Astronet Астронет: А. Н. Петров/ГАИШ Законы сохранения в ОТО и их приложения
http://variable-stars.ru/db/msg/1170672/node5.html
<< 1.2 Суперпотенциал Каца-Крушциела ... | Оглавление | Литература к лекции 1 >>

Разделы

1.3 Построение сохраняющихся токов и суперпотенциалов на произвольном вспомогательном фоне. Проблема единственности

Рассмотрим произвольную ковариантную теорию с лагранжианом [20] (сначала он в неявно ковариантном виде): $\hat L = \hat L (A_B; A_{B,\alpha}; A_{B,\alpha\beta})$, где AB -- это набор динамических переменных, произвольных тензорных плотностей. Внешнее заданное фоновое пространство-время введем простой тождественной заменой: $A_{B,\tau} \equiv \overline D_\tau A_B - \overline \Gamma^\sigma_{\tau\rho} \left. A_B \right\vert _\sigma^\rho$. Тогда лагранжиан перепишется в явно ковариантной форме:

\begin{displaymath} \hat L = {\hat{\cal L}}_c = {{\hat{\cal L}}}_c (A_B; \overline D_\alpha A_{B}; \overline D_\beta \overline D_\alpha A_{B}). \end{displaymath} (1.36)

Мы следуем Мицкевичу [8], чтобы определить производную Ли:
\begin{displaymath} {\pounds_\xi} A_B \equiv - \xi^\alpha \overline D_\alpha A_B... ...left.A_B\right\vert^\alpha_\beta \overline D_\alpha \xi^\beta. \end{displaymath} (1.37)

Поскольку лагранжиан (1.36) -- это скалярная плотность, составляем для него тождество Нетер: ${\pounds_\xi} {\hat{\cal L}}_c +\partial_\alpha \left(\xi^\alpha {\hat{\cal L}}_c\right) \equiv 0$, которое тождественно преобразуется в
  - $\displaystyle \left[{{\delta {\hat{\cal L}}_c} \over {\delta A_B}} \overline D_... ...} \over {\delta A_B}} \left.A_B\right\vert^\beta_\alpha\right)\right]\xi^\alpha$  
  + $\displaystyle \overline D_\alpha \left[\hat u^\alpha_\sigma\xi^\sigma + \hat m^... ...\beta}_\sigma \overline D_{\beta} \overline D_{\tau}\xi^\sigma\right] \equiv 0,$ (1.38)

где коэффициенты однозначно определены лагранжианом следующим образом:
$\displaystyle \hat u^\alpha_\sigma$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle {\hat{\cal L}}_c \delta^\alpha_\sigma + {{\delta {\hat{\cal L}}_c} \over {\delta A_B}} \left.A_B\right\vert^\alpha_\sigma$  
  - $\displaystyle \left[{{\partial {\hat{\cal L}}_c} \over {\partial (\overline D_\... ...ine D_\beta \overline D_\alpha A_{B})}}\right) \right] \overline D_\sigma A_{B}$  
  - $\displaystyle {{\partial {\hat{\cal L}}_c} \over {\partial (\overline D_\beta \... ...A_{B}- \hat n^{\alpha\tau\beta}_\lambda \overline R^\lambda_{ \tau\beta\sigma},$ (1.39)


$\displaystyle \hat m^{\alpha\tau}_\sigma$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle \left[{{\partial {\hat{\cal L}}_c} \over {\partial (\overline D_\... ...ta \overline D_\alpha A_{B})}}\right)\right] \left.A_{B}\right\vert^\tau_\sigma$  
  - $\displaystyle {{\partial {\hat{\cal L}}_c} \over {\partial (\overline D_\tau \o... ...rline D_\alpha A_{B})}} \overline D_\beta (\left.A_{B}\right\vert^\tau_\sigma),$ (1.40)


\begin{displaymath} \hat n^{\alpha\tau\beta}_\sigma \equiv {\textstyle{\frac{1}{... ...D_\alpha A_{B})}} \left.A_{B}\right\vert^\beta_\sigma\right]. \end{displaymath} (1.41)

1.3.1 Обобщенный ток

Подробный анализ (1.38) дает другое сильное тождество:

\begin{displaymath} {{\delta {\hat{\cal L}}_c} \over {\delta A_B}} \overline D_\... ...delta A_B}} \left.A_B\right\vert^\beta_\alpha\right) \equiv 0, \end{displaymath} (1.42)

использование которого в тождестве (1.38) приводит его к виду
\begin{displaymath} \overline D_\alpha \left[\hat u^\alpha_\sigma\xi^\sigma + \h... ...erline D_{\beta} \overline D_{\tau}\xi^\sigma\right] \equiv 0. \end{displaymath} (1.43)

Выражение под дивергенцией в этом тождестве вполне может быть интерпретировано как обобщенный ток:
\begin{displaymath} \hat i^\alpha \equiv - \left[\hat u^\alpha_\sigma\xi^\sigma ... ...sigma \overline D_{\beta} \overline D_{\tau}\xi^\sigma\right], \end{displaymath} (1.44)

а само тождество Нетер (1.43) переписывается в виде:
\begin{displaymath} \overline D_\alpha \hat i^\alpha \equiv \partial_\alpha \hat i^\alpha \equiv 0. \end{displaymath} (1.45)

1.3.2 Обобщенный суперпотенциал

Перепишем тождество (1.43) в виде:

\begin{displaymath} \hat{\cal O}_\sigma\xi^\sigma + \hat{\cal O}^\alpha_\sigma \... ...ta}_\sigma \overline D_{(\alpha\tau\beta)}\xi^\sigma \equiv 0. \end{displaymath} (1.46)

Поскольку компоненты $\xi^\mu$ и производные от них произвольны в каждой точке, то коэффициенты в (1.46) по отдельности также тождественно равны нулю. Это дает набор тождеств:
$\displaystyle \overline D_\alpha \hat u^\alpha_\sigma + {\textstyle{\frac{1}{2}... ...\tau\beta}_\lambda \overline D_\beta \overline R^{ \lambda}_{\sigma \tau\alpha}$ $\textstyle \equiv$ 0,  
$\displaystyle \hat u^\alpha_\sigma + \overline D_\lambda \hat m^{\lambda \alpha... ...r 3}} \hat n^{\lambda\tau\beta}_\sigma \overline R^{\alpha}_{ \tau\beta\lambda}$ $\textstyle \equiv$ 0,  
$\displaystyle \hat m^{(\alpha\tau)}_\sigma + \overline D_\lambda \hat n^{\lambda(\alpha\tau)}_\sigma$ $\textstyle \equiv$ 0,  
$\displaystyle \hat n^{(\alpha\tau\beta)}_\sigma$ $\textstyle \equiv$ 0. (1.47)

Сама форма тождества (1.45) говорит о том, что обобщенный ток должен выражаться в виде:
\begin{displaymath} \hat i^\alpha \equiv \overline D_\tau \hat \Phi^{\alpha\tau}(\xi), \end{displaymath} (1.48)

где суперпотенциал в правой части тождественно удовлетворяет: $\overline D_{\alpha\tau} \hat \Phi^{\alpha\tau}(\xi) \equiv 0$. Действительно, используя тождества (1.47) в определении тока (1.44) мы представляем его в виде (1.48), где обобщенный суперпотенциал имеет вид:
\begin{displaymath} \hat \Phi^{\alpha\tau} (\xi) \equiv \left(\hat m^{\tau\alpha... ...n^{[\alpha\tau]\lambda}_\sigma \overline D_\lambda \xi^\sigma. \end{displaymath} (1.49)

Учет третьего из тождеств (1.47) говорит, что суперпотенциал (1.49) явно антисимметричен.

1.3.3 Вклад от дивергенции в лагранжиане

Простым, но очень важным является вопрос о вкладе в ток и суперпотенцил от дивергенции в лагранжиане. Ответ был дан еще Кацем [14]. Здесь мы кратко даем результат. Поскольку $ \Delta_{(div)} \hat L = \partial_\nu \hat k^\nu$ также является скалярной плотностью, то для этой добавки отдельно выполняется тождество Нетер: $ \partial_\alpha ({\pounds_\xi} \hat k^\alpha + \xi^\alpha \partial_\nu \hat k^\nu ) \equiv 0 $, простой анализ которого приводит к добавкам в коэффициентах (1.39) - (1.41) и в суперпотенциале (1.49):

$\displaystyle \Delta_{(div)}\hat u^\alpha_\sigma$ = $\displaystyle 2 \overline D_\tau\left(\delta^{[\alpha}_\sigma \hat k^{\tau]} \right),$  
$\displaystyle \Delta_{(div)}\hat m^{\alpha\tau}_\sigma$ = $\displaystyle 2 \left(\delta^{[\alpha}_\sigma \hat k^{\tau]} \right),$  
$\displaystyle \Delta_{(div)}\hat n^{\alpha\tau\beta}_\sigma$ = 0,  
$\displaystyle \Delta_{(div)}\hat \Phi^{\alpha\tau}$ = $\displaystyle -2 \left(\xi^{[\alpha} \hat k^{\tau]} \right).$ (1.50)

Необходимо отметить, что форма этих добавок никак не зависит от структуры векторной плотности $\hat k^{\tau}$!

1.3.4 Неопределенность и единственность в определении токов и суперпотенциалов

Хорошо известно, что без изменения тождества (1.45) к току $\hat i^\alpha$ может быть добавлена произвольная величина $\Delta \hat i^\alpha(\xi)$, лишь бы дивергенция от нее тождественно обращалась в нуль: $\partial_\alpha \left(\Delta \hat i^\alpha(\xi)\right) \equiv 0 $. Однако, ,,испорченный'' ток тем же самым способом может быть ,,исправлен''. Величина $\Delta \hat i^\alpha(\xi)$ не связана с лагранжианом и процедурой Нетер. С другой стороны, в определении (1.44) все коэффиценты (1.39) - (1.41) строго определены лагранжианом, заданным в общей (неявной) форме. В формуле (1.44) нет ни одного члена дивергенция от которого явно бы обращалась в нуль. Тождество (1.45) выполняется как все выражение в целом, как и должно быть для единого сохраняющегося тока Нетер. Таким образом, можно сделать утверждение:



Подобные выводы справедливы и для определения суперпотенциала (1.49). В принципе, без изменения тока $\hat i^\alpha$ к суперпотенциалу в (1.48) может быть добавлена произвольная величина $\Delta \hat \Phi^{\alpha\tau}(\xi)$, лишь бы дивергенция от нее тождественно обращалась в нуль: $\partial_\tau \left(\Delta \hat \Phi^{\alpha\tau}(\xi)\right) \equiv 0 $. Однако, эта добавка никак не связана с лагранжианом и процедурой Нетер. Как ее добавили, точно также легко уничтожить. С другой стороны, в определении (1.49) все члены строго определены лагранжианом и описанной процедурой -- их невозможно откинуть. Поэтому мы делаем утверждение:



Сделав это утверждение, мы, кроме того, проиллюстрируем, что двусмысленность в суперпотенциале не опасна, во всяком случае для построения глобальных сохраняющихся величин. Так, тождество $\partial_\tau \left(\Delta \hat \Phi^{\alpha\tau}(\xi)\right) \equiv 0 $ в свою очередь говорит о том, что добавка должна быть выражена как $\Delta \hat \Phi^{\alpha\beta}(\xi) \equiv \partial_\gamma \hat j^{\alpha\beta\gamma}(\xi)$, где $\partial_{\beta\gamma} \hat j^{\alpha\beta\gamma}(\xi) \equiv 0$. Сочетание требования ковариантности и необходимости использовать частные производные для построения законов сохранения и глобальных величин приводит к тому, что величина $\hat j^{\alpha\beta\gamma}(\xi) = \hat j^{[\alpha\beta\gamma]}(\xi)$, то есть должна быть антисимметрична по всем индексам. Теперь перепишем закон сохранения (1.48) в измененном виде:

   
  $\displaystyle \hat i^\alpha \equiv \partial_\beta \left[\hat \Phi^{\alpha\beta}(\xi)+ \partial_\gamma \hat j^{\alpha\beta\gamma}(\xi)\right],$  

что дает возможность построить сохраняющиеся величины аналогично (1.30):
   
  $\displaystyle {\cal P}(\xi) = \int_{\Sigma} \hat i^0(\xi)d^3 x = \oint_{\partia... ...[\hat \Phi^{[0n]}(\xi)+ \partial_m \left(\hat j^{[0nm]}(\xi)\right)\right]ds_n.$  

В силу теремы Стокса последний член не дает вклада в интеграл и, таким образом, не изменяет величину ${\cal P}(\xi)$.

1.3.5 Единственность токов и суперпотенциалов в определении КБЛ

Вернемся к вопросу b) в конце предыдущей части о единственности величин в определении КБЛ. Прежде всего обсудим лагранжиан (1.27). Перепишем скалярную кривизну в явно ,,ковариантизованном'' виде:

   
  $\displaystyle \hat R = \hat g^{\theta\sigma}\left( \overline D_\rho \Delta^\rho... ...lta^\eta_{\theta\rho}\right) + \hat g^{\theta\sigma}\overline R_{\theta\sigma},$  

где, напомним,


$\hat k^\mu = \hat g^{\mu\rho} \Delta^\sigma_{\rho\sigma} - \hat g^{\rho\sigma} \Delta^\mu_{\rho\sigma}$ и


$\Delta^\alpha_{\mu\nu} \equiv \Gamma^\alpha_{\mu\nu} - \overline{\Gamma^\alpha_... ...ta\nu} + \overline D_{\nu} g_{\beta\mu} - \overline D_{\beta} g_{\mu\nu}\right)$.


С учетом того, что мы знаем какой вклад дают дивергенции (см. (1.50)), лагранжиан (1.27) является как раз того вида, что и лагранжиан (1.36) в этой части. Следовательно, лагранжиан (1.27) может быть подставлен в общие формулы этой части. Прямая подстановка показывает, что все формулы КБЛ получаются этим путем. Так, подстановка (1.27) в обобщенный ток (1.44) дает КБЛ ток (1.32). Более детально: Подстановка в коэффициент (1.39) и учет уравнений Эйнштейна дает тензор энергии-импульса (1.33). Подстановка в (1.40) дает спиновый коэффициент (1.35). Подстановка в (1.41) дает точно Z-член в (1.32). (Необходимо только учитывать разницу знаков в формулах (1.39) - (1.41) и в определении тока (1.44).) Такое же соответствие и между суперпотенциалами: (1.49) переходит точно в (1.31). Из сказанного остается сделать вывод:



<< 1.2 Суперпотенциал Каца-Крушциела ... | Оглавление | Литература к лекции 1 >>

Rambler's Top100 Яндекс цитирования