Astronet Астронет: А. Н. Петров/ГАИШ Законы сохранения в ОТО и их приложения
http://variable-stars.ru/db/msg/1170672/node4.html
<< 1.1 Классические псевдотензоры и ... | Оглавление | 1.3 Построение сохраняющихся токов ... >>

Разделы


1.2 Суперпотенциал Каца-Крушциела -- обобщенный суперпотенциал Фрейда

Нарисованная выше картина о законах сохранения в ОТО требует своего обобщения и развития. Какие же моменты должны быть учтены? Мы бы определили их так:

Отметим, что пункт (vii) мы не будем подробно обсуждать в этих лекциях. При необходимости будем лишь отмечать удовлетворяет или нет обсуждаемая модель этим естественным тестам.

1.2.1 Законы сохранения Каца-Бичака-Линден-Белла

Кац, Бичак и Линден-Белл [12] (далее мы обозначаем эту работу как КБЛ) предложили такие законы сохранения, которые удовлетворяют предложенным требованиям. Построение основывается на лагранжиане


\begin{displaymath}
{\hat{\cal L}}_G = -{1\over 2\kappa} \left(\hat R - \overline {\hat R} + \partial_\mu
\hat k^\mu \right).
\end{displaymath} (1.27)

Здесь и далее используются обозначения: $g_{\mu\nu}$ - физическая метрика; $\bar g_{\mu\nu}$ - фоновая метрика с соответствующей ковариантной производной $\overline D_\mu$; черта сверху над символом везде означает фоновую величину;


$\hat R = \sqrt{-g} R$ и $\overline {\hat R} = \sqrt{-\bar g}\overline R$;


$\hat k^\mu = \hat g^{\mu\rho} \Delta^\sigma_{\rho\sigma} -
\hat g^{\rho\sigma} \Delta^\mu_{\rho\sigma}$, $  \Delta^\mu_{\rho\sigma} = \Gamma^\mu_{\rho\sigma}-
\overline{ \Gamma^\mu_{\rho\sigma}}$.


Лагранжиан (1.27) обобщает для произвольных фонов известный ковариантный лагранжиан Розена на плоском фоне [13]. Если же $\bar g_{\mu\nu} \rightarrow \eta_{\mu\nu} $, тогда $\overline D_\mu \rightarrow \partial_\mu$ и (1.27) переходит точно в эйнштейновсий усеченный лагранжиан (1.1).

Последовательное приложение процедуры Нетер к лагранжиану (1.27) с произвольным $\xi^\mu$: ${\pounds_\xi} {\hat{\cal L}}_G + \partial_\mu \left(\xi^\mu {\hat{\cal L}}_G\right) \equiv 0$ дало возможность построить сохраняющийся ток $\hat J^\mu(\xi)$ и суперпотенциал $\hat J^{\mu\nu}(\xi)$ с соответствующим дифференциальным законом сохранения:

\begin{displaymath}
\partial_\mu \hat J^\mu (\xi) \equiv 0,
\end{displaymath} (1.28)


\begin{displaymath}
\hat J^\mu(\xi) = \partial_\nu \hat J^{\mu\nu} (\xi).
\end{displaymath} (1.29)

Поскольку (1.28) прямо следует из (1.29), то соотношения типа последнего мы часто также называем законами сохранения.

1.2.2 Суперпотенциал Каца-Крушциела

Суперпотенциалы играют очень важную роль в определении сохраняющихся величин. Дествительно, давайте подставим значение тока (1.29) в (1.26) и учтем антисимметрию $\hat J^{\mu\nu}(\xi)$:

\begin{displaymath}
{\cal P}(\xi) =
\int_{\Sigma}
\hat J^0(\xi)d^3 x =
\oint_{\partial\Sigma}
\hat J^{0k}(\xi)ds_k,
\end{displaymath} (1.30)

то есть мы получили, что сохраняющийся интеграл представляется в виде поверхностного интеграла по границе $\Sigma$.

Суперпотенциал в выражении КБЛ (1.29) был получен раньше независимо Кацем [14] и Крушциелом [15]. Тогда он был построен для более простых систем, тем не менее более сложная модель разработанная КБЛ не изменила его вид:

\begin{displaymath}
{\hat J^{\mu\nu}(\xi)} ={1\over
\kappa}\big({D^{[\mu}\hat
\x...
...hat \xi^{\nu]}}\big)+ {1\over \kappa}\hat \xi^{[\mu}
k^{\nu]}.
\end{displaymath} (1.31)

Если $\bar g_{\mu\nu} \rightarrow \eta_{\mu\nu} $, а вектор $\xi^{\mu}$ выбрать как киллинговский вектор трансляций в пространстве Минковского, то ${\hat J^{\mu\nu}(\xi)}$ переходит в суперпотенциал Фрейда (1.12).

1.2.3 Сохраняющийся ток КБЛ

Сохраняющаяся векторная плотность (ток КБЛ) в тождестве (1.28) имеет вид:

\begin{displaymath}
\hat J^\mu(\xi) = \hat \Theta^\mu_\nu \xi^\nu +
\hat \sigma^{\mu\rho\sigma}\overline D_{\rho}\xi_{\sigma}+ \hat Z^\mu(\xi).
\end{displaymath} (1.32)

Его структура следующая. Обобщенный тензор энергии-импульса имеет вид:
\begin{displaymath}
\hat \Theta^\mu_\nu = \left(\hat T^\mu_\nu -
\overline {\hat...
...ight)
\overline R_{\rho\sigma}\delta^\mu_\nu +
\hat t^\mu_\nu,
\end{displaymath} (1.33)

который тоже нужно описать по частям. Первое слагаемое представляет возмущение материального тензора энергии-импульса по отношению к фоновому, второе -- ,,потенциальное'' взаимодействие с фоновой геометрией, а третье есть тензор энергии-импульса гравитационного поля:
$\displaystyle 2\kappa \hat t^\mu_\nu$ = $\displaystyle \hat g^{\rho\sigma} \left(\Delta^\lambda_{\rho\lambda} \Delta^\mu...
...mbda_{\lambda\nu} -
2\Delta^\mu_{\rho\lambda} \Delta^\lambda_{\sigma\nu}\right)$  
  - $\displaystyle \hat g^{\rho\sigma} \left(\Delta^\eta_{\rho\sigma}
\Delta^\lambda...
...\rho_{\lambda\nu} -
\Delta^\sigma_{\lambda\sigma} \Delta^\rho_{\rho\nu}\right).$ (1.34)

Если $\bar g_{\mu\nu} \rightarrow \eta_{\mu\nu} $, то $\hat t^\mu_\nu$ переходит в псевдотензор Эйнштейна.

Второй член в (1.32) -- так называемый спиновый член:

$\displaystyle 2\kappa \hat \sigma^{\mu\rho\sigma}$ = $\displaystyle (g^{\mu\rho} \overline g^{\sigma\nu} +\overline g^{\mu\sigma} g^{\rho\nu} -
g^{\mu\nu} \overline g^{\rho\sigma})\hat \Delta^\lambda_{\nu\lambda}$  
  - $\displaystyle (g^{\nu\rho} \overline g^{\sigma\lambda} +\overline g^{\nu\sigma}...
...ambda} -
g^{\nu\lambda} \overline g^{\rho\sigma}) \hat \Delta^\mu_{\nu\lambda}.$ (1.35)

Эта величина сама по себе также известна давно. Попытка построить сохраняющийся угловой момент с помощью псевдотензора Эйнштейна привела Папапетроу [16] к необходимости использовать выражение (1.35).

Структура последнего члена в (1.32) сложная и не так важна здесь, однако можно сказать, что $\hat Z^\mu(\xi)$ исчезает для киллинговых векторов фона.


Подведем некоторый итог. Величины КБЛ соответствуют всем сформулированным требованиям (i) - (vii). Это несомненное достоинство модели. Однако, вопрос единственности должен быть обсужден более подробно. Он может быть разделен на две части:


а) Насколько однозначен выбор лагранжиана (1.27)?


b) Насколько однозначны КБЛ величины при уже выбранном лагранжиане (1.27)?


Пункт а) детально обсуждался в работах [17]$^{\!, }$[18]. Вывод такой, что требование использовать при варьировании граничные условия Дирихле единственным образом приводят к (1.27) и суперпотенциалу (1.31). Там же обсуждаются преимущества условий Дирихле. Независимо, развивая ковариантную Гамильтонову формулировку гравитационных теорий, к этому же выводу пришли авторы работы [19]. Слудующая часть лекции, c одной стороны, обобщает результаты КБЛ (в том смысле, что конструируются законы сохранения для произвольной полевой теории со вспомолательным фоном). Это позволяет ответить на вопрос пункта b). С другой стороны, результаты следующей части одновременно есть обобщение на произвольно искривленный фон результатов Мицкевича [8], который сконструировал сохраняющиеся величины для произвольной теории, но на плоском фоне.



<< 1.1 Классические псевдотензоры и ... | Оглавление | 1.3 Построение сохраняющихся токов ... >>

Rambler's Top100 Яндекс цитирования