Astronet Астронет: А. Н. Петров/ГАИШ Законы сохранения в ОТО и их приложения
http://variable-stars.ru/db/msg/1170672/node22.html
<< 4.3 Проблемы полевой формулировки ОТО | Оглавление | Литература к Лекции 4 >>

Разделы

4.4 Метод Нетер-Белинфанте и полевой подход к ОТО

Комбинация этих двух методов позволяет разрешить описанные в предыдущей части проблемы. Результаты этой части были доложены на семинаре [24].

4.4.1 Тождество Каца-Бичака-Линден-Белла

Напомним как был получен закон сохранения КБЛ [25]. Для лагранжиана

\begin{displaymath} {\hat{\cal L}}_G = -{1\over 2\kappa} \left(\hat R - \overline {\hat R} + \partial_\mu \hat k^\mu \right) \end{displaymath} (4.33)

c $\hat k^\mu \equiv \hat g^{\mu\rho} \Delta^\sigma_{\rho\sigma} - \hat g^{\rho\sigma} \Delta^\mu_{\rho\sigma}$ и $\Delta^\mu_{\rho\sigma} = \Gamma^\mu_{\rho\sigma}- \overline{ \Gamma^\mu_{\rho\sigma}}$ было выписано тождество Нетер
\begin{displaymath} {\pounds_\xi} {\hat{\cal L}}_G + \partial_\mu \left(\xi^\mu {\hat{\cal L}}_G\right) \equiv 0, \end{displaymath} (4.34)

которое затем преобразовано в закон сохранения (см. (1.29) в лекции 1):
\begin{displaymath} J^\mu(\xi) = \partial_\nu \hat J^{\mu\nu} (\xi). \end{displaymath} (4.35)

Если в процессе преобразований (4.34) не использовать уравнений Эйнштейна и не везде явно представлять ${\hat{\cal L}}_G$, то вместо (4.35) мы получим тождество
$\displaystyle \left[ {{\partial {\hat{\cal L}}_G} \over {\partial \left(\bar D_... ... \overline D_\nu g_{\rho\sigma} - {\hat{\cal L}}_G \delta^\mu_\nu\right]\xi^\nu$ + $\displaystyle \hat\sigma^{\mu\rho\sigma}\partial_{[\rho}\xi_{\sigma]}$  
$\displaystyle - {{\delta {{\hat{\cal L}}_G}} \over {\delta g_{\rho\sigma}}} \le... ... g_{\rho\sigma}}} \left.{ \overline g_{\rho\sigma}} \right\vert^\mu_\nu \xi^\nu$ + $\displaystyle \hat Z^\mu_{(1)} \equiv \partial_\nu \hat J^{\mu\nu},$ (4.36)

где суперпотенциал как и прежде (см. (31) в лекции 1) имеет вид:
\begin{displaymath} {\hat J^{\mu\nu}} ={1\over \kappa}\big({D^{[\mu}\hat \xi^{\n... ...hat \xi^{\nu]}}\big)+ {1\over \kappa}\hat \xi^{[\mu} k^{\nu]}, \end{displaymath} (4.37)

а ток в левой части (4.36) имеет более общий вид, чем в (4.35).

4.4.2 Тождество Нетер для полевого лагранжиана

Гравитационный лагранжиан в полевой формулировке (см. (4.26)) есть

\begin{displaymath} -{1\over 2\kappa}\hat L^{g} =-{1\over 2\kappa} \left[\hat R... ...\mu\nu} - \overline{\hat R} + \partial_\mu{\hat k}^\mu\right]. \end{displaymath} (4.38)

Учтем связь ${\hat l^{\mu\nu} \equiv \hat g^{\mu\nu} - \overline {\hat g^{\mu\nu}}}$ и обозначим $-{1\over 2\kappa}\hat L^{g} \equiv {\hat{\cal L}}^{(2)}$. После этого видно, что полевой лагранжиан (4.38) и лагранжиан КБЛ (4.33) связаны соотношением:
\begin{displaymath} {\hat{\cal L}}^{(2)} \equiv {\hat{\cal L}}_G + {1\over 2\kap... ...^{\mu\nu} - \overline {\hat g^{\mu\nu}}) \overline R_{\mu\nu}, \end{displaymath} (4.39)

явная форма которого
\begin{displaymath} {\hat{\cal L}}^{(2)} \equiv {1\over 2\kappa}\left[{{\hat g}^... ...-\Delta^\rho_{\mu\sigma}\Delta^\sigma_{\rho\nu}\right)\right]. \end{displaymath} (4.40)

Теперь используем тождество Нетер ${\pounds_\xi} {\hat{\cal L}}^{(2)} + \partial_\mu \left(\xi^\mu {\hat{\cal L}}^{(2)}\right) \equiv 0$, чтобы преобразовать его к виду:

$\displaystyle \left[{{\partial {\hat{\cal L}}^{(2)}} \over {\partial \left(\bar... ...erline D_\nu g_{\rho\sigma} - {\hat{\cal L}}^{(2)}\delta^\mu_\nu\right] \xi^\nu$ + $\displaystyle \hat\sigma^{\mu\rho\sigma}\partial_{[\rho}\xi_{\sigma]}$  
$\displaystyle - {{\delta {\hat{\cal L}}^{(2)}} \over {\delta g_{\rho\sigma}}} \... ...lta \bar g_{\rho\sigma}}} \left.\bar g_{\rho\sigma} \right\vert^\mu_\nu \xi^\nu$ + $\displaystyle {\hat Z}^{ \mu}_{(2)} \equiv - \partial_\nu \left({\hat M}^{ \mu\nu}_{(2)\lambda} \xi^\lambda \right),$ (4.41)

где
\begin{displaymath} {\hat M}^{ \mu\nu}_{(2)\lambda} = -{\hat M}^{ \nu\mu}_{(2)\l... ...\right)}} \left.{\bar g_{\rho\sigma}} \right\vert^\nu_\lambda. \end{displaymath} (4.42)

Вычтем из тождества (4.36) тождество (4.41), учтем равенство
   
  $\displaystyle {{\delta {\hat{\cal L}}^{(2)}} \over {\delta \bar g_{\rho\sigma}}... ..._{\rho\sigma} \right\vert^\mu_\nu \equiv {1 \over {\kappa}}\hat G^{L\mu}_{\nu},$  

связь (4.39), определение (4.42) и получим новое тождество:
\begin{displaymath} {1 \over {\kappa}} \hat G^{L\mu}_{\nu}\xi^\nu + {1 \over \ka... ...mbda \right) \equiv \partial_\nu \left(*\hat J^{\mu\nu}\right) \end{displaymath} (4.43)

представленное в терминах полевого подхода.

4.4.3 Суперпотенциал в полевой формулировке ОТО

Еще раз запишем общее уравнение полевой вормулировки:

\begin{displaymath} \hat G^L_{\mu\nu} + \hat \Phi^L_{\mu\nu} = \kappa\left({\hat t}^g_{\mu\nu} + {\hat t}^m_{\mu\nu}\right), \end{displaymath} (4.44)

которое нужно использовать, чтобы превратить сильное тождество (4.43) в слабый закон сохраненния. Однако, что делать с величиной $\hat \Phi^L_{\mu\nu}$, которая отсутствует в (4.43)? Оказывается после использования определений (4.25), (4.29) и (4.30) уравнение (4.44) можно переписать в виде:
\begin{displaymath} \hat G^L_{\mu\nu} = \kappa\left({\hat t}^g_{\mu\nu} + {\hat t}^M_{\mu\nu} - \overline{ {\hat t}^M_{\mu\nu}}\right), \end{displaymath} (4.45)

где
   
  $\displaystyle {\hat t}^M_{\mu\nu} \equiv 2 {{\delta{\hat{\cal L}}^M \left(\over... ...iv 2 \overline{{{\delta{\hat{\cal L}}^M}\over {\delta \overline{g^{\mu\nu}}}}}.$  

Теперь, конечно, источник в (4.45) не является симметричным тензором энергии-импульса, соответствующим динамическому лагранжиану (4.25): ${\hat t}^m_{\mu\nu} \neq {\hat t}^M_{\mu\nu} - \overline{ {\hat t}^M_{\mu\nu}} \equiv \delta \hat t^M_{\mu\nu}$. После подстановки уравнения (4.45) в тождество (4.43) получим:
\begin{displaymath} \left(\delta {\hat t}_{\nu}^{M\mu} + {\hat t}_{\nu}^{g\mu} ... ...+ *\hat Z^\mu = {\partial_\nu} \left( *\hat J^{\mu\nu}\right). \end{displaymath} (4.46)

Обсудим это уравнение. Прежде всего, это есть аналог уравнения КБЛ (4.35), здесь в правой части также стоит дивергенция теперь от нового суперпотенциала $*\hat J^{\mu\nu}$. Следовательно, левая часть есть сохраняющийся ток. В законе сохранения участвуют произвольные векторы $\xi^\alpha$ и оно справедливо на произвольно искривленных фонах. Таким образом можно заключить, что построение (4.46) решает сразу первые три проблемы полевого подхода, отмеченные в предыдущей части.

Почему этот успех не был достигнут раньше? Оказывается было ошибочным предположение (для построения сохраняющегося тока на произвольном фоне) использовать источник ${\hat t}^m_{\mu\nu}$ в правой части (4.44), определенный стандартным образом в (4.30). Оказывается необходимо использовать возмущения $ {\hat t}^M_{\mu\nu} - \overline{ {\hat t}^M_{\mu\nu}} \equiv \delta \hat t^M_{\mu\nu}$. Отметьте также, что в левой части (4.46) содержится член взаимодействия с фоном, продекларированный качественно нами раньше [13]. Z-член в (4.46), как и везде, обращается в нуль для векторов Киллинга фона.

4.4.4 Сравнение результатов метода Нетер-Белинфанте и полевого подхода

Главным результатом лекции 2 было построение закона сохранения (см. (24) в лекции 2):

\begin{displaymath} \hat {\cal T}^\mu_\nu\xi^\nu + \hat {\cal Z}^\mu = \partial_\nu\hat {\cal I}^{\mu\nu}, \end{displaymath} (4.47)

где обобщенный тензор энергии-импульса имеет вид
\begin{displaymath} \hat {\cal T}^{\mu\nu} = (\hat T^{(\mu}_\rho\overline g^{\nu... ... {1\over \kappa} {\hat l}^{\lambda[\mu} \bar R^{\nu]}_\lambda, \end{displaymath} (4.48)

а суперпотенциал представляет собой сумму КБЛ суперпотенциала и поправки Белинфанте:
\begin{displaymath} {\cal I}^{\mu\nu} \equiv \hat J^{\mu\nu}+ \hat{S}^{\mu\nu\rho}\xi_\rho. \end{displaymath} (4.49)

Перепишем уравнение (4.46) в компактном виде:
\begin{displaymath} *\hat \Pi^{\mu}_\nu \xi^\nu + *\hat Z^\mu = {\partial_\nu} \left( *\hat J^{\mu\nu}\right), \end{displaymath} (4.50)

где
$\displaystyle *\hat \Pi_{\mu\nu}$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle {\hat t}_{\mu\nu}^{M} - \overline {{\hat t}_{\mu\nu}^{M}} + {\hat... ...\mu\nu}^{g} + {1 \over \kappa} \hat l_{\mu}^{\lambda} \overline R_{\lambda\nu},$  
$\displaystyle {*\hat J}^{\mu\nu}$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle \hat J^{\mu\nu} + {\hat M}^{ \nu\mu}_{(2)\lambda} \xi^\lambda,$  
$\displaystyle {\hat t}^M_{\mu\nu}$ = $\displaystyle \hat T_{\mu\nu} -{\textstyle{\frac{1}{2}}} g_{\mu\nu}\hat T - {\t... ...eft(\hat T_{\rho\sigma} -{\textstyle{\frac{1}{2}}} g_{\rho\sigma}\hat T\right),$  
$\displaystyle \overline{{\hat t}^M_{\mu\nu}}$ = $\displaystyle \overline{\hat T}_{\mu\nu}.$ (4.51)

Оказывается, что поправка Белинфанте, определенная в (23) в лекции 2 и спиновый член (4.42) совпадают: $\hat{S}^{\mu\nu\rho} = {\hat M}^{\nu\mu\rho}_{(2)}$. Учитывая этот факт в (4.49) и в суперпотенциале в (4.51), заключаем

$\displaystyle *\hat J^{\mu\nu} ={\cal I}^{\mu\nu}$ = $\displaystyle {1 \over \kappa} \hat l^{\rho[\mu}\overline D_\rho\xi^{\nu]} + \hat {\cal P}^{\mu\nu}{_\lambda} \xi^\lambda$  
  = $\displaystyle {1 \over \kappa} \left(\hat l^{\rho[\mu}\overline D_\rho\xi^{\nu]... ...igma \hat l^{\nu]\sigma}-\bar D^{[\mu}\hat l^{\nu ]}_\sigma \xi^\sigma \right),$  

и $*\hat Z^\mu = \hat{\cal Z}^\mu$ (последнее равенство проверяется также прямым вычислением). Поэтому для (4.47) и (4.50) следует:
\begin{displaymath} *\hat \Pi^{\mu\nu} = \hat {\cal T}^{\mu\nu}. \end{displaymath} (4.52)

Таким образом все свойства $\hat {\cal T}^{\mu\nu}$ исследованные в лекции 2 в полной мере относятся к $*\hat \Pi^{\mu\nu}$. Подведем итог:

Сравнивая тензоры энергии-импульса (4.48) и в (4.51) находим, что тензоры энергии-импульса гравитационного поля не совпадают: $ {\hat t}^{\mu\nu}_{g} \neq \hat \tau^{\mu\nu}$. (Только для случая, когда $\overline R_{\mu\nu} = 0$ и $R_{\mu\nu} =0$ мы получаем, что должно быть ${\hat t}^{\mu\nu}_{g} = \hat \tau^{\mu\nu}$.) Тем не менее, с использованием фоновых и динамических уравнений Эйнштейна равенство (4.52) подтверждается прямыми расчетами. Такая ситуация говорит о сложности в определении, например, энергии гравитационных волн на достаточно сложных фонах. На эту проблему в частной беседе указал Копейкин [26].

4.4.5 Разрешение неопределенности Боульвара-Дезера

Теперь рассмотрим последнюю: четвертую проблему полевого подхода -- это неопределенность в выборе разбиений (4.31). Если мы выберем произвольное из разбиений (4.31):

\begin{displaymath} g^A = \bar g^A + h^A, \end{displaymath} (4.53)

то шаг за шагом следуя способу построения полевой формулировки в работе [15] (последний метод изложенный в этой лекции) мы получим уравнения типа (4.10), затем типа (4.45), и, наконец, типа (4.50):
\begin{displaymath} *\hat \Pi^{\mu}_\nu(\hat l_{(A)}) \xi^\nu + *\hat Z^\mu(\ha... ...= {\partial_\nu} \left( *\hat J^{\mu\nu}(\hat l_{(A)})\right). \end{displaymath} (4.54)

Разница лишь в том, что аргумент в этом уравнении зависит от выбора разбиения (4.53) и выражается через него как
\begin{displaymath} \hat l^{\mu\nu}_{(A)} \equiv h^A {{ \partial \overline {\hat g^{\mu\nu}}} \over {\partial \overline {g^A}}}. \end{displaymath} (4.55)

Напомним, что суперпотенциал $*\hat J^{\mu\nu}(\hat l_{(A)})$ линеен по своим аргументам $\hat l^{\mu\nu}_{(A)}$. Но если $h_A^1 \neq h_A^2$, тогда $\hat l^{\mu\nu}_{1(A)} = \hat l^{\mu\nu}_{2(A)} +O(l^2) + ...$ . Это означает, что неопределенность Боульвара-Дезера в суперпотенциале $*\hat J^{\mu\nu}(\hat l_{1(A)}) \neq *\hat J^{\mu\nu}(\hat l_{2(A)}) \neq ....$ имеет место начиная со второго порядка.

Вернемся к методу Нетер-Белинфанте: не было ограничений в выборе переменных, мы могли выбрать любую из них: $g_{\mu\nu},  g^{\mu\nu}, \hat g^{\mu\nu},...$ ! В результате, конечным и линейным оказался единственно КБЛ суперпотенциал, $\hat J^{\mu\nu}(\hat l^{\mu\nu})$, а затем новый суперпотенциал, $\hat {\cal I}^{\mu\nu}(\hat l^{\mu\nu})$. Только для выбора (4.31), или в (4.55), единственно $h^A = \hat l^{\mu\nu}$ суперпотенциал $*\hat J^{\mu\nu}(\hat l_{(A)})$ в (4.54) и $\hat {\cal I}^{\mu\nu}(\hat l^{\mu\nu})$ совпадают. Этот факт свидетельствует о преимуществе выбора (4.22). Существуют и другие показания в пользу этого выбора и разбиения, соответвующего ему. Суперпотенциал Абботта-Дезера [22] является одним из набора (4.54), а именно: $*\hat J^{\mu\nu}_{AD} =*\hat J^{\mu\nu}(h^A = h_{\mu\nu})$. Однако мы [27] показали, что такой суперпотенциал не дает правильного Бонди-Сакса импульса на нулевой бесконечности, то есть не удовлетворяет одному из основных естественных тестов, в то время как $*\hat J^{\mu\nu}(\hat l^{\mu\nu})$ дает нужный результат.


<< 4.3 Проблемы полевой формулировки ОТО | Оглавление | Литература к Лекции 4 >>

Rambler's Top100 Яндекс цитирования