Астронет > 1.1 Классические псевдотензоры и суперпотенциалы: краткая история, некоторые свойства и проблемы

Астронет: А. Н. Петров/ГАИШ Законы сохранения в ОТО и их приложения
http://variable-stars.ru/db/msg/1170672/node3.html

<< 1. Теорема Нетер: псевдотензоры ... | Оглавление | 1.2 Суперпотенциал Каца-Крушциела ... >>

Разделы

1.1 Классические псевдотензоры и суперпотенциалы: краткая история, некоторые свойства и проблемы

1.1.1 Псевдотензор Эйнштейна

Рассматривая проблему энергии гравитационного поля и, в частности, гравитационных волн, Эйнштейн [1] впервые для построения законов сохранения в ОТО предложил псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля. Он конструируется следуя определению канонического тензора энергии-импульса в обычной полевой теории. Вместо ковариантного лагранжиана используется так называемый усеченный нековариантный лагранжиан Эйнштейна:

$\begin{displaymath} {\hat{\cal L}}^E = - \frac {1}{2\kappa} \hat g^{\mu\nu}\left... ...\nu} - \Gamma^\rho_{\mu\nu} \Gamma^\sigma_{\rho\sigma}\right), \end{displaymath}$

(1.1)

который отличается от ковариантного лагранжиана Гилберта на дивергенцию, благодаря чему приводит к тем же уравнениям. В (1.1) и далее: $\kappa$ -- постоянная Эйнштейна; греческие индексы являются четырехмерными и пробегают значения 0, 1, 2, 3; $\Gamma^\rho_{\mu\nu}$ -- символы Кристоффеля; крышка над символами означает, что величина является плотностью веса +1 (например, это может быть достигнуто умножением тензора, или даже псевдотензора, на $\sqrt{-g}$ ). (Часто, на протяжении всех лекций, чтобы не загромождать текст, мы опускаем слово ,,плотность'', поскольку из формул точный математический смысл величин очевиден.) Преимущество лагранжиана (1.1) заключается в том, что он зависит от метрики $g_{\mu\nu}$ и только ее первых производных. По стандартным правилам построения канонического тензора энергии-импульса конструируется объект, соответствующий лагранжиану (1.1):

$\begin{displaymath} \hat t_\nu^{E\mu} = {\frac{\partial {\hat{\cal L}}^E} {\part... ...\partial_\nu g_{\alpha\beta} -\delta^\mu_\nu {\hat{\cal L}}^E. \end{displaymath}$

(1.2)

Это и есть псевдотензор Эйнштейна. Из анализа лагранжиана (1.1) следует дифференциальный закон сохранения

$\begin{displaymath} \partial_\mu \hat t_\nu^{E\mu} = 0, \end{displaymath}$

(1.3)

который, собственно, является уравнением непрерывности:

$\begin{displaymath} \partial_0 \hat t_\nu^{E0} + \partial_k \hat t_\nu^{Ek} = 0, \end{displaymath}$

(1.4)

где латинские индексы отвечают пространственным координатам k = 1, 2, 3.

1.1.2 Суперпотенциал Толмена

Закон сохранения (1.3) выполняется при выполненных уравнениях Эйнштейна в вакууме. Это означает, что при

$\begin{displaymath} \hat G_\nu^{\mu}= 0 \end{displaymath}$

(1.5)

уравнение (1.3) выполняется тождественно: $\partial_\mu \hat t_\nu^{E\mu} \equiv 0$ . Но тогда псевдотензор Эйнштейна должен выражаться через некоторую величину $\hat {\cal T}^{\mu\alpha}_\nu$ со свойством $\partial_{\mu\alpha}\hat {\cal T}^{\mu\alpha}_\nu \equiv 0$ следующим образом:

$\begin{displaymath} \hat t_\nu^{E\mu} \equiv \partial_\alpha \hat {\cal T}^{\mu\alpha}_\nu. \end{displaymath}$

(1.6)

Обычно суперпотенциалом называют величину, двойная дивергенция которой тождественно обращается в нуль. Суперпотенциал $\hat {\cal T}^{\mu\alpha}_\nu$ , соответствующий псевдотензору Эйнштейна был найден Толменом [2] в начале 30-х и имеет явный вид:

$\begin{displaymath} \hat {\cal T}^{\mu\alpha}_\nu = \frac{\sqrt{-g}} {2\kappa} \... ...- \delta^\alpha_{(\rho} \Gamma^\sigma_{\lambda)\sigma}\right). \end{displaymath}$

(1.7)

Для невакуумного случая тождество (1.6) переходит в тождество

$\begin{displaymath} \frac{1}{\kappa} \hat G_\nu^{\mu} + \hat t_\nu^{E\mu} \equiv \partial_\alpha \hat {\cal T}^{\mu\alpha}_\nu, \end{displaymath}$

(1.8)

которое при выполненных уравнениях Эйнштейна переходит в уравнение

$\begin{displaymath} \hat T_\nu^{\mu} + \hat t_\nu^{E\mu} = \partial_\alpha \hat {\cal T}^{\mu\alpha}_\nu. \end{displaymath}$

(1.9)

Фактически это другая форма уравнений Эйнштейна. Из (1.9) несложно видеть, что для невакуумных решений ОТО вместо (1.3) нужно использовать дифференциальный закон сохранения:

$\begin{displaymath} \partial_\mu \left(\hat T_\nu^{\mu} + \hat t_\nu^{E\mu}\right) =0. \end{displaymath}$

(1.10)

1.1.3 Суперпотенциал Фрейда

Как правило, в качестве суперпотенциалов используют антисимметричные величины, так что становится очевидным тождественное равенство нулю двойной дивергенции от них. Суперпотенциал Толмена (1.7) не обладает этим свойством. В результате возникают неудобства при использовании, сложности при ковариантизации. Улучшить ситуацию удалось Фрейду [3]. Зараннее предполагая антисимметрию суперпотенциала $\hat F^{\mu\alpha}_\nu = - \hat F^{\alpha\mu}_\nu$ , соответствующего эйнштейновскому псевдотензору, вместо уравнения (1.9) он предложил

$\begin{displaymath} \hat T_\nu^{\mu} + \hat t_\nu^{E\mu} = \partial_\alpha \hat F^{\mu\alpha}_\nu \end{displaymath}$

(1.11)

с явной формой суперпотенциала:

$\begin{displaymath} \hat F^{\mu\alpha}_\nu \equiv \frac{1}{2\kappa}\frac{g_{\nu... ...^{\alpha\lambda} - g^{\mu\lambda}g^{\alpha\rho}\right)\right]. \end{displaymath}$

(1.12)

Казалось бы существует противоречие между (1.9) и (1.11). В действительности оно видимое, поскольку $\partial_\alpha \hat F^{\mu\alpha}_\nu \equiv \partial_\alpha \hat {\cal T}^{\mu\alpha}_\nu$ благодаря тому, что между суперпотенциалами существует связь


		$\displaystyle \hat F^{\mu\alpha}_\nu \equiv \hat {\cal T}^{\mu\alpha}_\nu + \pa... ... {\rm с} \partial_{\alpha\beta} \hat {\Phi}^{\mu\alpha\beta}_\nu \equiv 0.$

1.1.4 Вопрос единственности и процедура Нетер

Даже имея в распоряжении вполне определенный псевдотензор мы только что убедились в неопределенности построения суперпотенциалов. Рассмотрим проблему единственности законов сохранения, таких как (1.3) или (1.10), подробнее. Используя метрику и ее первые производные построим произвольным образом величину $\hat U^{\mu\alpha}_\nu$ , потребуем только, чтобы она удовлетворяла тождеству $\partial_{\mu\alpha}\hat U^{\mu\alpha}_\nu \equiv 0$ . Затем определим величину

$\begin{displaymath} \hat \theta^{\mu}_\nu = \partial_{\alpha}\hat U^{\mu\alpha}_\nu -\frac{1}{\kappa} \hat G^{\mu}_\nu. \end{displaymath}$

(1.13)

Но это означает, что уравнения Эйнштейна могли бы быть переписаны в форме:

$\begin{displaymath} \hat T_\nu^{\mu} + \hat \theta_\nu^{\mu} = \partial_\alpha \hat {U}^{\mu\alpha}_\nu, \end{displaymath}$

(1.14)

где $\hat U^{\mu\alpha}_\nu$ играет роль суперпотенциала, а $\hat \theta_\nu^{\mu}$ -- нового псевдотензора. Вместо (1.10) дифференциальный закон сохранения приобретает, вообще говоря, совершенно произвольную форму:

$\begin{displaymath} \partial_\mu \left(\hat T_\nu^{\mu} + \hat \theta_\nu^{\mu}\right) =0. \end{displaymath}$

(1.15)

Такая неопределенность в законах сохранения не может быть удовлетворительной. Однако формула (1.2) указывает, что определение псевдотензора, в принципе, могло бы быть связано с выбором лагранжиана. Исследование этой проблемы было проведено детально, ей уделили внимание такие авторы как Бергман [4], Голдберг [5], Моллер [6], Траутман [7], Мицкевич [8]. Кратко результаты этих усилий сводятся к следующему. Несмотря на то, что лагранжиан (1.1) не является общековариантным, -- он инвариантен относительно линейных пребразований. Это позволяет для трансляций определенных вектором $\xi^\mu = \delta^\mu_{(\alpha)}$ написать тождество Нетер:

$\begin{displaymath} {\pounds_\xi} {\hat{\cal L}}^E + \partial_\mu \left(\xi^\mu {\hat{\cal L}}^E\right) \equiv 0, \end{displaymath}$

(1.16)

где ${\pounds_\xi}$ -- производная Ли вдоль векторного поля $\xi^\alpha$ , наше определение которой совпадает с определением Мицкевича [8]. Прямой, может быть громоздкий пересчет приводит (1.16) к виду:

$\begin{displaymath} \partial_\mu \left(\frac{1}{\kappa} \hat G_\nu^{\mu} + \hat t_\nu^{E\mu}\right) \equiv 0, \end{displaymath}$

(1.17)

который при использовании уравнений Эйнштейна дает закон сохранения (1.10). Таким образом:

В смысле процедуры Нетер, эйнштейновский псевдотензор (1.2) единственно определяется эйнштейновским лагранжианом (1.1).
Если лагранжианы различаются на дивергенцию: ${\hat{\cal L}} = {\hat{\cal L}}^E + div$ , то они (хотя и приводят к одним и тем же уравнениям движения) дают различные псевдотензоры.

1.1.5 Суперпотенциал Моллера

Таким образом, свобода в выборе псевдотензора в принципе не ограничивается -- она переходит в свободу выбора лагранжиана. То есть так или иначе, чтобы получить определенный результат необходимо использовать дополнительные ,,разумные'' требования при построении псевдотензоров и суперпотенциалов. Требования Моллера [6] при построении его псевдотензора $\hat {\cal M}^\mu_\nu$ и суперпотенциала $\hat \chi^{\mu\alpha}_{\nu}$ следующие:

(I) Для изолированных систем 4-импульс всей системы на пространственной бесконечности

$\begin{displaymath} {\cal P}_\nu = {1\over \kappa} \int_\Sigma {\hat {\cal M}^0_... ...M}^\mu_\nu \equiv \partial_\alpha \hat \chi^{\mu\alpha}_{\nu}; \end{displaymath}$ (1.18)

должен преобразовываться как свободный 4-вектор при линейных координатных преобразованиях.
(II) $\hat {\cal M}^\mu_\nu(x^\alpha)$ должен алгебраически зависеть от метрики $g_{\mu\nu}$ и производных от нее до второго порядка.
(III) $\hat \chi^{\mu\alpha}_{\nu}$ должен быть антисимметричным по $\mu$ и $\alpha$ и зависеть от $g_{\mu\nu}$ и только ее первых производных.
(IV) Компоненты $\hat {\cal M}^0_\nu(x^\alpha)$ должны преобразовываться как 4-векторная плотность по отношению к чисто пространственным преобразованиям: $\bar x^k = f^k(x^l), \bar x^0 = x^0 + g(x^l).$

Важно заметить, что суперпотенциал Фрейда (1.12) не удовлетворяет требованию (IV). В качестве исходного равенства Моллер брал закон сохранения (1.10), добавлял к нему $\partial_\mu \hat a^\mu_\nu \equiv 0$ и подбирал $\hat a^\mu_\nu$ так, чтобы удовлетворить (I) - (IV). В результате уравнения Эйнштейна приобретают вид:

$\begin{displaymath} \hat T_\nu^{\mu} + \hat {\cal M}_\nu^{\mu} = \partial_\alpha \hat {\chi}^{\mu\alpha}_\nu \end{displaymath}$

(1.19)

с явной формой суперпотенциала:

$\begin{displaymath} \hat {\chi}^{\mu\alpha}_\nu = {1\over 2\kappa} \sqrt{-g} g^{... ...\partial_\beta g_{\nu\rho} -\partial_\rho g_{\nu\beta}\right). \end{displaymath}$

(1.20)

Оказалось, что псевдотензор в (1.19) и суперпотенциал (1.20) соответствуют (в смысле процедуры Нетер) ковариантному лагранжиану Гилберта

${\hat{\cal L}}^H = - ({1/2\kappa}) \hat R$ .

1.1.6 Нековариантность псевдотензоров и соответствующие проблемы

Нековариантные величины в физике вообще мало желательны. Однако ОТО занимает особое положение, поскольку простанство-время (в котором происходят взаимодействия) само является динамическим объектом. В силу принципа эквивалентности невозможно построить локальную плотность энергии гравитационного поля. В результате этого и появляются нековариантные псевдотензоры, значения которых в каждой точке могут буть обращены в нуль координатными преобразованиями.

Кроме того, что дифференциальные законы сохранения полезны в локальном смысле (это уравнения непрерывности), они необходимы для построения так называемых глобальных законов сохранения. Если в дифференциальных законах (таких как (1.3), (1.4) или (1.10)) использование псевдотензоров выглядит более или менее естественно, то при построении глобальных законов на некоторые трудности приходится закрывать глаза. Это вынужденный шаг при наличии псевдотензоров, он часто встречается в учебниках, в частности в замечательном учебнике Ландау и Лифшица [9]. Сейчас мы проанализируем ситуацию.

Рис.1.

В пространстве-времени рассматривается 4-мерный объем $\Omega$ , ограниченный цилиндром с пространственноподобными сечениями ${\Sigma}_0$ и ${\Sigma}_1$ , и боковой времениподобной стенкой S (Рис. 1). Пусть мы имеем в распоряжении дифференциальный закон сохранения для некоторого псевдотензора $\hat \theta^\mu_\nu$ :

$\begin{displaymath} \partial_\mu \hat \theta^\mu_\nu = 0. \end{displaymath}$

(1.21)

Как правило, сначала (1.21) просто интегрируется по $\Omega$ :

$\begin{displaymath} \int_\Omega\partial_\mu \hat \theta^\mu_\nu d^4 x = 0, \end{displaymath}$

(1.22)

а затем используется обобщенная теорема Гаусса

$\begin{displaymath} \int_{\Sigma_1} \hat \theta^0_\nu d^3 x - \int_{\Sigma_0} \hat \theta^0_\nu d^3 x + \oint_{S} \hat \theta^\mu_\nu dS_\mu = 0, \end{displaymath}$

(1.23)

где для $\Sigma$ использовалось определение: t = x⁰ = const. Уравнение (1.23) как раз определяет глобальный (заключенный в 3-пространстве