Кристоффеля по отношению к "фоновой" метрике $g^b_{\alpha \beta}$ являются тензорами третьего ранга. Ковариантные производные построены с помощью фоновой метрики $g^b_{\alpha \beta}$.

Вариации тензора Риччи выражаются через ковариантные производные нового тензора - вариации символов Кристоффеля $\delta \Gamma^{\mu}_{\alpha \beta}$:

\begin{displaymath} \delta R_{\alpha \beta} = \left( \delta \Gamma^{\mu}_{\alpha... ...} - \left( \delta \Gamma^{\mu}_{\alpha \beta} \right)_{; \mu} \end{displaymath} (7.26)

Это уравнение можно переписать в терминах вариаций метрики, в них оно имеет вид:

\begin{displaymath} \delta R_{\alpha \beta} = {1 \over 2} g^{\mu \nu}\lbrace \l... ...+ \left( \delta g_{\alpha \beta} \right)_{;\nu ;\mu} \rbrace \end{displaymath} (7.27)


<< 6. Анализ в неэвклидовой | Оглавление | 8. Уравнение движения в >>

Rambler's Top100 Яндекс цитирования