![]() |
Астронет: А. Н. Петров/ГАИШ Законы сохранения в ОТО и их приложения http://variable-stars.ru/db/msg/1170672/node5.html |
- 1.3.1 Обобщенный ток
- 1.3.2 Обобщенный суперпотенциал
- 1.3.3 Вклад от дивергенции в лагранжиане
- 1.3.4 Неопределенность и единственность в определении токов и суперпотенциалов
- 1.3.5 Единственность токов и суперпотенциалов в определении КБЛ
1.3 Построение сохраняющихся токов и суперпотенциалов на произвольном вспомогательном фоне. Проблема единственности
Рассмотрим произвольную ковариантную теорию с лагранжианом [20]
(сначала он в неявно ковариантном виде):
,
где AB -- это набор динамических переменных,
произвольных тензорных плотностей.
Внешнее заданное фоновое пространство-время введем простой
тождественной заменой:
.
Тогда лагранжиан перепишется в явно ковариантной форме:
Поскольку лагранжиан (1.36) -- это скалярная плотность, составляем для него тождество Нетер:
![${\pounds_\xi} {\hat{\cal L}}_c +\partial_\alpha \left(\xi^\alpha {\hat{\cal L}}_c\right) \equiv 0$](https://images.astronet.ru/pubd/2001/09/12/0001170672/img105.gif)
где коэффициенты однозначно определены лагранжианом следующим образом:
1.3.1 Обобщенный ток
Подробный анализ (1.38) дает другое сильное тождество:
Выражение под дивергенцией в этом тождестве вполне может быть интерпретировано как обобщенный ток:
а само тождество Нетер (1.43) переписывается в виде:
1.3.2 Обобщенный суперпотенциал
Перепишем тождество (1.43) в виде:
![$\xi^\mu$](https://images.astronet.ru/pubd/2001/09/12/0001170672/img69.gif)
Сама форма тождества (1.45) говорит о том, что обобщенный ток должен выражаться в виде:
где суперпотенциал в правой части тождественно удовлетворяет:
![$\overline D_{\alpha\tau} \hat \Phi^{\alpha\tau}(\xi) \equiv 0$](https://images.astronet.ru/pubd/2001/09/12/0001170672/img127.gif)
Учет третьего из тождеств (1.47) говорит, что суперпотенциал (1.49) явно антисимметричен.
1.3.3 Вклад от дивергенции в лагранжиане
Простым, но очень важным является вопрос
о вкладе в ток и суперпотенцил от дивергенции в лагранжиане.
Ответ был дан еще Кацем [14]. Здесь мы кратко даем
результат.
Поскольку
также является скалярной
плотностью, то для этой добавки отдельно выполняется тождество Нетер:
,
простой анализ которого приводит к добавкам в коэффициентах
(1.39) - (1.41) и в суперпотенциале (1.49):
Необходимо отметить, что форма этих добавок никак не зависит от структуры векторной плотности
![$\hat k^{\tau}$](https://images.astronet.ru/pubd/2001/09/12/0001170672/img138.gif)
1.3.4 Неопределенность и единственность в определении токов и суперпотенциалов
Хорошо известно, что без изменения тождества (1.45)
к току может быть добавлена произвольная величина
, лишь бы дивергенция от нее
тождественно обращалась в нуль:
.
Однако, ,,испорченный'' ток тем же самым способом
может быть ,,исправлен''. Величина
не связана с лагранжианом и процедурой Нетер.
С другой стороны, в определении
(1.44) все коэффиценты (1.39) - (1.41)
строго определены лагранжианом,
заданным в общей (неявной) форме. В формуле (1.44) нет ни одного члена
дивергенция от которого явно бы обращалась в нуль.
Тождество (1.45) выполняется как все выражение в целом,
как и должно быть для единого сохраняющегося тока Нетер.
Таким образом, можно сделать утверждение:
- Ток (1.44) --
-- в смысле процедуры Нетер определяется единственнным образом лагранжианом теории.
Подобные выводы справедливы и для определения суперпотенциала
(1.49). В принципе, без изменения тока к суперпотенциалу
в (1.48) может быть добавлена произвольная величина
,
лишь бы дивергенция от нее
тождественно обращалась в нуль:
.
Однако, эта добавка никак не связана с лагранжианом и процедурой Нетер.
Как ее добавили, точно также легко уничтожить.
С другой стороны, в определении (1.49) все члены строго
определены лагранжианом и описанной процедурой --
их невозможно откинуть. Поэтому мы делаем утверждение:
- Суперпотенциал (1.49) --
-- в смысле процедуры Нетер определяется единственнным образом лагранжианом теории.
Сделав это утверждение, мы, кроме того, проиллюстрируем, что
двусмысленность в суперпотенциале не опасна, во всяком
случае для построения глобальных
сохраняющихся величин.
Так, тождество
в свою очередь говорит о том, что добавка должна быть выражена как
, где
.
Сочетание требования ковариантности и необходимости использовать
частные производные для построения законов сохранения и глобальных величин
приводит к тому, что величина
, то есть
должна быть антисимметрична по всем
индексам. Теперь перепишем закон сохранения (1.48) в измененном виде:
![]() |
что дает возможность построить сохраняющиеся величины аналогично (1.30):
![]() |
В силу теремы Стокса последний член не дает вклада в интеграл и, таким образом, не изменяет величину
![${\cal P}(\xi)$](https://images.astronet.ru/pubd/2001/09/12/0001170672/img150.gif)
1.3.5 Единственность токов и суперпотенциалов в определении КБЛ
Вернемся к вопросу b) в конце предыдущей части о единственности
величин в определении КБЛ. Прежде всего обсудим лагранжиан (1.27).
Перепишем скалярную кривизну в явно ,,ковариантизованном'' виде:
![]() |
где, напомним,
и
.
С учетом того, что мы знаем какой вклад дают дивергенции (см. (1.50)), лагранжиан (1.27) является как раз того вида, что и лагранжиан (1.36) в этой части. Следовательно, лагранжиан (1.27) может быть подставлен в общие формулы этой части. Прямая подстановка показывает, что все формулы КБЛ получаются этим путем. Так, подстановка (1.27) в обобщенный ток (1.44) дает КБЛ ток (1.32). Более детально: Подстановка в коэффициент (1.39) и учет уравнений Эйнштейна дает тензор энергии-импульса (1.33). Подстановка в (1.40) дает спиновый коэффициент (1.35). Подстановка в (1.41) дает точно Z-член в (1.32). (Необходимо только учитывать разницу знаков в формулах (1.39) - (1.41) и в определении тока (1.44).) Такое же соответствие и между суперпотенциалами: (1.49) переходит точно в (1.31). Из сказанного остается сделать вывод:
- Результаты КБЛ определены однозначно в смысле процедуры Нетер лагранжианом модели (1.27).
<< 1.2 Суперпотенциал Каца-Крушциела ... | Оглавление | Литература к лекции 1 >>