Астронет > 5.2 Изолированные системы на пространнственной бесконечности

Астронет: А. Н. Петров/ГАИШ Законы сохранения в ОТО и их приложения
http://variable-stars.ru/db/msg/1170672/node26.html

<< 5.1 Калибровочные преобразования в ... | Оглавление | 5.3 Интерпретация заданного фона >>

Разделы

5.2 Изолированные системы на пространнственной бесконечности

5.2.1 Асимптотически плоское пространство-время

Мы называем пространство-время асимптотически плоским, если оно соответствует изолированной (островной) системе в плоском пространстве-времени (см., например, работы [4] $^{\!, }$ [5]), и в качестве определения удовлетворяет следующим исходным ,,наивным'' требованиям:

(1) На пространственной бесконечности мировые точки параметризуются координатами $\{ x^\alpha\}$ такими, что $-\infty < x^\alpha < \infty$ .
(2) В одной из этих систем метрика имеет поведение:

$\begin{displaymath} g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + O(r^{-1}), g_{\mu\nu,\alpha} = O(r^{-2}) \end{displaymath}$ (5.13)

при $r \rightarrow \infty$ , где $\eta_{\mu\nu} \equiv {diag (-1, 1, 1, 1)}$ и $r^2 \equiv {{x^1}^2 + {x^2}^2 + {x^3}^2}$ . Обозначение $O(r^\omega)$ соответствует асимптотическому поведению при $r \rightarrow \infty$ .
(3) Не существует координатных систем, для которых падение потенциалов гравитационного поля было бы быстрее, чем в (5.13).
(4) Тензор энергии-импульса источников в системе (5.13) имеет поведение:

$\begin{displaymath} T_{\mu\nu} = O(r^{-3 - \alpha}), \alpha > 0. \end{displaymath}$ (5.14)

Переформулируем это определение в рамках полевого подхода. Для этого нужно выбрать фон. Мы выбираем пространство Минковского в лоренцевых координатах (5.13). После выбора фона выбор координат (в силу ковариантности всех выражений полевой формулировки) не важен, но лоренцевы координаты здесь удобны, поскольку в них очевидно асимптотическое поведение. По этой же причине мы не используем крышки в этой части лекции. Итак, пункт (1) сохранится.

(2) В одной из калибровок гравитационные потенциалы имеют поведение:

$\begin{displaymath} l^{\mu\nu} = O(r^{-1}), l^{\mu\nu}_{ ,\alpha} = O(r^{-2}). \end{displaymath}$ (5.15)
(3) Не существует калибровок, где убывание $l^{\mu\nu}$ было бы быстрее, чем в (5.15).
(4) Условие для материальных источников также сохраняется:

$\begin{displaymath} t^m_{\mu\nu} = O(r^{-3 - \alpha}), \alpha > 0. \end{displaymath}$ (5.16)

5.2.2 Глобальные сохраняющиеся величины

Для того, чтобы определить интегралы движения островной системы мы используем векторы Киллинга фонового пространства Минковского:

$\begin{displaymath} \lambda^\mu_{(\alpha)} =\delta^\mu_\alpha, \lambda^\mu_{[... ...)} = \{ \lambda^\mu_{(\alpha)}, \lambda^\mu_{[\alpha\beta]}\}. \end{displaymath}$

(5.17)

Как в обычной полевой теории, глобальная величина соответствующая $\lambda^\mu_{(K)}$ определяется как

$\begin{displaymath} P^{(K)} = {1 \over c} \lim_{r \rightarrow \infty} \int_\Sigma t^{0\mu}_{(tot)} \lambda^{(K)}_\mu dx^3, \end{displaymath}$

(5.18)

где сечения $\Sigma$ определяются как t = const. Как всегда величины P^(K) сохраняются, если граничные условия устроены так, что

$\begin{displaymath} {\lim_{r \rightarrow \infty}}\oint{ d S_k t^{k\mu}_{tot} \lambda^{(K)}_\mu} = 0, \end{displaymath}$

(5.19)

где d S_k элемент координатного объема на ,,стенках'' цилиндра (см. Рис. 1), окружающего изолированную систему.

Уравнения Эйнштейна в полевой формулировке на плоском фоне могут быть переписаны в виде (см. (12) в лекции 4):

$\begin{displaymath} t^{\mu\nu}_{(tot)} = {1 \over{\kappa}} G^{\mu\nu}_L(l) = {1 \over {\kappa}} U^{\mu\nu\beta}_{ ,\beta}, \end{displaymath}$

(5.20)

где мы определили

$\begin{displaymath} U^{\mu\nu\beta} \equiv {{1\over2} (l^{\mu\nu,\beta} + \eta^{... ...{\mu\beta,\nu} - \eta^{\mu\beta} l^{\nu\alpha}_{ ,\alpha})}. \end{displaymath}$

(5.21)

Подстановка (5.20) и (5.21) в (5.18) и использование антисимметрии $U^{\mu\nu\beta} = -U^{\mu\beta\nu}$ приводит эти интегралы к виду:

$\displaystyle P^{(\alpha)}$	=	$\displaystyle {1\over{c \kappa}} {\lim_{r \rightarrow \infty}} \int_{\Sigma} \left[ U^{\alpha 0 i}_{ ,i}\right] dx^3$
	=	$\displaystyle {1\over{2 c \kappa}} {\lim_{r \rightarrow \infty}} \oint_{\parti... ...eta}_{ ,\beta} - l^{\alpha i, 0} - \eta^{\alpha i} l^{0 \beta}_{ ,\beta})},$	(5.22)

$\displaystyle P^{(\left [mn\right ])}$	=	$\displaystyle {1\over {2 c \kappa}} {\lim_{r \rightarrow \infty}} \int_{\Sigma}{ \left [(U^{n0i} x^m - U^{m0i} x^n)_{,i} + U^{m0n} - U^{n0m} \right]dx^3}$
	=	$\displaystyle {1\over {4 c \kappa}} {\lim_{r \rightarrow \infty}} \oint_{\parti... ...n0,i} - l^{ni,0} - \delta^{ni}l^{0\alpha}_{ ,\alpha}) x^m + \delta^{ni}l^{m0}$
	-	$\displaystyle (l^{m0,i} - l^{mi,0} - \delta^{mi} l^{0\alpha}_{ ,\alpha})x^n - \delta^{mi}l^{n0}),$	(5.23)

$\displaystyle P^{(\left[m0\right])}$	=	$\displaystyle {1\over{2 c \kappa}} {\lim_{r \rightarrow \infty}} \int_{\Sigma}{ \left[(U^{00i} x^m - U^{m0i} x^0)_{,i} - U^{00m}\right]dx^3}$
	=	$\displaystyle {1 \over {4 c \kappa}} {\lim_{r \rightarrow \infty}} \oint_{\partial\Sigma} {d s_i} ((l^{00,i} - l^{ik}_{ ,k}) x^m$
	-	$\displaystyle (l^{m0,i} - l^{mi,0} - \delta^{mi} l^{0\alpha}_{ ,\alpha})x^0 - \delta^{mi} l^{00} + l^{mi}),$	(5.24)

где ds_i -- координатный элемент интегрирования на 2-сфере, окружающей изолированную систему.

5.2.3 Наислабейшее убывание гравитационных потенциалов

Подстановка потенциалов с поведением (5.15) в интегралы движения приводит к тому, что (5.22) оказываются хорошо определенными, в то время как (5.23) и (5.24) расходятся. Чтобы избежать этого, достаточно усилить условия падения до

$\displaystyle l^{\mu\nu}$	=	$\displaystyle O^{+}(r^{-1}) + O^{-}(r^{-\beta}), \beta \ge 2,$
$\displaystyle l^{\mu\nu}_{ ,\pi}$	=	$\displaystyle O^{-}(r^{-2}) + O^{+}(r^{-1 - \beta}),$	(5.25)

где (+) и (-) означают четную и нечетную функции по отношению к изменению знака 3-вектора ${\vec n} = \lbrace {x^k}/r \rbrace$ . Такая асимптотика впервые была введена Редже и Тейтельбоймом [6].

Условия (5.25) должны быть Пуанкаре инвариантны, поэтому необходимо потребовать [5]

$\displaystyle l^{\mu\nu}_{ ,\pi\rho}$	=	$\displaystyle O^{+}(r^{-3}) + O^{-}(r^{-2 - \beta}),$
$\displaystyle l^{\mu\nu}_ { ,\pi\rho\sigma}$	=	$\displaystyle O^{-}(r^{-4}) + O^{+}(r^{-3 -\beta}),$
.........	=	................................. ,	(5.26)

как это часто требуют при последующих интегрированиях [7].

Для реальной островой системы падение быстрее, чем в (5.15) (или в (5.25)) невозможно в силу необходимости соответствовать закону Ньютона в слабополевом приближении. А вот может ли оно быть слабее без изменения основных интегральных характеристик? Оказывается, что может [7] $^{\!- }$ [9] $^{\!, }$ [5]. Чтобы определить условия падения более слабые, чем (5.25) мы используем калибровочно инвариантные свойства полевой формулировки [5]. Как мы установили, уравнения движения калибровочно инвариантны на самих себе. Это означает, что для плоского фона полный тензор энергии-импульса при преобразованиях (5.9) преобразуется как:

$\begin{displaymath} {t^\prime}^{(tot)}_{\mu\nu} = t^{(tot)}_{\mu\nu} + {1 \over... ... \right\vert _{\overline {\hat g^{\mu\nu}} = {\eta^{\mu\nu}}}, \end{displaymath}$

(5.27)

то есть, в силу определения оператора $G^L_{\mu\nu}$ в (5.20), он инвариантен с точностью до ковариантной дивергенции. Тогда, калибровочная неинвариантность для интегралов движения (5.22) - (5.24) также скажется в поверхностных интегралах, а их значения могут регулироваться асимпототическим поведением $\xi^\alpha$ и их производных. Мы ставим задачу найти самое слабое поведение $\xi^\alpha$ и их производных, которое гарантирует калибровочную инвариантность (5.22) - (5.24), то есть инвариантоность интегралов (5.18) относительно подстановки (5.27).

Важно отметить, что выражение $G^L_{\mu\nu}(l)$ инвариантно (в абсолютном смысле, безотносительно к условиям падения) относительно


		$\displaystyle {l^\prime}^{\mu\nu} = l^{\mu\nu} + \left.\hbox{$\pounds$}_\xi \le... ...^{\mu\nu}}\right) \right\vert _{\overline {\hat g^{\mu\nu}} = {\eta^{\mu\nu}}},$

что является самым первым членом суммы в (5.27), и, таким образом, больше не рассматривается.

Теперь будем искать ограничения на поведение $\xi^\alpha$ . Используем следующие очевидные требования:

(i) Динамические поля $l^{\mu\nu}$ и $\phi^A$ удовлетворяют уравнениям Эйнштейна и условиям падения (5.16) и (5.25), (5.26).
(ii) Каждая из исходных компонент $\xi^\alpha, \xi^\alpha_{ ,\beta}, \xi^\alpha_{ ,\beta\gamma},...$ является произвольной независимой величиной в каждой точке пространства Минковского. Естественна симметрия по нижним индексам.
(iii) Величины $\xi^\alpha, \xi^\alpha_{ ,\beta}, \xi^\alpha_{ ,\beta\gamma},...$ изменяются как тензоры при Пуанкаре преобразованиях.
(iv) Функции $\xi^\alpha$ являются класса $C^\infty$ и каждая следующая производная от $\xi^\alpha$ падает быстрее предыдукщей на один порядок по степени r. Таким образом, все свойства $l^{\mu\nu}$ сохраняются для $l'^{\mu\nu}$ .

Предположим условия падения для $\xi^\alpha$ в форме:

$\begin{displaymath} \xi^\alpha = O^{-}(r^{1 - \varepsilon}) + O^{+}(r^{1 - \delta}). \end{displaymath}$

(5.28)

Чтобы 4-импульс $P^{(\alpha)}$ был инвариантен относительно калибровочных преобразований (5.9) необходимо предположить, что нечетная часть от калибровочной добавки убывает быстрее чем r^-2, то есть

$\begin{displaymath} O^{-}\left( \partial_\alpha \left[\sum^{\infty}_{k = 1}{1\ov... ...at l^{\mu\nu}\right)\right]\right) < O^{-}\left(r^{-2}\right). \end{displaymath}$

(5.29)

В силу пункта (ii) рассматриваем все члены типа $\xi\xi_{,\alpha\beta\gamma}$ в (5.29) как независимые. Tогда, в силу пункта (iv) неравенство (5.29) дает ограничение на поведение $\xi^\alpha$ :

$\begin{displaymath} \varepsilon > {1\over 2}, \delta > {1\over 2}. \end{displaymath}$

(5.30)

Этого условия достаточно, чтобы все оставшиеся члены в калибровочной сумме не давали вклада в $P^{(\alpha)}$ . Аналогично, требование сохранения при калибровочных преобразованиях $P^{(\left[\alpha\beta \right])}$ приводит к

$\begin{displaymath} \varepsilon + \delta > 2, \delta > 1, \varepsilon \ge ... ...и} \beta > 2, \varepsilon > 0 {\rm если} \beta = 2. \end{displaymath}$

(5.31)

Комбинирование (5.30) и (5.31) приводит к ограничениям на поведение (5.28)

$\begin{displaymath} \varepsilon + \delta > 2, 1 \ge \varepsilon > {1\over 2}, \delta > 1, \end{displaymath}$

(5.32)

которое одновременно гарантирует инвариантность относительно (5.9) $P^{(\alpha)}$ и $P^{(\left[\alpha\beta \right])}$ . Условие $\varepsilon \le 1$ выражает тот факт, что в реальной островной системе гравитационные переменные не могут падать быстрее ньютонова потенциала.

Таким образом, подстановка (5.28) с условиями (5.32) в (5.9) дает поведение для гравитационных переменных в виде:

$\begin{displaymath} {l^\prime}^{\mu\nu} = O^{+}(r^{-\varepsilon}) + O^{-}(r^{-\delta}). \end{displaymath}$

(5.33)

Асимптотика (5.33) с условиями (5.32) заметно слабее, чем исходная (5.25). Тем не менее все интегралы (5.18) (или в явном выражении -- (5.22) - (5.24)) сохраняют свои значения. Мало того, при каждом последующем калибровочном преобразовании (5.9) с (5.28) и (5.32):


		$\displaystyle {l^{\prime\prime}}^{\mu\nu} = {l^\prime}^{\mu\nu} + \sum^{\infty}... ...ox{$\pounds$}_\xi^k \left(\overline {\hat g^{\mu\nu}} + \hat l'^{\mu\nu}\right)$

мы уже не нарушим поведение (5.33), значения P^(K) также остаются прежними.

Наислабейшее асимптотическое поведение (5.33) с условиями (5.32) являются новыми результатами, поскольку они уточняют и исправляют известные результаты [7] $^{\!- }$ [9].

<< 5.1 Калибровочные преобразования в ... | Оглавление | 5.3 Интерпретация заданного фона >>